，，，

(1.海軍工程大學導航工程系，武漢 430000；2.海軍902廠，上海 200083)

基于變分貝葉斯的自適應魯棒濾波算法

左云龍1，尹偉偉2，高敬東1，李開龍1

(1.海軍工程大學導航工程系，武漢430000；2.海軍902廠，上海200083)

針對組合導航姿態(tài)估計中，觀測同時受到野值與時變觀測噪聲影響的問題，構造一種基于變分貝葉斯的自適應魯棒濾波算法。該算法可以有效地解決自適應與魯棒濾波策略的矛盾，利用變分貝葉斯近似估計變換的觀測噪聲，在變分貝葉斯的濾波框架內(nèi)，利用Huber濾波魯棒化方法處理連續(xù)野值。在組合導航姿態(tài)估計試驗中，驗證了該算法具有良好的自適應與魯棒性，并能夠保持較高的估計精度。

卡爾曼濾波；變分貝葉斯；魯棒；自適應

0 引言

在卡爾曼濾波(Kalman Filtering,KF)的眾多性能指標中，除了在通常情況下所關心的估計結果是否準確和可靠穩(wěn)定外，在面對現(xiàn)實問題中，人們更關心在干擾的情況下，濾波算法是否仍能夠提供可靠而精準的估計結果，即濾波的抗干擾能力。濾波抗干擾能力總結起來有兩種重要策略，即魯棒和自適應。

從魯棒和自適應的定義上來看，魯棒和自適應策略在濾波中的體現(xiàn)主要集中于三個方面的觀點：其一，從濾波模型的觀點來看，自適應更多地體現(xiàn)為處理系統(tǒng)狀態(tài)方程的干擾問題，諸如模型假設偏差，模型參數(shù)干擾等問題，而魯棒則更多體現(xiàn)為處理觀測方程的干擾問題，諸如觀測噪聲污染等問題；其二，從觀測量的觀點來看，Kalman濾波的系統(tǒng)狀態(tài)方程本質(zhì)也是一種觀測方程，只不過觀測量不是外界輔助信息，而是狀態(tài)量本身，依據(jù)這種觀點，自適應處理的是狀態(tài)量中的干擾問題，而魯棒處理的是觀測量中的干擾問題；其三，從噪聲處理方式來看，自適應多采用針對系統(tǒng)噪聲或進一步預測的濾波方差加權或估計等處理方式來體現(xiàn)濾波抗干擾能力，而魯棒多采用針對觀測噪聲加權等處理方式來體現(xiàn)濾波抗干擾能力。因此，可以說魯棒和自適應策略是一對此消彼長的矛盾策略，比較直觀的例子是，當系統(tǒng)受到干擾時，自適應會通過加權增大系統(tǒng)噪聲方差的方式，將更多的外部信息引入到系統(tǒng)中來，用大量新信息來稀釋干擾信息實現(xiàn)濾波抗干擾，在Kalman濾波算法中具體體現(xiàn)為增大增益K；而魯棒則是通過加權減小觀測噪聲方差的方式，一旦敏感到系統(tǒng)受到干擾，將不再信任外部信息，用盡可能少的外部信息來實現(xiàn)濾波抗干擾，在濾波算法中具體體現(xiàn)為減小增益K。顯然，自適應和魯棒對于外部信息的認識造成了實現(xiàn)魯棒自適應濾波算法構造的困難。而目前的主要魯棒濾波方法[1-6]和自適應濾波方法[7-10]均沒有很好地兼容兩者之間的矛盾。

因此，為了解決魯棒與自適應在同一種濾波算法中的矛盾性，本文提出了一種基于變分貝葉斯的自適應魯棒濾波算法，利用變分貝葉斯(Variational Bayesian，VB)估計和高斯迭代濾波框架，提出一種兼顧魯棒與自適應的Kalman濾波算法，該算法能夠較好地實現(xiàn)魯棒與自適應在同一濾波算法框架內(nèi)的使用，在不同干擾類型和強度下，均取得了較好的估計效果。

1 變分貝葉斯自適應魯棒濾波算法

考慮一個高斯線性系統(tǒng)運動模型為

(1)

式(1)表示從k-1到k時刻，xk是n維狀態(tài)量，yk是m維觀測量，F(xiàn)k-1是系統(tǒng)矩陣，Hk是觀測矩陣，wk-1～(0,Qk-1)，vk～(0,Rk)，Qk-1是系統(tǒng)噪聲方差，Rk是觀測噪聲方差。

對于一般情況來說，可視yk不受外界干擾，并且vk完全服從零均值的高斯白噪聲影響。但是，在組合導航、信號處理等實際問題中，這種理想情況并不存在，一種較為普遍的情況是觀測量yk中含有野值，并且vk的先驗知識并不已知或時變。對于單獨處理以上某一種問題，相關的研究是比較充分的，但是，如何將兩者同時考慮的研究相對較少。因此，本文針對這種情況，將VB估計和M估計方法結合起來，構造一種可以同時處理觀測方程中兩種干擾的魯棒濾波方法。

