馮培越

摘 要 作為山東半島重要的經(jīng)濟(jì)、文化中心，近年來(lái)隨著青島社會(huì)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，交通堵塞問(wèn)題日益嚴(yán)重。2015年和2016年，青島連續(xù)兩年位列中國(guó)十大擁堵城市之一。交通擁堵給青島市民帶來(lái)了大量不便，嚴(yán)重阻礙了社會(huì)進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)發(fā)展，已經(jīng)成為全社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)和熱點(diǎn)?；诖?，我們針對(duì)青島立交橋難下的現(xiàn)狀，以杭鞍路立交橋?yàn)槔?，聚焦杭鞍路下橋口路段，通過(guò)實(shí)地調(diào)查、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模，嘗試對(duì)該問(wèn)題的成因進(jìn)行深入的探討和分析，并提出合適的解決策略。

關(guān)鍵詞 立交橋；快速路；擁堵

中圖分類號(hào) U4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 2095-6363（2017）16-0029-03

杭鞍快速路是青島的一條東西向快速公路，全長(zhǎng)約6.2km，向東沿鞍山路、遼陽(yáng)路接青銀高速路市區(qū)入口，直至濱海公路。杭鞍快速路沿途連接了10余條城市主干道，是青島交通網(wǎng)絡(luò)非常重要的一環(huán)。雖然作為快速路，沿路車流較暢通，但高峰期時(shí)下橋口經(jīng)常有擁堵現(xiàn)象，以致于自下橋口以后的路段車輛寸步難行。

為方便問(wèn)題分析及意見(jiàn)提出，我們將以以下假設(shè)為基礎(chǔ)，并作出如下說(shuō)明：1）忽略駕駛員主觀因素（年齡、駕齡、性別、反應(yīng)速度等）；2）假設(shè)車輛都沿道路單方向行駛，車輛狀態(tài)良好無(wú)故障；3）假設(shè)駕駛員都遵守交通法規(guī)，嚴(yán)格控制車距和車速（不超速）；4）忽略道路施工、交警指揮、意外事故、天氣等的影響；5）假設(shè)車輛在橋上通過(guò)時(shí)勻速且密度不變；6）假設(shè)每個(gè)車道的車通量相同。

1 模型建立及求解

1.1 模型：上下橋變道阻滯堵塞模型（擬合模型）

基本模型。經(jīng)過(guò)實(shí)地考察，該路段的行駛車輛大多為私家車和出租車，少有公交車和卡車。在這里，我們假設(shè)所有車的車長(zhǎng)、車寬、車型均相同，將一段距離的車流看做整體，將車長(zhǎng)、車寬、車型當(dāng)作流體內(nèi)部因素，就可以把它作為流體進(jìn)行分析。在此，流體不為理想流體，因此我們需考慮流體的黏性及黏性力。因?yàn)閺臉蛏舷聛?lái)的車流與原來(lái)在橋下運(yùn)動(dòng)的車速度不同，當(dāng)其在引橋出口相遇時(shí)因速度不同將會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)力，而實(shí)際情況中由于車輛變道會(huì)對(duì)原車流造成阻礙而不會(huì)有促進(jìn)，因而我們只考慮向后的切應(yīng)力，也就是會(huì)損失一部分動(dòng)量。

根據(jù)牛頓粘性定律[2]其切應(yīng)力為：

根據(jù)交通流理論[3]：

在此車通量Q等同于液體質(zhì)量m，流體接觸面積等同于路長(zhǎng)l。

接下來(lái)將主要敘述根據(jù)實(shí)際觀測(cè)情況及交通局提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行拉格朗日插值、牛頓插值及多項(xiàng)式三次擬合處理，總結(jié)出實(shí)驗(yàn)表達(dá)式，表達(dá)出1/U與√（V1V2/L）之間的關(guān)系。

首先，我們根據(jù)實(shí)際觀測(cè)情況及交通局提供的14組數(shù)據(jù)（表2）繪制出離散數(shù)據(jù)的點(diǎn)折線圖（圖1）。

根據(jù)圖象進(jìn)行分析，當(dāng)x1>110時(shí)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)折線上下交替，x1與y1無(wú)明確對(duì)應(yīng)關(guān)系；當(dāng)x1<110時(shí)，x1與y1尚有較好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析，當(dāng)L不變，x1增大時(shí)，即V1V1乘積增大，增大到一定界限（如本情況下的x1>110）時(shí)，在道路上表現(xiàn)為通暢，而通暢時(shí)下橋與在平路行駛的車輛數(shù)量并沒(méi)有嚴(yán)格被限制（如V1=30km/h，V1=50km/h時(shí)，車輛數(shù)量只要不超過(guò)車流密度最大值，車輛行駛速度就不會(huì)受到影響，因此即便在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)也無(wú)法保證車流密度相同），在同一地點(diǎn)都無(wú)法確定，因而在不同時(shí)間及不同條件下更無(wú)法確定；反觀當(dāng)V1V1乘積偏小時(shí)，綜合兩股車流考慮車流密度特定且唯一，此時(shí)與模型較為吻合。

綜上，進(jìn)行下一步插值、擬合前，應(yīng)去掉（110.3，0.002941）后的點(diǎn)，只利用其左側(cè)散點(diǎn)。

對(duì)于插值法，我們先實(shí)驗(yàn)了拉格朗日插值法以及牛頓插值法，盡管把14組數(shù)據(jù)精確到了6組，但兩者仍不同程度出現(xiàn)了較為明顯的龍格現(xiàn)象。以拉格朗日插值法為例，求得函數(shù)如圖2：

