朱軍明， 胡廷鋒

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南洛陽(yáng) 471934)

一個(gè)模恒等式的新證明

朱軍明， 胡廷鋒

(洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南洛陽(yáng) 471934)

本文利用Jacobitheta函數(shù)構(gòu)造橢圓函數(shù)，并利用橢圓函數(shù)的性質(zhì)證明了模恒等式

Jacobitheta函數(shù)；橢圓函數(shù)；模恒等式；留數(shù)

1 引言及說(shuō)明

等式

(1)

本文目的在于給出等式(1)的一個(gè)新證明. 為此, 假定q=eπiτ且lmτ>0.

為了方便, 定義

(a,b,…,c;q)∞=(a;q)∞(b;q)∞…(c;q)∞.

直接驗(yàn)證易得

2 等式(1)的證明

我們的證明基于橢圓函數(shù)的如下性質(zhì)(見(jiàn)文獻(xiàn)[3]第15頁(yè) ).

引理 設(shè)P是橢圓函數(shù)f(x) 的基本平行四邊形,f(x) 在P的邊界?P上沒(méi)有奇點(diǎn),那么f(x) 在P內(nèi)的留數(shù)之和等于零.

證明 令

f(z+π)=f(z) ,f(z+πτ)=f(z) .

從而f(x) 是以π和πτ為周期的橢圓函數(shù).

(2)

以下只要分別計(jì)算f(x)在這三點(diǎn)的留數(shù)即可.

為了計(jì)算Res(f,0),令F(z)=z3f(z),則

通過(guò)求對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)可得

于是

又

從而

把三點(diǎn)的留數(shù)值代入(2),整理得到

[2] Borwein J M, Garvan F G. Approximations toπvia the Dedekind eta function, in Canadian Mathematical Society Conference Proceedings[J]. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997, 20：89-114.

[3] 阿西澤爾 Н И. 橢圓函數(shù)論綱要[M]. 劉書琴, 紀(jì)琁， 譯. 北京： 商務(wù)印書館, 1956.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

A New Proof of a Modular Identity

ZHU Jun-ming, HU Ting-feng

(College of Mathematics and Science, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

Jacobithetafunction;ellipticfunction;modularidentity;residue

2017-05-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371184)

朱軍明(1973—)， 男， 湖水應(yīng)城人， 博士， 副教授. 研究方向：q一級(jí)數(shù)和theta函數(shù).

O156

A

1009-4970(2017)08-0001-02