康嘯

作曲技術(shù)理論研究

音樂與混沌分形理論

康嘯

混沌理論(Chaos Theory)的提出，從科學角度探討了世界的本質(zhì)問題。與之密切相關(guān)的分形理論(Fractal Theory)無可爭議地成為了20世紀的三大科學革命之一，該理論不僅改變了人們觀察世界的角度，更啟迪了我們反思往昔習以為常的一切。文章重點審視音樂作品與生律方式中展現(xiàn)的混沌與分形特質(zhì)。從巴赫的古鋼琴作品中探討混沌理論中對于初始條件的依賴性；在約翰·凱奇的音樂創(chuàng)作中探索不可預測性；探究申克分析法與作品自相似性特征；探尋三分損益律所展現(xiàn)出的分形圖形等?？傊?，從音樂作品，到音樂分析觀念，再到廣闊的音樂文化，我們在紛繁復雜的音樂現(xiàn)象背后的確能夠發(fā)現(xiàn)混沌分形的特質(zhì)。

混沌理論；分形理論；音樂分析

引言：混沌分形理論

混沌與分形理論是20世紀人類最為重要的科學發(fā)現(xiàn)。這兩個理論的發(fā)現(xiàn)都起源于科學家對于世界的細致觀察與深入反思。美國氣象學家洛倫茨(Edward Norton Lorenz，1917-2008)從巴西蝴蝶的振翅引發(fā)美國的一場龍卷風的設想中探究混沌理論①1972年12月29日，美國數(shù)學家、氣象學家洛倫茲在美國科學發(fā)展學會第139次會議中發(fā)表了論文《可預見性：在巴西的蝴蝶震動翅膀是否會引起德克薩斯州的一場龍卷風？》(Predictability:Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?)解釋“混沌理論”。。國美籍數(shù)學家曼德布羅特(Beno?t B.Mandelbrot，1924-2010)在探究英國海岸線到底有多長的問題中提出了分形理論②1967年曼德布羅特在《科學》雜志上發(fā)表論文《英國的海岸線有多長？統(tǒng)計自相似性與分形維數(shù)》(How Long Is the Coast of Britain?Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)，標志著分形理論的初步形成。。這兩個密切關(guān)聯(lián)的理論，迅速成為影響深遠的前沿科學，并成為繼相對論和量子力學之后的第三次革命。通過這一理論的研究，我們發(fā)現(xiàn)大到星空宇宙，小到微觀粒子，都在混沌和分形理論的指揮棒下運行?；煦缗c分形相互關(guān)聯(lián)，混沌即時間上的分形，分形即空間上的混沌③馬建華、管華：《系統(tǒng)科學及其在地理學中的應用》，北京:科學出版社2003年版，第191頁。?；煦绗F(xiàn)象的主要特征體現(xiàn)為對于初始條件敏感的依賴，并且表現(xiàn)出一種不可預測性。分形理論則尤其關(guān)注自相似，即整體與局部的高度相似④[英]肯尼斯·法爾科內(nèi)：《分形幾何——數(shù)學基礎及其應用》，曾文曲等譯，沈陽：東北大學出版社1991年版，第200頁。?；煦绶中伪旧聿⒉皇前l(fā)明，而是一個偉大的發(fā)現(xiàn)?；煦绶中伪旧砭褪鞘澜绱嬖诘谋举|(zhì)特征，其規(guī)則存在于世界的每一個角落中，音樂中同樣展現(xiàn)了混沌分形的現(xiàn)象，我們從生律方式、音符發(fā)展、調(diào)性布局、創(chuàng)作觀念等方面詳細分述。

在巴赫《平均律曲集》第一卷(Das wohltemperierte Klavier I)第一首《C大調(diào)前奏曲》(Prelude in C major，BWV846)中，巴赫向世人展示了“分形”的魅力。整首樂曲的原點是質(zhì)樸的“主三和弦”，它亦是整首作品音符生長的初始條件。自第二小節(jié)開始，所有和弦都在之前的和弦基礎之上進行“微調(diào)”，即某些聲部同音保持，而某些聲部則緩行級進。巴赫手稿則更為突出地顯現(xiàn)出低聲部與高聲部發(fā)展差異。低音聲部基本保持在C音上，穩(wěn)定了作品的調(diào)性，從“分形”角度而言是對初始條件的依賴性。作品上方各聲部則通過級進方式，逐步脫離了原始的運行軌跡，繪出了分形的圖形(見譜1)。