1.1 變分貝葉斯估計

VB估計的核心思想在于將難以求解的貝葉斯估計的概率密度分解為易于求解的多個概率密度，即求解基于y1:k的條件概率密度p(xk,Rk|y1:k)，如果Rk是已知的，那么KF可以解決;而如果Rk是未知或者時變的，就很難給出解析解。VB估計方法將這種復雜的聯(lián)合條件概率密度分解為2個可以求解的獨立參數(shù)的概率密度乘積的形式，如

p(xk,Rk|y1:k)≈?x(xk)?R(Rk)

(2)

(4)

VB估計通過近似概率密度和p(xk,Rk|y1:k)的Kullback-Leibler(KL)散度距離最小的，將狀態(tài)量xk和未知量Rk分離為2個近似概率密度分布乘積形式，這2個近似概率密度分布表示為高斯概率密度分布和Inverse-Gamma(IG)概率密度分布的近似乘積如

p(xk,Rk|y1:k)≈

(5)

(6)

1.2 M估計

M估計是一種由Huber提出的魯棒估計方法，具有良好的濾波魯棒性。M估計的本質(zhì)在于求解得該代價函數(shù)最小值時的濾波估計值，如

(7)

式中，ρ·為引入的魯棒代價函數(shù)，ei是殘差。因此，可見構造具有良好魯棒性的代價函數(shù)是M估計的核心。Huber提出了一種代價函數(shù)，如

(8)

式中，γ為調(diào)節(jié)因子，是代價函數(shù)的門限，體現(xiàn)了對外部干擾情況的處理程度，γ一般取1.345。對于Huber的濾波魯棒化框架，通常有兩種解釋：其一是重加權平均；其二是構造偽觀測量。重加權平均是觀測噪聲方差的魯棒化過程，而構造偽觀測量是觀測量的魯棒化過程，本文主要采用重加權平均的形式，即

構造形如下式的權重函數(shù)

Ψk=diagφek,j/ek,j

(9)

式中，ek,j表示第j維的歸一化殘差。Ψy,k為權重函數(shù)，φ=ρ′為影響函數(shù)，重加權平均就是對觀測噪聲方差的魯棒化改造過程，即

(10)

1.3 變分貝葉斯魯棒濾波算法

基于以上濾波方法，構造變分貝葉斯魯棒濾波算法，即通常VB來說跟蹤估計時變的觀測噪聲方差，再將估計的觀測噪聲方差帶入Huber魯棒濾波框架中，處理觀測量干擾問題。具體算法如下所示。

(1)時間更新：

(11)

(12)

αk|k-1,i=ρiαk-1|k-1,i

(13)

βk|k-1,i=ρiβk-1|k-1,i

(14)

其中，ρ為變分衰減參數(shù)，一般在(0,1]內(nèi)取回。

(2)觀測更新

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

2 仿真驗證

2.1 SINS/GPS組合濾波模型

本文采用SINS/GPS組合濾波模型進行仿真試驗，其中，間接式的狀態(tài)方程是以捷聯(lián)慣導誤差方程為基礎的，其狀態(tài)量為姿態(tài)、速度和位置的誤差量等，其中姿態(tài)誤差量一般采用歐拉角(θ,γ,ψ)表示(其中，θ為俯仰角，γ為橫滾角，ψ為航向角)?？紤]間接式的捷聯(lián)慣導姿態(tài)、速度與位置更新的連續(xù)時間微分誤差方程[11]

(22)

(23)

(24)

其中

M1=Rp

(25)

(26)

其中，εb為陀螺的常值漂移，ηgv和ηgu分別表示不同方差的零均值高斯白噪聲。加速度計誤差方程為

(27)

間接式的觀測方程如下

(28)

2.2 對比試驗

仿真比較傳統(tǒng)KF、基于Huber魯棒濾波(簡稱HKF)、自適應濾波(簡稱AKF)、基于變分貝葉斯的自適應魯棒濾波(簡稱HAKF)四種濾波算法的濾波效果。首先，對以下四種仿真情況加以說明：

情況1：高斯假設分布情況；

情況2：在時變觀測噪聲方差情況；

情況3：在含有野值情況；

情況4：在時變觀測噪聲方差和含有野值同時存在的情況。

其中，情況1是理想狀態(tài)，rk=[10/glv.Re10/glv.Re10]且Rk=diag(rk)2，其中glv.Re=6378137，地球半徑(GPS-84)；

對于情況2，假設時變觀測噪聲如下所示

其中

(1+tanh(0.01×(k-len/4)))

(29)

(30)

(31)

式中，k是時刻，len是總時長。

對于情況3，采用混合高斯分布來定義，如

(32)

