廖怡娜,張創(chuàng)亮

(廣東工業(yè)大學 應用數(shù)學學院,廣州 510520)

平均非擴張映射的迭代程序的收斂性

廖怡娜,張創(chuàng)亮

(廣東工業(yè)大學 應用數(shù)學學院,廣州 510520)

利用Gocbel等人引入的平均非擴張映射的概念,得到了一致凸Banach空間下Mann迭代程序收斂于平均非擴張映射不動點的一些結果,同時也得到了在非凸Banach空間下迭代收斂的一些結果.

平均非擴張映射; Mann迭代程序; 不動點

0 引言

非擴張映射在泛函分析中是一類非常重要的非線性映射.近幾十年來,關于非擴張映射的不動點的存在性問題的研究已取得豐富的成果.在一致凸 Banach空間E中,C是E的非空有界閉凸子集,則非擴張映射T: C→C有不動點.這是一個眾所周知的結果.1953年,Mann[9]為了研究不動點逼近問題,引入了迭代程序

后來,Krasnosel'skii[11]和Dotson[10]等人對這種迭代方法進行進一步研究,證明了在凸空間下迭代程序的收斂性,可以找到非擴張映射的不動點.1976年,Ishikawa[5]利用廣義 Mann序列迭代證明了在任意Banach空間下非擴張映射的收斂定理.2007年,Gocbel和Japon Pineda[1]引入平均非擴張映射,平均非擴張映射是非擴張映射的推廣,其它結論見文[2,3,4].

本文將Mann迭代程序在非擴張映射下的一些結果推廣到平均非擴張映射上.

定義1[1,2]設E是Banach空間,C是E的非空子集,若映射T: C→E滿足

定義2 設E是Banach空間,C是E的非空子集,稱映射T: C→E是半緊的,是指對任意的有界序列使得則必存在的收斂子列.

引理 1[3]設E是 Banach空間,C是E的非空閉凸子集,若T: C→E是平均非擴張映射,且

引理 2[3]設E是 Banach空間,C是E的非空閉凸子集,T: C→C是平均非擴張映射,且若是C中有界列,則當且僅當

引理 3[5]設E是Banach空間,C是E的非空子集,T: C→C是非擴張映射.對于有界序列和實數(shù)列若

則d=0.

證明 與文[7]中引理2的證明方法類似.這里從略.

1 主要結果

定理 1 設E是一致凸 Banach空間,C是E的非空閉凸子集,T: C→C是具有不動點的平均非擴張映射,并且滿足和半緊性.對于C中序列和實數(shù)列若

證明 因為T有不動點,從而 fix(T)≠?.根據(jù)引理 1可以知道對任意固定z∈fix(T),有

從而可得

由式(2)、(3)可以推出

另一方面,注意

因此

故有

定理2 設E是Banach空間,C?E是非空閉凸子集,T: C→C是具有不動點的平均非擴張映射,并且滿足和半緊性,對于C中的有界序列和實數(shù)列若

則xm收斂T的不動點.

證明 由于Tα是非擴張映射,根據(jù)引理3可以知道因為由引理2可以知道又是有界序列,T是半緊的,從而可知有收斂子列設容易知道以下仿照定理1的證明,可以得到

推論 1 設E是 Banach空間,C是E的非空有界閉凸子集,T: C→C是平均非擴張映射,并且滿足和半緊性,對于C中序列和實數(shù)列若

則xm收斂T的不動點.

注2 當α1=1,定理2就是文[5]中定理2的推廣.

定理 3 設E是 Banach空間,C是E的非空閉凸子集,T: C→C是具有不動點的平均非擴張映射且滿足和半緊性,對于C中序列和實數(shù)列若

證明 必要性是顯然的.下面證明充分性.

從而

注3 定理3沒有假設T的半緊性,但加強了條件假設.

定理4 設E是Banach空間,C是E的非空子集,T: C→E是平均非擴張映射,且α1＞0.對于C中的有界序列和實數(shù)列若

則d=0.

故由引理4可知d=0.

注4 定理4把[5]中引理2的結果推廣到平均非擴張映射上.

2 結束語

本文研究了一類平均非擴張映射的Mann序列的迭代收斂性,改進和發(fā)展了文[5]和文[9]的一些結果.值得思考的問題是: 在平均非擴張映射下,對于Ishikawa迭代程序,是否也有類似的結果?

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Iterative Procedure Convergence for Mean Nonexpansive Mappings

LIAO Yina,ZHANG Chuangliang
(School of Applied Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510520,China)

We used the concept of mean nonexpansive mapping which are introduced by Gocbel et al ,and obtained some results of Mann iterative procedure converges to fixed point of mean nonexpansive mappings on uniformly convex Banach space,and got some results of iterative convergence for it’s on non-uniformly convex Banach space.

mean nonexpansive mappings,Mann iterative procedure,fixed point

O177.91 文獻標識碼: A 文章編號: 1672-5298(2017)02-0011-05

2017-03-12

廖怡娜(1992 -),女,廣東梅州人,廣東工業(yè)大學應用數(shù)學學院碩士研究生.主要研究方向: 系統(tǒng)與控制

張創(chuàng)亮(1992 -),男,廣東梅州人,廣東工業(yè)大學應用數(shù)學學院碩士研究生.主要研究方向: 非線性泛函分析