鑒于此種情況，我們?cè)诳紤]采集數(shù)據(jù)不能保證精確，且此種情境的數(shù)據(jù)在自變量與因變量關(guān)系中上下浮動(dòng)的情況之后，相較于切比雪夫零點(diǎn)插值，最終選擇調(diào)用MATLAB中的Curve Fitting tool進(jìn)行多項(xiàng)式二次、三次擬合，與原離散數(shù)據(jù)的點(diǎn)折線圖放于同一圖內(nèi)進(jìn)行分析對(duì)比。

根據(jù)從Curve Fitting Tool中分別調(diào)取的擬合函數(shù)信息，兩種擬合的確定系數(shù)都十分逼近1，且兩者的和方差、均方根都在及數(shù)量級(jí)，故兩支曲線擬合都十分精確，兩者間差異在討論區(qū)間內(nèi)可忽略不計(jì)；又因?yàn)樵诒灸Ｐ椭行枰啻我密嚵髅芏萓，因此為簡(jiǎn)化自變量與因變量間關(guān)系及計(jì)算過(guò)程，我們決定采用多項(xiàng)式二次擬合模型。

據(jù)此，我們可以得到函數(shù)關(guān)系式：

（1）

1.2 模型求解分析

1）基本模型認(rèn)為無(wú)論之前橋上橋下的車流如何，變道匯聚之后的車流密度僅與橋上橋下的車流速度和可變道路段長(zhǎng)度有關(guān)，這個(gè)結(jié)論是經(jīng)過(guò)使用MATLAB多種數(shù)據(jù)擬合方法得到的，具有一定準(zhǔn)確度。2）從車流下橋減速后開(kāi)始觀測(cè)數(shù)據(jù)，包括橋上橋下的車流密度和車流速度，觀測(cè)認(rèn)為從變道開(kāi)始兩股車流均已減速完畢。3）從車流變道完畢后到接近信號(hào)燈的車流密度均認(rèn)為是擬合表達(dá)式中的U，這個(gè)結(jié)論是在確定變道長(zhǎng)度不長(zhǎng)的情況下的一個(gè)較好近似。4）可測(cè)得已知量V1、V1、L。5）將已知量代入式（1），可求得1/U0。6）若變道匯聚以后的車流密度比變道之前的兩股車流密度均有很大增加，則認(rèn)為變道造成上下橋交通堵塞。7）賦予變道匯聚之后的車流密度與變道之前的兩股車流密度的平均值之比，即：

這個(gè)量一個(gè)名稱-車流變道阻滯指數(shù)，此名稱由物理流體模型類比得到。

2 解決堵塞的策略與方法

在此模型中，將根據(jù)下橋通過(guò)綠燈的交通量確定最優(yōu)方案。

1）引入可測(cè)變量：N1—橋下平路車道數(shù)；N2—下橋至平路車道數(shù)；V—兩股車流匯合后的總速度；D—每車道中1輛車所占距離（包括平均車長(zhǎng)和車之間間距）；Vff—暢行速度（Greenshields理論中的量）。endprint

2）常量及可測(cè)已知變量：t1，t3，U01，Ug。

3）優(yōu)化過(guò)程：

（1）當(dāng)Q1最大，即優(yōu)化范圍的上限時(shí)，情況為：各車道填滿即達(dá)到最大車流密度，且所有車以最大速度通過(guò)綠燈（不考慮加速）時(shí)一小時(shí)內(nèi)通過(guò)的車數(shù)，即：

（2）當(dāng)Q1達(dá)到輸入車輛與輸出車輛相等的臨界值，即優(yōu)化范圍的下限時(shí)，情況為：一個(gè)紅綠燈周期內(nèi)，到來(lái)的車輛在綠燈時(shí)間全部駛走時(shí)一小時(shí)內(nèi)通過(guò)的車

數(shù)，即：

（3）又因?yàn)閮晒绍嚵饔袃蓚€(gè)速度，因此近似模擬匯合后總速度為兩個(gè)速度以車道數(shù)為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)，即：

（4）在交通流理論中，根據(jù)及格林希爾茲（Greenshields）提出的速度-密度線性模型

可得：

（5）綜上，又依據(jù)：

可列出優(yōu)化方程為：

即

據(jù)此可知，只要滿足

就可以求得L的優(yōu)化范圍。我們知道，D以km為單位，數(shù)量級(jí)為，故在實(shí)際中此關(guān)系在絕大多數(shù)情況下都得到滿足，據(jù)此可直接計(jì)算L范圍。

3 結(jié)果分析與檢驗(yàn)

模型優(yōu)缺點(diǎn)分析：

優(yōu)點(diǎn)：模型采用多種插值或擬合方法，如三次擬合、二次擬合、拉格朗日插值法、牛頓插值法等，并對(duì)每一種方法得到的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行SSE（和方差、誤差）R-square（確定系數(shù)）、Adjusted R-square、RMSE（均方根、標(biāo)準(zhǔn)差）誤差分析，保證函數(shù)表達(dá)式的精確性，在討論復(fù)雜的變道問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)化模型，因變量和自變量的關(guān)系與實(shí)際情況相符。

缺點(diǎn)：1）模型一是采用插值和擬合方法得到的函數(shù)關(guān)系式，缺乏邏輯關(guān)系，因變量和自變量間可能還有其他更精確的函數(shù)關(guān)系；2）建立數(shù)學(xué)模型時(shí)做了許多近似，未考慮一些影響因素。

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