蹇晨雨

湖北省沙市中學(xué)

探究游戲模型中的概率問題

蹇晨雨

湖北省沙市中學(xué)

日常生活中常見的游戲問題大多能以數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，并加以解決。本文通過對常見游戲的研究，分析常見游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，并通過概率論的方法對其進(jìn)行分析討論，得到常見游戲中普遍的數(shù)學(xué)規(guī)律，旨在解釋看起來公平或者選擇“理所應(yīng)當(dāng)”的游戲是如何存在概率意義上的必然性。

概率；游戲；數(shù)學(xué)思想；規(guī)則制度

一、游戲問題的相關(guān)背景

數(shù)學(xué)，作為多數(shù)高中生最為頭疼的一門基礎(chǔ)學(xué)科，大部分人對其持有一種“數(shù)學(xué)無用論”的看法，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)在生活中用處有限甚至認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是浪費(fèi)時間。然而，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，不僅是學(xué)好各大類學(xué)科的關(guān)鍵工具，也是解決問題的重要手段。接下來，本文將用數(shù)學(xué)中的概率論的思維方法解決幾個有趣的游戲問題。我們將了解到如何從熟悉的游戲中輕松取勝，并且對其中的原理奧秘用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，讓你在游戲競爭中學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析建模，通過科學(xué)的方法做出正確的選擇。

二、常見的游戲問題分析

（1）報數(shù)問題（報30問題）

游戲背景：甲乙兩人輪流報數(shù)。從1起，每人每次可報一個數(shù)或連續(xù)的兩個數(shù)，誰能報得30誰就獲勝。請問：本游戲是否合理，若不合理請說明理由？

分析思考：這是民間流傳很久的“搶30”游戲。將問題分析后，可知確認(rèn)游戲是否合理的關(guān)鍵之處在于先后報數(shù)的兩人獲勝概率是否相同。分析后則將問題轉(zhuǎn)化為求概率問題。

繼續(xù)對問題進(jìn)行分析，獲勝的關(guān)鍵就在于誰先報到30，根據(jù)規(guī)則用逆向思維進(jìn)行分析，誰要想獲勝，那他必須報到30或29和30，若他報的數(shù)為30，那對方一定報了28、29或28,，那么他只能報27或26、27，繼續(xù)向下逆推可知，若想獲勝一定要報得27、24、21、18……3，故可知，后報數(shù)必贏。

因此分類討論可知：

1.在雙方都不知道規(guī)則的情況下，任意方先報，則報1或1，2的概率均為1/2，而另一方報2或2，3的概率同樣為1/2。故依次推理得知，雙方報數(shù)時報得27的概率均為1/2。所以最后兩人報得30的概率均為1/2。在此條件下，此游戲則為公平的游戲。

2.在雙方均知道規(guī)則的情況下，若隨機(jī)選擇先后報數(shù)，則一方選擇后報數(shù)則可獲得比賽的勝利。在次條件下，比賽則偏向后報數(shù)的一方。

3.在一方知道規(guī)則條件下，其后報數(shù)總能獲得勝利。先假設(shè)其先報數(shù)，則可選擇報1或1，2，而對方選擇2和2，3的概率則為1/ 2，所以知道規(guī)則一方則可選擇報3，在其選擇報3后對方選擇報4和4，5的概率相同，此時知道規(guī)則一方必然可以選擇5。同理，不知道規(guī)則一方報到30的概率為1/2的10次方。

所以，報數(shù)問題對于不知道規(guī)則的一方完全不公平。

（2）蒙提霍爾問題（三門問題）

游戲背景：假設(shè)你參加一個抽獎游戲，主持人在三個小碗下面分別放了1塊錢、1塊錢和10000塊錢的籌碼。你選中哪一個，就可以領(lǐng)到對應(yīng)的錢。當(dāng)你選定一個碗后，主持人把剩下一個有1塊錢的碗翻開，并且，給你一次機(jī)會選另外一個碗。請問：應(yīng)不應(yīng)該交換？

分析思考：這個問題的結(jié)果與常識多少有些相悖，很容易陷入思維誤區(qū)而錯誤回答，對這個問題進(jìn)行分析，應(yīng)不應(yīng)該換取決于換不換與最終獲獎拿到10000塊錢的概率哪個更大。在分析時，我們要知道此類問題隱含著的一個前提：主持人每次打開的碗均為1塊錢的碗。則可用如下方法思考：

1.化繁為簡，將問題簡化為：A.讓你先選一個碗，并給你一次機(jī)會與余下兩個碗交換，換不換？顯然，這個結(jié)果應(yīng)該是要換。由于你第一次選擇只有1/3的機(jī)會選中10000塊錢的那個碗，余下兩個碗便有2/3的概率選中，所以，交換碗會使選中的概率變大。

