高婷婷， 張明會

(隴南師范高等?？茖W校初等教育學院， 甘肅成縣 742500)

保險產品設計的數學模型

高婷婷， 張明會

(隴南師范高等?？茖W校初等教育學院， 甘肅成縣 742500)

在已知投保人恰好k歲死亡的概率為pk的前提下，以保險金本息和余額為隨機變量X，建立了保險公司收益的數學期望Em(X)=∑k∈Λxkpk的概率模型．并給出了在投保人都是恰好滿m歲死亡時，保險公司收益的數學期望的表達式，討論了保險公司不盈不虧(即保險公司收益的數學期望Em(X)=0時)的概率p(Em(X)=0)．通過考慮年齡別死亡率等一些有用的數據，討論了確定合適的a，b，d和n值的一些思路和方法．

概率模型；概率分布列；數學期望；均勻分布

1 問題的提出和復述

某保險公司擬設計一款新產品， 其思路是：投保人從一出生開始， 每月交納固定費用a元， 交滿n年(n是正整數)后停止交費， 并從下一個月開始按月領取固定額度的工資b元， 直到投保人死亡.

為簡單起見， 我們不需要考慮其他例外情況. 假設銀行的月利率為c， 且一直不變. 保險公司只將投保人的交費及時存入銀行， 不進行其他投資.

由于人的死亡具有一定的隨機性， 若已知投保人恰好k歲死亡的概率為pk， 試建立合理的數學模型， 并解答如下的問題.

問題4： 從直覺上知道，a,n越小，b,d越大， 投保者越多. 但也可能使公司的風險增大. 根據以上模型， 探討如何確定合適的a,b,d,n(可以引入以上沒有提及的影響因素).

2 模型的假設與變量說明

為了簡化模型， 便于討論和計算， 現對模型中的變量和符號進行說明， 并做一些合理的假設.

2.1 必要的假設

1. 當投保人交滿n年保險金后， 并在m年死去， 當m>n時投保人除了按月領取b元固定工資外， 保險公司不另行其他賠償； 當m≤n時保險公司全額退還投保人所有交費(不付利息)， 并再按所有交費的d倍賠付.

2. 月份按自然月計算， 每年12個月， 即不分大月和小月， 也不考慮閏年， 人在一年中的死亡率服從均勻分布.

3. 保險公司每月月初將投保人的保險金存入銀行.

4. 銀行的存款利息按復利計算， 即銀行在每月月底結息， 并自動滾入下一月， 作為下一月的本金.

5. 投保人交滿n年保險金后， 從第n+1年開始每月月初領取工資b元.

6. 投保人在m年死亡后， 其保險金本息和的余額作為保險公司的純收益， 不再考慮利息.

2.2 變量和符號說明

a 表示投保人每月交納的保險金(元)；

b 表示投保人每月領取的工資(元)；

n 表示投保人交納保險金的年限(年)；

m 表示投保人死亡的年限(年)；

c 表示銀行利率；

E(X)表示隨機變量X的數學期望；

[x]表示數x的取整函數；

∑表示求和符號.

3 主要數據及公式的引用

第一階段在考慮復利的情況下， 討論了投保人保險金本息和的計算及領取工資后保險金本息和余額的計算， 現引述如下.

3.1 投保人n年共交納的保險金及本息和[1]

由假設3和4， 投保人在交納保險金的n年中各個月份(共12n個月)中， 所繳納的保險金及本息和的計算， 可用表1表示.

為了以后計算和表示方便， 記

.

3.2 投保人開始領取工資后， 保險金余額

由假設4和5， 投保人在交納完n年保險金后的下一月月初開始領取固定工資b元， 并在第m年(m>n)死去， 共12(m - n)個月， 則其所交納的保險金本息和余額的計算， 可用表2表示.

表2 領取工資后保險金本息和余額表

為了方便討論， 記

這里A=A12n.

3.3 數據的化簡和計算

在以上的表示中，

是以a1=a(1+c)為首項， 以q=(1+c)為公比的等比數列， 由等比數列的前n項和公式， 對上式求和就有

a(1+c)j+...+a(1+c)k

同理，

從以上可知，Bj為投保人領取工資到j個月時， 所交納的保險金的余額在月底的本息和.

