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        巧用平移法解決存在性問題

        2017-09-17 19:28:44李睿芳
        黑龍江教育·中學 2017年8期
        關(guān)鍵詞:代人縱坐標橫坐標

        李睿芳

        在近年來的中考數(shù)學試卷中,等腰三角形、直角三角形、平行四邊形的存在性問題一直是多數(shù)學生感到困惑的問題,是涉及知識點非常多的綜合性問題.這類問題不僅考查學生對所學知識的應用能力,還對學生在不同情境中提取信息、作圖、分析、設計方案以及計算能力都有較高要求.

        存在性問題是探討是否存在一點,使其滿足某種特殊關(guān)系或圖形狀態(tài)的問題.通常利用全等、相似、三角函數(shù)等知識解決,但是計算量大、圖形復雜、耗費時間比較長,下面介紹一種比較簡單的方法——平移法.

        例1:直線AB: y=■x+2 與直線CD: y=-x+5 交于一點P, 在坐標平面內(nèi)是否存在一點M,使得B,P,C,M為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,直接寫出點M的坐標;若不存在,說明理由.

        分析:(1)讀題標注,整合信息:

        由兩條直線解析式可得B(-4,0),C(0,5),P(2,3).

        (2)根據(jù)方案作圖(圖略),有序操作:

        ①以PC、BP為臨邊擴展平行四邊形得M1.

        根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PC∥M1B,PC= M1B,借助平移,B到M1坐標的改變與P到C坐標的改變相同,由P(2,3)→C(0,5)可得,橫坐標小2縱坐標大2,B(-4,0)→M1 (-4-2,0+2),即M1(-6,2).

        ②以PC、BC為臨邊擴展平行四邊形得M2.

        同理由C(0,5)→P(2,3)可得,橫坐標大2縱坐標小2,那么 B(-4,0)→M2(-4+2,0-2),即M2(-2,-2).

        ③以BC、BP為臨邊擴展平行四邊形得M3.

        由B(-4,0)→P(2,3)可得,橫坐標大6縱坐標大3,那么C(0,5)→M3(0+6,5+3),即M3(6,8).

        例2:如圖1,平面直角坐標系中有兩個點B(4,2)、C(0,3),P在直線上,Q在直線 y=■x上,是否存在四點P、Q、B、C構(gòu)成平行四邊形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,說明理由.

        分析:根據(jù)方案作圖,有序操作.

        ①當BC為平行四邊形的邊時,把BC上下平移可得:P1Q1(圖2)和P2Q2(圖3)平行且等于BC的時候即可構(gòu)成平行四邊形.

        設P1的坐標(x,-■x+3),平行四邊形中由C(0,3)→P1(x,-■x+3)可得橫坐標大x,縱坐標大-■x,那么 B(4,2)→Q1 (4+x,-■x+2),之后把Q1(4+x,-■x+2)代人y=■x,即可得x=-2,所以P1(-2,4).

        同理P2(5,■).

        ②當BC為平行四邊形的對角線時,取BC的中點E(2,■),過點E的直線在BC的兩側(cè)取點P3,Q3,當EP3=EQ3的時候構(gòu)成平行四邊形.

        設P3的坐標 (x,-■x+3),平行四邊形中由P3(x,-■x+3) →E(2,■)可得橫坐標大2-x、縱坐標大■x-3+■,那么E(2,■)→Q3(2+2-x,■+■x-3+■),之后把Q3(4-x,■x+2)代人y=■x可得x=2,所以P3(2,2).endprint

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