B.也就是題目中的情況。主持人將有1塊錢的碗翻開，并不會影響整件事情的概率，那另外一個碗依然有2/3的概率是含有10000塊錢的，所以，應(yīng)該與主持人手上的碗交換，因為你選中的概率將從1/3升高為2/3。

2.極限法，將碗的數(shù)量增加至10000，則在你選擇了1個后，主持人打開剩下的9998個，此時你會不會和剩下的交換。此時，直覺會告訴我們，你不會第一次選就能“萬里挑一”，所以會選擇交換。即，你第一次選擇就能獲得10000塊的概率為1/10000，此時交換的概率遠(yuǎn)大于不換的概率。則會選擇交換。

3.數(shù)學(xué)計算，令事件A代表你選擇的碗里有10000塊，B代表主持人翻開一個里面有1塊錢的碗。根據(jù)貝葉斯公式：

P(B|A)=1,P(B)=1,則可得到P(A|B)=1/3,所以此時一定要交換。

4.問題拓展，此前我們是在已知主持人的行為，即主持人事先知道碗里的錢數(shù)，并且每次打開的均為1元錢的碗，這個前提下來討論分析問題的。但如果沒有給定這個前提條件呢，我們選擇交換的概率是否應(yīng)隨著主持人的行為模式發(fā)生改變呢？下面我們來看兩種情況：

①如果主持人事先并不知道碗里的具體錢數(shù)，即翻開碗里的錢數(shù)是隨機(jī)的，服從等概率分布。此時，P(B|A)=1, P(B)=1/3×1+2/3×1/2=2/3,則可得到，這種情況下的P(A|B)=1/2，那么換不換都是一樣的概率，并不會影響結(jié)果。

②如果主持人還是事先知道碗里的具體錢數(shù)，但每次翻開的碗都與你選擇的相反，也就是說如果你很幸運(yùn)的第一次就選中了裝有10000元的碗，那么他會翻開剩下兩個均裝有1元錢的碗其中的一個，僅當(dāng)你第一次選擇的是裝有1元錢的碗時，那么他就會翻那只開裝有10000元的碗。這種情況下問題就變得很簡單，此時的P(B|A)=1，P(B)=1/3×1+2/3×0=1/3，可求出P(A|B)=1，很顯然這時你是絕對不能換的。

（3）循環(huán)連勝問題

游戲背景：甲、乙、丙三人進(jìn)行比賽，規(guī)定甲與乙先比一盤，勝者與丙比，依次循環(huán)，直到有一人連勝兩盤為止，此人即為冠軍。假定每盤比賽雙方取勝的概率均為1/2，問這個比賽規(guī)則合理嗎？

分析思考：此題有關(guān)賽制類問題，我們可以假設(shè)若甲最終取得勝利，來求他獲勝的概率。設(shè)事件A為甲最終贏，事件D為甲贏了第一局，則由全概率公式可知：P(A)=P(A|D)×P(D)+P(A|Dˉ)×P(Dˉ)，設(shè)P(A|D)=a,P(A|Dˉ)=b，且甲在第一局贏了的條件下，最終贏了的事件也包括第二局輸或贏，所以如果第二局輸了，情況可以等效于第一局輸了，最后獲勝；同理，在第一局輸了的條件下，第二局只能獲勝，但第三局又可以輸或贏，這情況又等效于第一局贏了，最后獲勝。故可得：a=1/2+1/2b b=1/2×1/2a，解得：a=4/7 b=1/7，所以由全概率公式可以計算出P（A）=5/14，同理乙最終獲勝的概率和甲相同，也為5/14，丙獲勝的概率為1-5/14-5/14=4/14，也就是2/7，顯然，三人獲勝的概率不同，從中，也可以發(fā)現(xiàn)，先進(jìn)行比賽的人，獲勝的概率較大，所以規(guī)則并不合理。

三、游戲中蘊(yùn)含的思想與啟示

（1）游戲在我們生活中普遍存在，掌握它其中的概率問題，也就相當(dāng)于掌握了制勝的法寶，使我們獲勝的概率增大許多。

例如很多體育競技項目，在賽事前選手的出場順序、比賽場地、競技對手等都是由抽簽這一環(huán)節(jié)來決定的，通常都會選擇拋硬幣的方式，鑒于這種方法簡單易得同時又滿足公開公平的原則，但有些重大的賽事前的抽簽環(huán)節(jié)，為了防止出現(xiàn)作弊等任何紕漏達(dá)到更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臓顟B(tài)，有時也是考慮到起到營造整個比賽的緊張氛圍，則會采取一些更為復(fù)雜、新穎的抽簽方式。