譜1 巴赫《C大調(diào)前奏曲》第1-9小節(jié)手稿⑤巴赫1722年1月親筆手稿，摘自現(xiàn)存德國柏林國家圖書館的《巴赫手稿集》第415頁。

一、對初始條件的依賴性：巴赫《C大調(diào)前奏曲》

整首作品隨著時間的推演，和弦逐漸偏離了最初的音符軌道，形成了音樂圖形的漸進位移。每一個和弦都試模仿前一個和弦，體現(xiàn)出對初始條件的依賴性(保持音)，同時總是出現(xiàn)略微的差異(級進音)，“小偏差”的累積，導致整首作品不斷“偏離軌道”?；谧髌返暮拖铱s寫圖，可以更加明顯地看出和弦的細微變化，展現(xiàn)出所有和弦的變化軌跡(見譜2)。

如果前奏曲中的和弦從初始條件開始，按照一定規(guī)律發(fā)展下去，我們可以得到公式“Rn+1=a?Rn+a2Rn?1+...+anR1”，能夠推算和弦的發(fā)展樣態(tài)。

R表示和弦，n表示當下和弦的序列數(shù)，a是變化常量。由此可見，前一個和弦R本身的特性與和弦變化的規(guī)律共同作用，決定下一個和弦的形態(tài)(Rn+1)。當我們記錄所有和弦的信息與變化參量進行圖像化處理，和弦如同一張張應聲倒下的多米諾骨牌，呈現(xiàn)出“蝴蝶效應”的音樂圖譜。這部經(jīng)典的作品能夠在視覺層面重新呈現(xiàn)(見圖1)。

譜2 巴赫《c大調(diào)前奏曲》和弦縮寫譜

圖1 與巴赫《C大調(diào)前奏曲》類似的分形圖形

二、不可預測性：約翰·凱奇與偶然音樂

約翰·凱奇(John Milton Cage，1912.9.5-1992.8.12)是第二次世界大戰(zhàn)以后西方音樂歷史中頗具爭議的人物。凱奇的音樂創(chuàng)作，展現(xiàn)了二十世紀藝術(shù)家對于傳統(tǒng)音樂觀念的反思，也成為20世紀先鋒音樂的代表性人物。在混沌分形理論視角下，約翰·凱奇的音樂創(chuàng)作尤為符合其理論的核心特征。

1.加料鋼琴(預制鋼琴，Prepared Piano)

對鋼琴進行“加料”的方式，早在20世紀初就有作曲家進行了嘗試。但“破壞力”最強的則是約翰·凱奇，很多人都無法理解他為什么要將一些雜物，包括螺絲、硬幣、電線、竹片、破布、橡皮等一股腦的灑在三角鋼琴的音板上。其實，約翰·凱奇最初是因為創(chuàng)作舞蹈《酒神狂歡》(Bacchanale，1940)時，由于沒有足夠的打擊樂器而將鋼琴進行了改造⑥維基百科：英文詞條“Works for prepared piano by John Cage”，https://en.wikipedia.org/wiki/Worksforpreparedpianoby?JohnCage。。但是他卻從中得到了靈感，自二十世紀40年代以來他對“加料”方式情有獨鐘，從作為舞蹈伴奏樂器到獨奏樂器，從一架鋼琴到多架鋼琴，再到與樂隊合奏，他將這一形式發(fā)揮得淋漓盡致，產(chǎn)生了超過三十部作品，如《先祖圖騰》(Totem Ancestor，1942)、《大地將再次承受》(And the Earth Shall Bear Again，1942)、《看似無憂慮的拋擲》(Tossed As It Is Untroubled，1944)、《為馬塞爾·杜尚而作的音樂》(Music for Marcel Duchamp，1947年)等⑦James Pritchett,R and Laura Kuhn,Charles Hiroshi Garrett：John Cage,Stanley Sadie and John Tyrrell:The New Grove Dic?tionary of Music and Musicians,Macmillan Press Ltd.,2001.。從后現(xiàn)代主義思潮來看，當演奏者按動琴鍵的時候，可以發(fā)出意想不到的聲音效果，此舉使得作曲家在創(chuàng)作中的主體性失落，也消解了創(chuàng)作者的話語權(quán)⑧后現(xiàn)代理論中對于創(chuàng)作者主體性消解例子不勝枚舉，最具代表性的是文學領(lǐng)域的“零度寫作”，最初由法國作家羅蘭·巴特(Roland Barthes，1915-1980)在《寫作的零度》(Le degré zéro de l'écriture)中提出，主張將情感降到“冰點”，客觀、理性的進行寫作。。而且，作曲家使用日常物件作為“樂器”，也模糊了藝術(shù)與生活的界限，這一觀念亦是后現(xiàn)代理論所主張的⑨作為后現(xiàn)代藝術(shù)事件中，模糊日常物品與藝術(shù)品的例子，可舉杜尚(Marcel Duchamp，1887－1968)作品《泉》(Fountain，1917)。其直接將從商店買來的小便池，作為展品送到了美國獨立藝術(shù)家展覽中心。凱奇作品《為馬塞爾·杜尚而作的音樂》也充分展現(xiàn)了作曲家對于杜尚藝術(shù)觀念的推崇。。筆者則關(guān)注作曲家所追求的創(chuàng)作“隨機性”。確定系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性(Randomness)是混沌·分形理論重要的特征之一。隨機性的發(fā)現(xiàn)使人類對世界的認識進入了新的階段，約翰·凱奇的做法即對隨機性的音樂闡述。當演奏者觸壓琴鍵時，他是無法預料到出現(xiàn)的后果。由于小物件的作用，音色呈現(xiàn)初不確定性。雖然約翰·凱奇也曾經(jīng)創(chuàng)作過“定點加料”的鋼琴作品⑩定點加料指在某些指定的琴弦上放置物品。，但最終他還是放棄了走“回頭路”的方式，充分發(fā)展創(chuàng)作隨機性，夸大偶然的因素，這一做法表達了藝術(shù)家對“主體消解”的再思考，也隱喻了他眼中的世界觀。

