趙玉鳳

(山西工商學院 基礎教學部,山西 太原 030006)

Taylor展開隨機徑向基點插值無網(wǎng)格法在隨機非穩(wěn)態(tài)熱傳導中的應用

趙玉鳳

(山西工商學院 基礎教學部,山西 太原 030006)

用Taylor展開隨機徑向基點插值無網(wǎng)格法(TSRPIM)對隨機溫度場進行了分析.徑向基點插值是一種新型的無網(wǎng)格法,采用耦合徑向基函數(shù)和多項式基函數(shù)構造近似函數(shù),有效地解決了點插值中系數(shù)矩陣奇異性問題,而且由于插值具有Delta函數(shù)性質(zhì),可以直接施加本質(zhì)邊界條件.同時利用Taylor展開法,建立了隨機結構分析的Taylor展開隨機徑向基點插值無網(wǎng)格法(TSRPIM).數(shù)值實例表明在隨機溫度場分析方面隨機無網(wǎng)格法具有明顯的優(yōu)勢.

Taylor展開法; 隨機徑向基點插值無網(wǎng)格法; 隨機溫度場

0 引言

溫度場問題中的很多傳熱現(xiàn)象具有隨機性,導致導熱體溫度隨機變化的因素包括邊界條件、內(nèi)熱源存在隨機性,以及導熱體熱物性的不確定性等.隨機熱傳導問題主要求解的是響應的均值和均方值、自相關函數(shù)以及功率譜密度等.

隨機有限元法(SFEM)和隨機無網(wǎng)格法二者相比,前者需要對網(wǎng)格不斷進行重構,后者只需要對節(jié)點進行處理,故人們對無網(wǎng)格法愈加重視.本文通過將徑向基點插值無網(wǎng)格法和Taylor展開法相結合得到了Taylor展開隨機徑向基點插值無網(wǎng)格法.通過隨機溫度場分析中的數(shù)值實例說明了Taylor展開隨機無網(wǎng)格徑向基點插值無網(wǎng)格法精度較高,是一種耗時少、精度高、并且簡便有效的方法.

1 徑向基點插值無網(wǎng)格法(RPIM)

對于在域Ω上有定義的函數(shù)T(x),任意分布若干個節(jié)點在Ω域中和它的邊界上,選取n個節(jié)點值構造近似函數(shù)這些節(jié)點值位于某一點xq的支撐域中,且

對于給定的x,有

通常,在二維問題中

在方程組(2)中有n+m個未知數(shù)、n個方程,故增加m個約束方程

來進行求解.式(2)與式(3)聯(lián)立可得

將a,b代入式(1)中,得

這里

徑向基函數(shù)[3]常用的形式有:

2 Taylor展開的隨機徑向基點插值無網(wǎng)格法(TSRPIM)

2.1 隨機非穩(wěn)態(tài)傳熱問題的控制方程

隨機非穩(wěn)態(tài)傳熱問題的控制方程為

邊界條件為

式(7)的等效積分形式[5]是

對(8)式作變分,并令其為零得

由δT的任意性,可得

其中

上式中的 q1,q2…,qS是非穩(wěn)態(tài)熱傳導問題中的隨機變量,故T是 q1,q2…,qS的函數(shù).

T用帶有隨機變量的Taylor級數(shù)展開為

其中mn是q的第n階矩,n是近似次數(shù).

2.2 隨機場的離散

對隨機場離散的方法主要有Karhunen-Loeve展開、中心點離散法、局部平均法、形函數(shù)法[6]等.由于隨機無網(wǎng)格法和節(jié)點、網(wǎng)格沒有緊密聯(lián)系,故這些方法對隨機響應的準確性和斂散性沒有關系.其中的形函數(shù)法對求解高斯積分點處的隨機變量值有很重要的作用.

圖1

3 數(shù)值算例

圖1 所示的熱傳導問題是邊長是100的正方形板,左邊界AB的溫度為T=0,下邊界BC的熱流量為q=1000,沒有內(nèi)熱源,邊界AD、CD絕熱.令h為帶有高斯密度分布函數(shù)的隨機變量的量,該密度分布函數(shù)有平均值并滿足下列條件[6,8]

則用 TSRPIM 求解時,設置的規(guī)則節(jié)點數(shù)為676(26×26)個,高斯積分背景網(wǎng)格數(shù)為20×20個,各網(wǎng)格用4×4高斯積分,式(5)中的徑向基函數(shù)取式(6)中的緊支徑向基函數(shù)(TPS),多項式基取二次函數(shù).通過用TSRPIM和SFEM進行求解,對得到的溫度T的均值和方差σT隨時間t的變化和精確解進行比較,結果如圖2、圖3所示.

圖2 隨時間變化的溫度均值分布圖

圖3 隨時間變化的溫度方差分布圖

4 結語

(1)徑向基點插值有效地解決了點插值中系數(shù)矩陣奇異性問題,由于插值具有 Delta函數(shù)性質(zhì),可以直接施加本質(zhì)邊界條件.

(2)隨機無網(wǎng)格徑向基點插值法只需布置節(jié)點,而隨機有限元法必須劃分網(wǎng)格.

(3)一階TSRPIM的效率在所有SRPIM中效率最高,隨著隨機變量的增多,二次TSRPIM的計算量非常大.一階 TSRPIM 中逆矩陣的計算和剛度矩陣的計算次數(shù)只有一次,比攝動隨機無網(wǎng)格徑向基點插值法效率高.

(4)對隨機非穩(wěn)態(tài)熱傳導問題,應用TSRPIM 進行求解,通過MATLAB編程驗證了該方法是有效可行的,比隨機有限元法的精度和效率高,該方法在求解隨機溫度場問題中將得到很好的應用.

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Analyzing Stochastic Unstable Heat Conduction Problems with Taylor Expansion Stochastic Meshless Radial Point Interpolation Method

ZHAO Yufeng
(Basic Teaching Department,Shanxi Technology and Business College,Taiyuan 030006,China)

The stochastic temperature field was analyzed by Taylor expansion stochastic meshless radial point interpolation(RPIM)method (TSRPIM).A radial point interpolation method which is based on the radial function is a new meshless method.Because of the interpolation function with the combination of radial and polynomial basis,it is also easy to deal with essential boundary conditions for its property of Kronecher Delta function.By the Taylor expansion method,a Taylor expansion stochastic meshless radial point interpolation method in probabilistic structural analysis was constructed.Numerical example shows that Taylor expansion meshless radial point interpolation method (SMRPIM)can be applied in probabilistic temperature field with obvious superiority.

Taylor expansion method,Taylor expansion stochastic meshless radial point interpolation method (TSRPIM),probabilistic temperature field

O241.3 文獻標識碼: A 文章編號: 1672-5298(2017)02-006-05

2017-01-08

趙玉鳳(1985- ),女,山西太原人,碩士,山西工商學院教師.主要研究方向: 無網(wǎng)格法