例如1999年足協(xié)杯在最后總決賽的主客場次序抽簽環(huán)節(jié)就不僅是拋硬幣那么簡單，其選擇的方式為：先分別由兩隊選擇單數(shù)還是雙數(shù)，然后再分別由兩隊從數(shù)字1到9之間任意抽選一個數(shù)字，并求和，如若求和結(jié)果為單數(shù)，則由選擇單數(shù)的球隊選擇主客場次序，反之則由選擇雙數(shù)的球隊來決定。但這其中選擇單、雙的結(jié)果是不是完全一樣的呢，得到的結(jié)果又是否真的做到完全的公平呢，讓我們把它抽象為數(shù)學(xué)的概率問題來探究這個方式是否真的合理可行。

1.抽象問題：從數(shù)字1到9之間任選兩數(shù)并做求和運(yùn)算，其結(jié)果為奇數(shù)還是偶數(shù)的概率是否相等？

2.概率分析：不妨設(shè)A：“選出的數(shù)字求和結(jié)果為偶”，B：“選出的兩個數(shù)字都為偶”，C：“選出的兩個數(shù)字都為奇”。顯然A=

3.結(jié)果分析：通過數(shù)學(xué)概率的計算，我們可以得出結(jié)論，在這個抽簽環(huán)節(jié)中，選擇單數(shù)的球隊獲得主客場次序選擇權(quán)的機(jī)會更大一些，有55.5%的機(jī)會。顯然這個抽簽方式的制定存在一定的漏洞，并不能做到完全的公平，如果在事先了解它其中的概率問題，那么就能充分利用這一規(guī)則上的疏忽，在比賽中搶先占據(jù)有利地位。這同時又在另一方面提醒比賽規(guī)則的制定者，在制定并賽規(guī)則時應(yīng)更加嚴(yán)謹(jǐn)，盡量保持比賽的合理性、公平性。

例如A、B兩個人做一道判斷對錯的問題，答案無非兩種，非對即錯，顯然兩人的正確率并無并無什么區(qū)別都是1/2，假設(shè)在兩進(jìn)一步考慮，如果是A、B、C三個人一起做同一道多選題呢，當(dāng)其中兩人的選擇結(jié)果相同時，他們選擇正確的概率是多少？選擇的人越多是否就代表著這就是正確答案呢？這里我們假設(shè)每個人選擇的正確率均為p,同時剩余n個錯誤選項每個出現(xiàn)的概率也相同均為q，p+nq=1。此時選擇相同的兩人選擇正確的概率為。同時這個概率又要滿足大于一個人的正確率p，即我們可以得出結(jié)論，在p＞q，即正確選項的概率要大于其余每個錯誤選項的概率的前提下，選擇的人越多那么就代表著這個選項就是正確的答案。

（2）研究此類問題，其中蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想，例如逆推思想、化繁為簡思想、分類討論思想等等，這更加體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用以及它在生活中發(fā)揮的巨大作用。同時，這也像我們展示了，數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，以及一些基本的概率公式。

1.古典概型P()事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)從n個不同元素中取r個（排列講次序，組合不講次序）選排列：Pr2.排列與組合公式n= A= n! () n-r!=n() n-1…() n-r+1全排列：Pn=n!重復(fù)排列：nr組合：CrPrn n! r!() A+P()n=n-r!= Aˉ=1-P() A 3.對立事件公式4.加法公式5.減法公式P() r! P() A?B=P()B-P() AB若A?B，則P() A-B=P() A-P() AB P() A-B=P() A-P() B P() 6.條件概率公式A|B=P() P() Aˉ|C=1-P() A|C AB P() B AB|C若A與B互不相容，則P() A?B|C=P() P()A|C+P() B|C-P() A|C+P() B|C若P() A?B|C=P() A＞0，則P() AB=P() B|A P() A 7.乘法公式若P() B＞0，則P() AB=P() 8.全概率公式9.貝葉斯公式A|B P() B乘法公式主要應(yīng)用于計算幾個事件同時發(fā)生的概率P() A=P() A|D×P() D+P(A|Dˉ)×P(Dˉ) P() A|B=P() A P() B|A P() B

[1]王儒智.游戲規(guī)則中的概率問題[J].昌濰師專學(xué)報，2000，4（2）,69～70.

[2]唐國興.高等數(shù)學(xué)（二）第二分冊[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，1991.

[3]經(jīng)家麒.搶數(shù)游戲及其推廣[J].數(shù)學(xué)通報，1992（2）.

[4]瀟寒.[EB/OL].https：//www.zhihu.com/question/37861500/an?swer/79406813.