2.投幣作樂

投幣作樂：通過投擲的硬幣的正反面，決定下一個音的走向。1951年開始，約翰·凱奇的音樂創(chuàng)作幾乎都帶有隨機性的因素。凱奇受到《易經(jīng)》的影響，采用問爻的方式，進行音樂創(chuàng)作。約翰·凱奇使用三枚硬幣投六次，并且將結(jié)果與數(shù)理化的爻卦表格進行對應(見圖2)，以此決定每一個音的走向，創(chuàng)作了鋼琴獨奏曲《變化中的音樂》(Music of Changes)。

作曲家在之后的投幣創(chuàng)作進一步擴展到其他音樂元素，如升降符號、譜號以及演奏技法等。樂譜創(chuàng)作的隨機性也逐步擴展到演奏過程之中，凱奇將更多演奏技法選擇交由演奏者決定，提升了樂曲呈現(xiàn)過程中的隨機性，也進一步創(chuàng)作了《黃道帶星圖》(Atlas Eclipticalis，1961–62)以及多套練習曲(Etudes Australes，1974–75；Etudes Boreales，1978)。偶然音樂的創(chuàng)作方式逐步被世人所熟悉，也成為20世紀后現(xiàn)代音樂藝術(shù)理論的核心特點。?Marc G.Jensen:John Cage,Chance Operations,and the Chaos Game:Cage and the"I Ching",Musical Times,2009,p.99.

偶然性創(chuàng)作不僅在音樂界展現(xiàn)了革命性的意義，也預示了科學領(lǐng)域的重要發(fā)現(xiàn)。英國沃里克大學數(shù)學教授伊恩·斯圖爾特(Ian Stewart，1945.9.24-)博士1989年在其著名的著作《上帝投骰子嗎？混沌之數(shù)學》(Does God Play Dice?The New Mathematics of Chaos)中，論述了混沌學對體力學、天體力學、統(tǒng)計學、拓撲學等自然科學的影響，提出了自然科學中耗散系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，并形象地比喻：上帝是通過投骰子的方式創(chuàng)造了世界?Ian Stewart:Does God Play Dice:The New Mathematics of Chaos,Blackwell Publishing,1989.。其實在混沌、分形理論發(fā)現(xiàn)之前，人們已經(jīng)開始意識到混沌的存在，測不準原理的運用，亦體現(xiàn)出人們對牛頓經(jīng)典力學理論和后來量子物理學的一個補充或修正。而凱奇的觀念藝術(shù)似乎就是對科學革命的預言，他的行為似乎在告訴世人“我替上帝投骰子”，由此音樂創(chuàng)作中的隨機性被突顯出來，作曲家無法通過自己的意志改變音樂的走向，音樂是“上帝”的恣意創(chuàng)造?！蹲兓械囊魳贰?Music of Changes)受到東方老莊哲學和《易經(jīng)》的重大影響，其作品的深層寓意探討了世界的變化本質(zhì)和系統(tǒng)各部分的內(nèi)在微妙聯(lián)系，這與混沌理論更重視內(nèi)在聯(lián)系方面有共通之處。

