鄭芙

摘要：汽車后視鏡是保證行車安全的重要部件。目前，國(guó)內(nèi)外汽車的后視鏡多為平面鏡、凸面鏡或雙曲率后視鏡。平面鏡圖像沒有畸變，但視野不足，存在盲區(qū)。為擴(kuò)大視野，采用凸面鏡，但圖像嚴(yán)重扭曲失真，致使駕駛員無(wú)法準(zhǔn)確判斷后側(cè)方道路情況。因此，采用大視野、低失真的雙曲率后視鏡能大大提高安全性，對(duì)降低交通事故的發(fā)生率、減少人民的生命以及財(cái)產(chǎn)損失具有重要意義。

本文針對(duì)現(xiàn)有的雙曲率后視鏡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)平面鏡及凸面鏡成像原理、幾何光學(xué)原理等建立了視野能見寬度模型、垂直放大率模型用以確定雙曲率后視鏡的視野范圍和畸變程度，并運(yùn)用模擬退火算法求解，可以得到雙曲率后視鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：雙曲率后視鏡；優(yōu)化設(shè)計(jì)；物像位置關(guān)系

1雙曲率后視鏡的視野范圍

為簡(jiǎn)化問題，將雙目等效成單目，且假設(shè)平面鏡與凸面鏡光滑連接。R為凸面鏡的曲率半徑，β為垂直放大率，l_M為雙曲率后視鏡的水平總長(zhǎng)度，l_R為雙曲率后視鏡中凸面鏡的水平長(zhǎng)度，θ為雙曲率后視鏡中凸面鏡的圓心角。

雙曲率后視鏡鏡面的曲面外形如圖1：

圖1雙曲率后視鏡鏡面的曲面外形

根據(jù)幾何光學(xué)，雙曲率后視鏡的成像示意圖如圖2 [1]：

圖2雙曲率后視鏡成像原理圖

點(diǎn)A、B為雙曲率后視鏡中平面鏡的右、左邊界點(diǎn)，點(diǎn)C為人眼位置，點(diǎn)D為過點(diǎn)B作凸面鏡曲率半徑的垂線的垂足點(diǎn)，點(diǎn)E為平面鏡與凸面鏡相交處的切點(diǎn)，點(diǎn)O'為凸面鏡圓心，直線l_0為馬路邊緣。設(shè)點(diǎn)A、B、C、E、O'的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b），（c，d），（xE，yE），（xO' ，yO' ）。

點(diǎn)A、B與點(diǎn)O'之間的距離分別為：

（1）

（2）

點(diǎn)A與E，點(diǎn)E與O^'的距離分別為：

（3）

（4）

點(diǎn)C' （xC'），yC'）為關(guān)于過點(diǎn)B的切線l_0的對(duì)稱點(diǎn)，由|BC'|=|BC|及l(fā)CC^'，可得：

（5）

（6）

運(yùn)用MATLAB求解，可得點(diǎn)O'的坐標(biāo)（xO'，yO' ））、點(diǎn)E的坐標(biāo)（xE，yE）及點(diǎn)C'的坐標(biāo)（xC' ），yC' ）。

由此可得，直線BC'的方程為：

（7）

點(diǎn)C'' （xC''），yC'' ））為關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，由|AC'' |=|AC|及AE⊥CC''，可得：

（8）

（9）

聯(lián)立式（8）、（9），運(yùn)用MATLAB求解，可得點(diǎn)C''的坐標(biāo)（xC'' ），yC^'' ）。

由此可得，直線AC^''的方程為：

（10）

直線AC''、BC'與直線y=10m的交點(diǎn)分別記為N、M，則點(diǎn)N、M的橫坐標(biāo)N（x_N，y_N）、M（x_M，y_M ），則點(diǎn)N與M之間的距離|MN|，即雙曲率后視鏡的視野能見寬度，也即視野范圍為：

（11）

2 雙曲率后視鏡的畸變程度

為了對(duì)畸變程度進(jìn)行分析，選取垂直放大率β量化畸變。垂直放大率是用來描述物體成像前后高度間的關(guān)系，即為像的大小與物的大小之比。出現(xiàn)畸變主要是由于物體成像前后高度存在偏差。而這一偏差是由視野增大所導(dǎo)致的，故選取垂直放大率量化畸變是合理可行的。

根據(jù)幾何光學(xué)，凸面鏡的成像示意圖如圖3 [1]：

圖3 凸面鏡成像示意圖

1.凸面鏡物像位置公式

規(guī)定[2]：以折射面頂點(diǎn)"O" 為原點(diǎn)；沿著光線的傳播方向自左向右為正方向，故與光線傳播方向相同時(shí)取正值，相反時(shí)則取負(fù)值；以光軸為基準(zhǔn)，在光軸以上為正，則在光軸以下為負(fù)。

單個(gè)折射球面的物像位置關(guān)系為[2]： （12）

式中：n，n'——物方和像方的折射率；l，l'——物方和像方的截距。

反射定律可看成折射定律的特殊情況，令n'=-n可得凸面鏡的物像位置公式為：

（13）

2.凸面鏡成像規(guī)律的推導(dǎo)

垂直放大率為像的大小與物的大小之比，即：

（14）

對(duì)于凸面鏡，圖3中△A' B' C～△ABC，故可得：

（15）

又因?yàn)椋?/p>

（16）

式中：Q——阿貝不變量[2]。

則由式（12）可得：

（17）

又因?yàn)椋?（18）

則垂直放大率為：

（19）

其中，β∈（0，1]，β越大，畸變程度越小。當(dāng)β=1時(shí)，即為平面鏡，此時(shí)無(wú)畸變。

3.雙曲率后視鏡的畸變程度：

（20）

3 最優(yōu)曲率半徑的求解

雙曲率后視鏡的效果主要受視野范圍和畸變程度兩方面的影響?；谝陨戏治?，可分別得到視野范圍以及畸變程度對(duì)雙曲率后視鏡的效果的影響。為了將此兩個(gè)方面的影響進(jìn)行統(tǒng)一量化，得出最優(yōu)設(shè)計(jì)，需對(duì)這兩方面的影響進(jìn)行權(quán)重分析。

記|MN|=F（R），視野能見寬度|MN|隨著曲率半徑R的增大而減小，即視野范圍隨著曲率半徑的增大而減小。

記β=G（R），垂直放大率β隨著曲率半徑R的增大而增大，即畸變程度隨著曲率半徑R的增大而減小。

為保證視野能見寬度|MN|與垂直放大率β權(quán)重的均勻性，對(duì)F（R）和G（R）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得：

（21）

最優(yōu)曲率半徑R即是使視野范圍盡可能大，而畸變程度盡可能小。因此，優(yōu)化目標(biāo)即是求下列函數(shù)的極大值：

（22）

參考文獻(xiàn)

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[2] 郁道銀，談恒英，工程光學(xué)，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012。

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