4 模型的建立及問題的解答

4.1 問題1的建模及解答

根據以上對表1和表2的討論和計算， 現對文中提出的問題1， 建立模型并解答.

k/年n+1n+2n+3…n+k…200XB12B24B36…B12(k-n)…B200ppn+1pn+2pn+3pn+k…p200

由于要保證保險公司不盈不虧， 就是說如果投保人保在第m1年(n

(1+c)12(k-n))-b((1+c)12(k-n)-1)]pk=0

化簡得

(1)

因此， 若(1)式成立， 則保險公司不虧不贏的概率與投保人恰好m1歲死亡的概率一致為p(Em1(X)=0)=pm1.

下證(1)式成立

由第一階段的討論知， 領取工資后保險金本息和余額Bj有如下的性質

因此， 必存在一點m1∈[n+1,200]， 使得Em1(X)≥0而Em1+1(X)<0.

(1) 若Em1(X)=0， 則m1就是所求的年限；

(2) 若Em1(X)>0而Em1+1(X)<0， 這說明在m1年保險公司略有盈余， 而在第m1+1年， 保險公司略有虧損， 保守認為m1就是所求的年限.

這就是說， 使(1)成立的m1是存在的.m1稱為盈虧平衡點.

4.2 問題2的建模及解答

圖1 Em(X)與m的關系圖

k/年123…k…nXx1x2x3…xk…xnpp1p2p3pk…pn

則當投保人保m 歲(m ≤ n， m 為整數)死亡時， 保險公司收益的數學期望為

由于要保證保險公司不盈不虧， 就是說在第m2(m2

整理得

化簡得

(2)

因此， 若(2)式成立， 則保險公司不虧不贏的概率為p(Em2(X)=0)=pm2.(2)式成立的證明與(1)的證明相似， 不再贅述.

因此， 保險公司不虧不贏的概率與投保人恰好m2歲死亡的概率一致為p(Em2(X)=0)=pm2.

4.3 問題3的解答

1.k≤12n時， 當投保人在第k個月死亡(k≤12n，k為整數)時， 保險公司的余額為

于是以余額為隨機變量X， 其概率分布為

k/月123…k…12nXx1x2x3…xk…x12np112p1112p1112p1112p1+k-112[]…112pn

從而當投保人保在m 個月(m ≤12 n， m 為整數)死亡時， 保險公司收益的數學期望為

2.k>12n時， 當投保人在第k個月死亡(k>12n，k為整數)時， 保險公司的余額為xk=B12(k-n)， 于是以余額為隨機變量X， 其概率分布為

k/月12n+112n+212n+3…12n+k…2400XB1B2B3…Bk…B2400-12np112pn+1112pn+1112pn+1112p1+k-112[]…112p200

從而當投保人保m個月(m> 12n， m為整數)死亡時， 保險公司收益的數學期望為

于是， 保險公司收益的數學期望

由于要保證保險公司不盈不虧， 就是說在第m3(或M3)個月末， 公司收益的數學期望為零， 于是就有Em3(X)=0(或EM3(X)=0)， 也就是

(3)

4.4 問題4的解答

在a,b,c,d,n和m這些數據中，c和m是保險公司不能隨便改變的， 而a,b,d和n是保險公司在制定新產品時主要考慮的因素. 從第一階段和以上的討論可以發(fā)現，a,n越小，b,d越大， 對投保者來說越有利， 投保者也就越多， 但也可能使公司的風險增大.

圖2 余額xm、 d 和n 之間的關系圖

就是說， a,b,c,d,n和m的值是相互制約的， 從投保人的角度來看， a值和n值越小越好， a值和n值過高， 雖然保險工資b值會相應提高， 但投保人在經濟上的壓力增大； d和m越大越好， 但保險公司的風險又會增大. 從保險公司的角度看， 當然希望a, n的值高一些， b， d的值低一些， 保險公司的風險就小一些， 但這對投保人又會不利. 因此， 確定a,b,c,d,n和m的值需要綜合考慮.

1. m的確定. 世界衛(wèi)生組織公布《2008年世界衛(wèi)生組織報告》， 報告顯示， 我國男性平均壽命70歲， 女性平均壽命74歲， 人均壽命72歲[3]. 對保險公司來說， 可以作為m的參考值；

3.a的確定. 要確定合理的a值， 需要考慮當地人們的人均收入、 人均可支配支出、 可支配指出占實際收入的比例、 人們的參保意識、 投保人的保險收益以及保險公司的收益等多種因素. 其中人均收入是需要參考的重要因素， 這些數據可以根據當地的情況， 通過調查、 問卷、 統(tǒng)計等數學方法或通過網絡搜索取得. 統(tǒng)計顯示， 2010年中國農村居民人均純收入5919元， 比上年增長14.9%， 扣除價格因素實際增長10.9%； 中國城鎮(zhèn)居民全年人均可支配收入19109元， 增長11.3%， 實際增長7.8%.[4]

5.d的確定. 余額xm、d和n之間的關系見圖2. 從中可以看出，d的值不能大， 否則余額為負值， 若以n=20為例，d的值宜在0.3到0.5之間選擇， 過大可能虧損， 過小投保人的利益得不到很好的保護.