圖2 《易經(jīng)》的卦譜與用于創(chuàng)作《變化中的音樂》的卦譜表格

另外，投幣作曲法更體現(xiàn)了混沌·分形理論的一個重要思維：系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性。由于是通過投幣進行創(chuàng)作，所以作品中的音符之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，每一個新的音符都是在前一個已經(jīng)確定音符的基礎上產(chǎn)生的。如此方式，作品從頭至尾成為了對初始條件(第一個音符)敏感依賴的系統(tǒng)。如同長鏈條，作品中的音符環(huán)環(huán)相扣，后一個音都試圖按照前一個音符的軌跡進行運動，但是由于投幣的出現(xiàn)，隨機性加入，即形成了偏離軌道的新軌跡，孕育出音樂的魅力。

3.《4分33秒》

1952年8月29日，約翰·凱奇在紐約推出了他的驚世之作——《4分33秒》。這是一段虛無的演奏時間，但設計得有板有眼：鋼琴家戴維·圖德(David Eugene Tudor，1926.1.20–1996.8.13)走上臺，在鋼琴前坐下，雖然鋼琴家始終沒有觸碰琴鍵，但是通過打開與合上鋼琴蓋板，將作品隨機分割為三個部分，時間分別為30秒，2分23秒，1分40秒。觀眾在第一部分保持安靜，第二部分就開始出現(xiàn)嘀咕聲，最后一部分則是不可抑制的憤怒喧嘩。大部分現(xiàn)場觀眾的反應是被耍弄，有一小部分則冷眼旁觀，還有更小部分似乎有些領(lǐng)悟?W.Joseph:John Cage and the Architecture of Silence,October,1997,p.85.。其實這部作品的創(chuàng)造者是在場的觀眾，作曲家希望觀眾能夠傾聽自身的聲音，從而喚醒人們對“聲音”觀念的重新思考。在這部作品之后，凱奇又創(chuàng)作了后續(xù)作品《0分00秒》以及《1的三次方》，進一步思考聲音主體性問題？

偶然性是《4分33秒》的核心特征，其沖擊著傳統(tǒng)的藝術(shù)觀念。演奏者打開琴蓋的動作是觀眾可以預測的，按照常理，此后的動作應該是演奏，但是演奏者關(guān)上了琴蓋，使觀眾的對以往鋼琴音樂會的經(jīng)驗預期出現(xiàn)了偏差，而當演奏家又以此重復了此動作的時候，觀眾已經(jīng)意識到自身已無法預測下一個動作了，于是劇場終于沸騰了。觀眾似乎被這種無法預測的表演所激怒了(觀眾也無法預測到自己的憤怒)。而鋼琴家仍然悄然無聲他將表演的舞臺交給了觀眾。由此得出，這部作品的內(nèi)容正是觀眾自身，觀眾通過自己憤怒的動作，構(gòu)造了一個內(nèi)在隨機性的混沌系統(tǒng)。約翰·凱奇對于觀眾的憤怒應該是有預先的設想，但是他永遠無法控制到底是哪位女士“扔出香蕉皮”，哪位男士破口大罵，“表演”的具體的過程完全是一個憤怒的非線性系統(tǒng)。作曲家的極端做法告訴了所有人，音樂的作品永遠無法做到精確控制，你是無法預期演出的所有細節(jié)的，隨機性是事物的真正的本質(zhì)。