式中，α為干擾因子，表示觀測量受污染程度；σ1和σ2分別表示獨立的高斯分布的標準方差。仿真時長len=850。

情況4是情況2和情況3的結合。

以下分兩種情況分析四種濾波算法的濾波效果。

(1)對比KF在四種情況下的濾波效果

對比在四種情況下，KF算法的姿態(tài)估計濾波效果，如圖1～圖3所示。由圖1～圖3可見，KF在情況1條件下的濾波效果最好，要優(yōu)于在情況2、3、4條件下的濾波效果，在濾波穩(wěn)定性和濾波精度方面都有明顯表現(xiàn)。同時，KF在情況3條件下的濾波效果與在情況1條件下的濾波效果比較接近，要優(yōu)于情況2條件下的濾波效果，情況2條件下的濾波效果要優(yōu)于情況4條件下的濾波效果。

圖2 在高斯情況下和觀測噪聲變化情況下姿態(tài)估計誤差比較Fig.2 Comparison of attitude estimation errors between Gauss and observation

圖3 在高斯情況下和含野值以及觀測噪聲變化情況下姿態(tài)估計誤差比較Fig.3 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

(2)對比KF、HKF、AKF和HAKF在情況1和情況4條件下的濾波效果

圖4 在高斯情況下姿態(tài)估計誤差比較Fig.4 Comparison of attitude estimation errors in Gauss case

對比在情況1和情況4條件下，四種濾波算法的姿態(tài)估計濾波效果。為了進一步觀察濾波效果，另外進行了50次蒙特卡羅仿真，如圖4～圖7所示。由圖4可見，在情況1條件下，四種濾波算法濾波效果較為接近，相差不大；但從圖5可見，經(jīng)過50次蒙特卡羅仿真實驗，長時間仿真實驗的情況下，在四種濾波算法中，HAKF的濾波穩(wěn)定性是最好的，而且濾波精度與KF基本相當；由圖6可見，在情況4條件下，四種濾波算法的濾波效果中，HAKF濾波效果最好，濾波穩(wěn)定性和精度都是最佳的，AKF濾波效果與HAKF濾波效果較為接近，要明顯優(yōu)于KF和HKF，KF的濾波效果與其他三種濾波算法的濾波效果相差較大；由圖7可見，在情況4條件下，經(jīng)過50次蒙特卡羅仿真實驗，在長時間存在外在干擾的情況下，四種濾波算法的濾波效果中，HAKF濾波效果最好，濾波穩(wěn)定性和精度都是最佳的，AKF濾波效果與HAKF濾波效果較為接近，要明顯優(yōu)于KF和HKF，KF的濾波效果與其他三種濾波算法的濾波效果相差較大。

圖5 在高斯情況下姿態(tài)估計誤差比較Fig.5 Comparison of attitude estimation errors in Gauss case

圖6 在高斯情況下與含野值和觀測噪聲變化情況下姿態(tài)估計誤差比較Fig.6 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

圖7 在高斯情況下與含野值和觀測噪聲變化情況下姿態(tài)估計誤差比較Fig.7 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

3 結論

本文針對組合導航姿態(tài)估計中觀測同時受到連續(xù)野值與變化的觀測噪聲影響等問題，利用高斯牛頓迭代方法，通過VB估計和Huber M估計提出了一種基于變分貝葉斯的自適應魯棒濾波算法。自適應和魯棒性兩種濾波策略在HAKF中結合到了一起?；谧赃m應策略的VB方法具有對時變噪聲協(xié)方差的強跟蹤能力；基于魯棒策略的Huber M估計方法通過改進濾波更新的方式具有解決污染分布或者異常值的能力。使用高斯牛頓迭代方法不僅能將M估計方法自然地融合到HAKF中而且還能提高濾波精度。通過大量的仿真實驗證明了HAKF的效能，驗證了該算法具有良好的自適應與魯棒特點，并能夠保持較高的估計精度。

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AdaptiveRobustFilteringAlgorithmBasedonVariationalBayesian

ZUOYun-long1,YINWei-wei2,GAOJing-dong1,LIKai-long1

(1.NavigationEngineeringDepartment,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430000，China；2.Navy902Factory,Shanghai200083，China)

In this paper, an adaptive robust filtering algorithm based on variational Bayesian method is proposed to solve the problem of the simultaneous observation of outliers and time-varying noises in the attitude estimation of integrated navigation.The algorithm can effectively solve the contradiction between the adaptive and robust filtering strategy, using variational Bayesian approximation to estimate the observation noise transformation, and deal with continuous outliers by using Huber filter robust method in the variational Bayesian filtering framework.In the integrated navigation attitude estimation experiment, it is proved that the algorithm has good adaptability and robustness, and maintains high estimation accuracy.

Kalman filter；Variational Bayes；Robust；Adaptive

2017-03-30；

：2017-06-09

：國家自然科學基金(61374206)；國家自然科學基金(61304241)；國家自然科學基金(61703419)；海軍工程大學自主立項項目(20161576)

：左云龍(1988-)，男，碩士研究生，主要從事慣性技術及應用方面的研究。E-mail：327731817@qq.com

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.05.008

U666.12

：A

：2095-8110(2017)05-0048-06