6. 年齡別死亡率. 年齡別死亡率(也稱生命表)， 也就是在某年齡段死亡人數與該年齡段總人數的比例， 也是必須考慮的因素之一. 2005年聯合國衛(wèi)生組織公布了我國生命表[5](見表3).

表3 聯合國衛(wèi)生組織公布的我國2005年生命表

從表中可以看到， 年齡別死亡率呈U字形， 在1歲以前死亡率較高， 然后逐年降低， 到10歲達到最低點， 以后又逐年增加. 這一點在制定保險方案時應充分考慮.

5 模型的評價與改進

最后， 在考慮了年齡別死亡率等一些有用的數據后， 討論了確定合適的a, b,d和 n值的一些思路. 模型具有結構簡單， 計算方便等優(yōu)勢. 有較好的推廣和應用價值.

模型存在的不足之處：

(1) 沒有考慮利率的變化. 在模型中， 銀行的利率c一直沒有變化， 這是不夠完善的. 事實上， 銀行的利率經常是變化的， 如2011年我國對銀行利率進行了4次調整. 在實際應用時， 應該考慮到利率的變化對其他變量的影響；

(2) 沒有考慮壽命的延長對模型的影響. 事實上， 人的壽命會隨著生活條件的改善而延長；

(3) 沒有考慮物價的上漲和貨幣貶值對保險業(yè)務的影響；

(4) 在模型中假設了人的死亡率服從均勻分布， 這是不夠合理的. 事實上， 老年人在11月到2月份， 由于氣候等因素的影響， 死亡率比較高， 而在其他月份相對較低.

以上這些情況都對模型有一定的影響， 在處理實際問題時都應予以考慮.

[1] 孔麗娜， 王芳君， 白博博. 保險產品的設計方案[Z].第四屆數學中國數學建模網絡挑戰(zhàn)賽， 2011.4.22.

[2] 袁長迎，等.掌握和精通Mathcad2000[M].北京: 機械工業(yè)出版社，2011.

[3] 百度知道.人的壽命[EB/OL]. (2011-04-22).http://zhidao.baidu.com/question/77238412.html.

[4] 天津網. 2010年中國城鎮(zhèn)居民全年人均可支配收入19109元[EB/OL]. (2011-05-22).http://www.tianjinwe.com/hotnews/txjj/201102/t20110204_3354975.html.

[5] 新浪網．資料分類．聯合國衛(wèi)生組織公布的我國2005年生命表[EB/OL]．(2011-05-21).http://ishare.iask.sina.com.cn/f/4943272.html．

[6] 周義倉， 赫孝良.數學建模實驗[M].西安:西安交通大學出版社，2005.12.

[7] 姜啟源， 謝金星， 葉俊.數學建模[M].北京:高等教育出版社，2005.12.

[責任編輯 胡廷鋒]

Mathematical Modal of Insurance Product Design

GAO Ting-ting, ZHANG Ming-hui

(College of Primary Education, Longnan Teachers College, Cheng County 742500, China)

On the premise that the probabilitypkof that the insured dies atkyears of age, when X is the random variable of the premium principal, interest and balance, the probability model of the expectation of insurer’s revenue is established. The formula of the insurer’s revenue when the insured happen to die atmyears of age is established as follows: Whenm>n， Whenm≤n， On the assumption of uniform distribution, the formula of the insurer’s expected revenue when the insured happen to die atmyears of age is: On the basis of the above formulae, the probability of expected break-even point of the insurer is discussed.

probability model; probability distribution series; mathematical expectation; uniform distribution

2017-02-27

隴南師范高等?？茖W校科研項目； 隴南師范高等專科學校教學改革項目； 隴南師專教改項目《數學建模教學方法改革與學生賽前訓練》檢驗成果

高婷婷(1979—)， 女， 甘肅禮縣人， 講師. 研究方向：基礎數學.

F840．48

A

1009-4970(2017)08-0063-07