以分形理論的視角觀察，《4分33秒》亦展現(xiàn)出自相似特性。自相似性是分形理論的核心內(nèi)容，整體與局部的相似使其呈現(xiàn)出分形形態(tài)。整首作品中只有一個全休止符，且從頭至尾持續(xù)，如同中國繪畫中的留白?作曲家在創(chuàng)作作品之前，體驗了哈佛大學的消聲實驗室，自稱聽到了自己血液和神經(jīng)系統(tǒng)的聲音。Peter Gutmann:the sound of silence,http://www.classicalnotes.net/columns/silence.html.。這一點如同印度古典音樂中的持續(xù)音。印度古典音樂中的持續(xù)音看似簡單，但是印度音樂家卻堅持認為持續(xù)音富含了多層次，反映了印度宗教輪回思想。約翰·凱奇本身也對于印度等東方哲學非常感興趣。因此，音符表面的單一并不代表著簡單。在分形理論角度，作品從整體到局部保持了“休止”自相似特征。鋼琴家的幾個動作將作品4分33秒劃分為三個部分，而“靜籟”將其統(tǒng)一，成為核心的特征。

三、科赫曲線：結(jié)構(gòu)的自相似性與申克分析法

科赫曲線(Koch Curve)是一種獨特的分形曲線，由瑞典數(shù)學家科赫(Helge von Koch， 1870.1.25-1924.3.11)于1904年首次提出?H.von.Koch:Sur une courbe continue sans tangente,obtenue par une construction géométrique élémentaire,Arkiv for Matematik,1904(1),pp.681-704.?？坪涨€的形成并不復雜，需要三個步驟。第一，有一條線段；第二，將這條線段中間的1/3處向外折起；第三，依照相同的方式，把每個線段的1/3處向外折起。如此無限發(fā)展下去，能夠繪出科赫曲線。我們可以將每一次線段外折稱為“一次迭代過程”。迭代不斷進行，圖形中的折點數(shù)量倍增，而曲線最終顯示細節(jié)的多少將取決于迭代次數(shù)和顯示系統(tǒng)的分辨率(見圖3)。

圖3 迭代6次的科赫曲線

科赫曲線是人工設計的數(shù)學曲線，經(jīng)典地展現(xiàn)了局部和整體的自相似性，即在任意小的比例尺度中都包含了整體的構(gòu)造?？此坪唵蔚木€段卻蘊含著宇宙中的某種秘密。在音樂作品之中，也存在“科赫曲線”。我們以格里格《培爾·金特》(Peer Gynt，Op46，1888)組曲第一套(1888)中的第二首《奧賽之死》(La mort d’?se)為例?！秺W瑟之死》為復二部結(jié)構(gòu)。首部A通過對材料a的呈示、引申和再現(xiàn)，形成了單三段結(jié)構(gòu)，調(diào)性分別為：b小調(diào)-#f小調(diào)-b小調(diào)，形成了主、屬、主的五度調(diào)性布局。而作品中主屬和弦交替最為頻繁，在微觀層面形成了五度的關(guān)系(見譜3、4)。

在第二部分B中的材料呈現(xiàn)方式與A部類似，對材料b的進行呈示、引申以及再現(xiàn)，調(diào)性布局為D大調(diào)-G大調(diào)-D大調(diào)的布局，樂曲最后回到了主調(diào)b小調(diào)。從整首樂曲的調(diào)性布局來看，我們能夠發(fā)現(xiàn)其中多重五度結(jié)構(gòu)。在樂曲首部A的調(diào)性存在上行五度調(diào)性布局，第二部分B中同樣體現(xiàn)出下五度(上四度)的調(diào)性結(jié)構(gòu)(見圖4)。

圖4 格里格《奧塞之死》調(diào)性布局所呈現(xiàn)出的“科赫曲線”

譜3 格里格《奧塞之死》(鋼琴版)第1-4小節(jié)

譜4 格里格《奧塞之死》(鋼琴版)第9-12小節(jié)

音樂作品中的屬主五度結(jié)構(gòu)不僅體現(xiàn)在宏觀的調(diào)性布局方面，也存在于微觀的和弦連接層面。如此特點如同科赫曲線的圖形一般，體現(xiàn)出局部與整體的自相似特征，這使得我們想到了申克的還原分析法。奧地利音樂理論家申克(Heinrich Schenker，1868.6.19–1935.1.14)在對J·S·巴赫、亨德爾、貝多芬等作曲家的作品進行了深入的研究，強烈的感受到大師筆下的那些形態(tài)各異的作品的深層，必定隱藏著對位法的嚴格程序?周勤如：《音樂深層結(jié)構(gòu)的簡化還原分析——申克分析法評介》，《音樂研究》1987年第2期，第25-36頁。。為了探尋作品中隱藏的本質(zhì)特征，探索在不同結(jié)構(gòu)水平方面的特點與關(guān)聯(lián)，申克將音樂作品作為一個有機整體進行分析，并且劃分前景、中景、背景三個層面，探尋作品從宏觀結(jié)構(gòu)到微觀形態(tài)所遵循的規(guī)律。整首樂曲就是一個宏觀層面的終止式，這與微觀層次的多次終止形成了自相似性特征。此特點在很多作品中都有體現(xiàn)，如果我們將一部作品理解成為一個獨立的系統(tǒng)，無論大小、長短，其整體就形成了它的基礎層(基礎結(jié)構(gòu))，在其整體基礎上又能劃分出若干組成部分，這些組成部分就構(gòu)成不同等級的次級層(高級結(jié)構(gòu))，不同層級的部分之間存在著自相似特質(zhì)?姜萬通：《耗散系統(tǒng)與音樂作品中的自組織現(xiàn)象》，《黃鐘》2004年第2期，第41-46頁。(見譜5)。

