劉 春 晗
(齊魯師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,山東 濟南 250013)
含臨界參數(shù)和臨界指數(shù)的雙調(diào)和方程多重解
劉 春 晗
(齊魯師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,山東 濟南 250013)
利用對稱形式的山路引理,討論了一類含臨界參數(shù)和臨界指數(shù)的奇異雙調(diào)和方程,獲得了方程的無窮多個非平凡解.
雙調(diào)和方程;對稱形式的山路引理;臨界指數(shù);非平凡解
1983年,Brezis-Nirenberg給出了求解含臨界指數(shù)方程的方法,吸引了國內(nèi)外眾多學(xué)者對含臨界指數(shù)的非線性方程進行研究.文獻[1]研究了雙調(diào)和方程
文獻[2]討論了方程
本文利用對稱形式的山路引理,研究了奇異雙調(diào)和方程
(1)
首先在空間H中討論以下特征值問題非平凡解的存在性:
(2)
第一特征值定義為
第二特征值定義為
類似地,可以定義第n個特征值為
其相應(yīng)的特征函數(shù)記作φn,μ.
問題(1)的弱解就是泛函
對于任意的φ∈H,
下面給出一些假設(shè)條件:
(Ⅴ)f(x,-t)=-f(x,t).
定義1[3]設(shè)Φ∈C1(E,R),稱Φ關(guān)于每一個c∈R滿足(PS)c條件,如果n→∞時,滿足
Φ(un)→c,Φ′(un)→0
的任意數(shù)列un均有收斂子列;稱Φ滿足(PS)條件,如果Φ關(guān)于任意c∈R滿足(PS)c條件.
定義2[3]設(shè)Φ∈C1(E,R),稱Φ關(guān)于每個c∈R滿足(C)c條件,若當(dāng)n→∞時,任意滿足
Φ(un)→c,(1+‖un‖)Φ′(un)→0
的數(shù)列un都有收斂子列;稱Φ滿足(C)條件,如果Φ對于任意c∈R滿足(C)c條件.
引理1[2](Sobolev-Hardy不等式) 設(shè)0≤s≤4,2≤q≤2*(s).則存在常數(shù)c1>0使得
并且空間H嵌入到Lq(Ω)是緊的.
(3)
類似于文獻[4]中引理3—4,可證下面兩個引理成立.
引理2 特征值問題(2)有一個非平凡解φ1,μ.
引理3 當(dāng)n→∞時,λn,μ→+∞.
引理5[3](對稱形式的山路引理) 假設(shè)Φ∈C1(E,R),Φ(θ)=0.則:
如果Φ滿足(PS)條件,則Φ有無限多個對應(yīng)正臨界值的臨界點.
注1 若Φ滿足(C)條件,則引理5的結(jié)論也成立.
定理1 如果f(x,t)滿足假設(shè)(Ⅰ)—(Ⅴ),則存在λ*>0,當(dāng)0<λ<λ*時,方程(1)存在無窮多個非平凡解.
(1+‖un‖)Φ′(un)→0,Φ(un)→c,
(4)
則un是有界的.若不然,設(shè)‖un‖→+∞,由假設(shè)(Ⅳ)可知存在r>1使得
f(x,t)t-2*(s)F(x,t)≥-δ|t|σ,?|t|>r.
(5)
設(shè)Ωn={x∈Ω||u|>r},由(4)與(5)式,存在M0>0使得
2*(s)(1+c)≥2*(s)Φ(un)-〈Φ′(un),un〉=
矛盾.因此un在H有界,于是un在H中有弱收斂子列,仍記為un,弱收斂極限記為u.當(dāng)n→∞時,
由Brezis-Lieb引理、Vitali定理及文獻[6]可知
(6)
(7)
(8)
從而
Φ(un)-Φ(u)-Φ(un-u)=o(1),
由(4)式及Φ′(u)=0有
M+o(1)≥Φun=Φu+Φun-u+o(1)≥
(ⅱ) 證明Φu滿足引理5的其他條件.由假設(shè)(Ⅲ),對任意ε>0,存在C2>0使得
取ε=ε1充分小,使得λk,μ+ε1<λk+1,μ,利用(3)式、引理4和Sobolev-Hardy不等式,有
因為0≤s<4,故
其中Bρ(θ)={u∈H|‖u‖≤ρ}.
所以存在Rk>ρ,使得Φ(u)≤0,?u∈EkBRk(θ),k=1,2,….
注2 存在R>0,使得2*(s)F(x,u)≤f(x,u)u,?|u|>R,x∈Ω.從而?|u|>R,x∈Ω有
f(x,u)u-2*(s)F(x,u)≥0>-δ|u|σ.
于x∈Ω一致成立.
因此假設(shè)(Ⅳ)比Ambrosetti-Rabinowitz型增長條件更弱.
注3 如果f(x,u)u-2*(s)F(x,u)→+∞,當(dāng)|u|→∞時于x∈Ω一致成立,則
于x∈Ω一致成立.
[1] 王友軍,沈堯天.一類含臨界指數(shù)雙調(diào)和方程變號解的存在性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,22(2):233-238.
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(責(zé)任編輯:李亞軍)
Multiplicityofnontrivialsolutionsforbiharmonicequationinvolvingcriticalparameterandcriticalexponent
LIU Chun-han
(School of Mathematics,Qilu Normal University,Jinan 250013,China)
By a symmetric mountain pass lemma,a class of singular biharmonic equation involving critical parameter and critical exponent is discussed,and infinitely many solutions of the equations are obtained.
biharmonic equation;symmetric mountain pass lemma;critical exponent;nontrivial solution
1000-1832(2017)03-0008-05
10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.003
2016-03-02
國家自然科學(xué)基金資助項目(10971179);山東省自然科學(xué)基金資助項目(ZR2016AB04);齊魯師范學(xué)院青年教師科研基金資助項目(2016L0603,2014L1001).
劉春晗(1981—),男,碩士,副教授,主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用研究.
O 175.25 [學(xué)科代碼] 110·47
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