圖5 與三分損益生律方式類似的分形圖形

譜5 格里格《奧塞之死》A部背景、中景圖

四、永不閉合的分形圖形：“三分損益律”

“三分損益律”是中國古代最早也是廣泛應用的律制。此生律方式從基礎律(即黃鐘宮)開始，通過“三分損一”(取弦長2/3)或“三分益一”(取弦長4/3)的方式，產(chǎn)生了新的律，如此周而復始，循環(huán)往復。三分損益生律方式會導致“黃鐘不能回歸本位”，形成古代音差(24音分)?陳正生：《三分損益律的算式》，《中央音樂學院學報》1993年第2期，第74-75頁。?！爸賲尾荒苓€生黃鐘”導致漢代的京房六十律，南朝宋人錢樂之的三百六十律的出現(xiàn)，七目的都是為了縮小“古代音差”，但永遠無法與黃鐘律數(shù)一致。有學者研究認為，十二律循環(huán)相生、黃鐘周而復始，體現(xiàn)出道家學說中“周行”、“復歸”的特征，即在“一”的本原中，通過“周行”、“復歸”的方式形成了“永不止息”的運動狀態(tài)。這也就是宇宙萬物所體現(xiàn)出來的核心規(guī)律?修海林：《先秦道家音樂學術(shù)思想的主要特征——以〈呂氏春秋〉諸篇為例的分析》，《漢唐音樂史首屆國際研討會論文集》，2009年，第1-7頁。。筆者基于此觀點進一步認為，十二律的如此循環(huán)特征，明顯體現(xiàn)出“分形”的特征。黃鐘律是“分形結(jié)構(gòu)”的初始條件，“三分損益”(取弦長的2/3或4/3)則是自相似的常量，生律依照基本條件不斷重復發(fā)展，永不停歇。生律越多，黃鐘越接近本位，但終歸無法回歸本位。如同三分損益所致黃鐘不能還原，分形特征的圖形永遠無法形成閉合。由此可見，三分損益法中包含的數(shù)理邏輯存在著分形特征。中國古老的道家學說與20世紀的數(shù)理邏輯在“三分損益法”尋找到了共通點(見圖5)。

結(jié)語

從巴赫的古鋼琴杰作，到約翰·凱奇的“加料鋼琴”實驗，從申克的還原分析法到三分損益的生律原則，基于混沌分形理論的，研究者能夠在音樂形態(tài)方面獲得全新的研究視角，并且很多創(chuàng)作觀念進行深入的思考。音樂是人類智慧活動的產(chǎn)物，是人類思考萬事萬物的規(guī)律的音聲表達，其中也必然顯示出宇宙運行的某些規(guī)律，因此音樂作品中流露出混沌與分形特質(zhì)并不罕見。我們探索音樂中的混沌分形，嘗試深入的理解音樂作品，也試圖透過這些作品，進一步發(fā)現(xiàn)世界萬物的本質(zhì)特征。由此可見，從具象的音符到宏觀的觀念思想，混沌與分形理論不僅幫助我們理解音樂作品，其在音樂中的體現(xiàn)也能夠反觀世界的奧妙。

(責任編輯 張 璟)

J614

：ADOI：10.3969/j.issn1003-7721.2017.03.010

1003-7721(2017)03-0091-08

2017-04-10

康 嘯，男，音樂學博士，中國音樂學院音樂研究所副研究員,北京市民族音樂研究與傳播基地專職研究員，英文學刊《音樂中國》編輯部主任(北京 100101)。