趙慧媛 阮建紅

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院， 上海 200241)

兩個同心帶電球殼體系電磁場角動量的研究

趙慧媛 阮建紅

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院， 上海 200241)

電磁場的動量和角動量是經(jīng)典電磁學(xué)有趣而又基本的問題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)電磁理論，電磁場角動量可表示為Lem=ε0∫vr×(E×B)dV，對恒定電磁場，角動量還可以用Lem=∫r×ρAdV來計算，文章對此進(jìn)行了分析。通過一個簡單的模型，即一個固定的絕緣帶電球殼處在另一個旋轉(zhuǎn)的絕緣帶電球殼中心，分析了該體系電磁場從建立到穩(wěn)定，再到撤去的過程中，整個系統(tǒng)角動量的變化情況。驗證了在建立穩(wěn)定電磁場的過程中，外力提供的沖量矩一部分轉(zhuǎn)化為電磁場角動量儲存在電磁場中，一部分提供體系的轉(zhuǎn)動機械角動量，當(dāng)撤掉磁場后，電磁場角動量轉(zhuǎn)換成機械角動量，整個過程角動量守恒。

電磁場；動量；角動量

電磁場具有角動量，當(dāng)撤掉電磁場后角動量如何轉(zhuǎn)化？在本文中，通過一個簡單的模型，分析建立和撤銷穩(wěn)恒電磁場的過程中角動量的轉(zhuǎn)化，并討論Lem=∫r×ρAdV的物理意義。

1 電磁場基本理論

1.1 電磁場動量

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)電磁場理論，電磁場動量密度為：

(1)

整個空間的電磁場動量為

(2)

因為[8]

且滿足

合并以上3式得：

即

因此

(3)

上式右邊第一項是曲面積分，因為在無窮遠(yuǎn)邊界上沒有電磁場流入和流出，所以面積分為零。因此可以得出電磁場動量的另一表達(dá)式

(4)

又因為對靜場，

其中

而∫vdV×(φB)=∮sdS×(φB)=0，因此又得到電磁場動量的另一個表達(dá)式

(5)

1.2 電磁場角動量

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)電磁理論，電磁場角動量為

(6)

與電磁場動量有3種表示對應(yīng)，角動量是否也有類似3種表示形式呢？文獻(xiàn)[7]中證明，對于軸對稱分布的電磁體系，Lem=∫r×ρAdV是成立的。根據(jù)公式(6)，若用標(biāo)勢φ來表示電場，則有

(7)

上式最后一項一般不等于零。對于軸對稱分布的情況，

(8)

上式也不等于零，可以看出，只有在球?qū)ΨQ情況下才有-ε0∫r×[×(φB)]dV=0，所以一般情況下。即對于恒定電磁場體系，電磁場動量，軸對稱分布情況下，角動量Lem=∫r×(ε0E×B)dV=。

2 固定的絕緣帶電球殼處在旋轉(zhuǎn)的絕緣帶電球殼中心

圖1 帶電球殼處在旋轉(zhuǎn)的帶電球殼中心

2.1 體系達(dá)到穩(wěn)定的過程

首先考慮外球殼從靜止開始轉(zhuǎn)動的過程。設(shè)在外力推動下，外球殼緩慢地從靜止開始轉(zhuǎn)動，隨著外球殼轉(zhuǎn)動角速度不斷增加，球殼內(nèi)外的磁感應(yīng)強度也在不斷增加，因此會產(chǎn)生環(huán)繞z軸的渦旋感應(yīng)電場，內(nèi)外球殼都會受到感應(yīng)電場力的作用，產(chǎn)生沿z軸方向的力矩。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，

(9)

對于r

(10)

對內(nèi)球殼，在某一時刻所受的感應(yīng)電場力力矩為

(11)

假設(shè)體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)以后，外球殼內(nèi)的磁感應(yīng)強度為B0，則整個過程中感應(yīng)電場力對內(nèi)球殼的沖量矩為

(12)

對外球殼，在轉(zhuǎn)動的某一時刻所受的感應(yīng)電場力力矩為：

(13)

整個過程中感應(yīng)電場力對外球殼的沖量矩為

(14)

2.2 穩(wěn)定體系電磁場角動量的計算

當(dāng)外球殼以穩(wěn)定的角速度ω轉(zhuǎn)動時，計算體系的電磁場角動量。

轉(zhuǎn)動的帶電球殼產(chǎn)生的磁場的矢勢為

(15)

(16)

矢勢A可以有無限多種取值，這里取了庫侖規(guī)范中最簡單的一組解，若取其他的規(guī)范，A的表示形式會不相同，但對物理結(jié)果不會產(chǎn)生影響。

空間磁場分布為

(17)

(18)

其中

(19)

空間電場分布為

(20)

(21)

(22)

1) 利用Lem=ε0∫vr×(E×B)dV計算電磁場角動量

因為在rR2的范圍內(nèi)有電磁場角動量。

在R1

(23)

在r>R2區(qū)域，設(shè)電磁場動量密度為pout，角動量密度為lout，則：

(26)

(27)

(28)

所以，電磁場總的角動量為

(29)

顯然，與第2.1節(jié)的計算結(jié)果一致。

2) 利用Lem=∫r×ρAdV計算電磁場角動量

先對內(nèi)球殼進(jìn)行計算：

(30)

再對外球殼進(jìn)行計算：

(31)

(32)

公式(29)與(32)完全一樣，這是一個柱對稱的體系,說明在本系統(tǒng)中Lem=r×ε0∫v(E×B)dV與Lem=∫r×ρAdV兩個式子是等價的。當(dāng)然，r×ρ A并不能看成電磁場角動量密度，因為電磁場角動量存在于整個空間，不僅僅是有電荷分布的區(qū)域。那么為什么可以從r×ρ A出發(fā)得到電磁場角動量呢？

這個問題可以通過建立穩(wěn)定電磁場體系的過程來考慮：

一般情況下電場可用矢勢和標(biāo)勢表示為

(33)

所以感應(yīng)電場力對體系的沖量矩為

(34)

對于具有柱對稱的體系，∫r×(-φ)ρdtdV=0。在建立穩(wěn)定電磁場的過程中,外力需要克服感應(yīng)電場力做功，相應(yīng)的沖量矩為-IE=∫r×ρAdV,這部分沖量矩即轉(zhuǎn)化為電磁場角動量,所以，電磁場角動量可以表示為Lem=∫r×ρAdV。

2.3 球殼停止轉(zhuǎn)動

當(dāng)給外球殼一個反向的力矩，使其慢慢停止轉(zhuǎn)動時，磁場會逐漸減小，空間會產(chǎn)生感應(yīng)電場，與過程2.1相反，帶電球殼在感應(yīng)電場力的作用下受到向上的力矩。感應(yīng)電場大小與公式(10)一樣，方向相反。

整個過程中感應(yīng)電場力對內(nèi)球殼的沖量矩為

(35)

感應(yīng)電場力對外球殼的沖量矩為

(36)

感應(yīng)電場力對體系的總沖量矩為

(37)

球殼停止轉(zhuǎn)動后，電磁場角動量消失，而公式(37)與公式(29)和(32)完全相等，即儲存在電磁場中角動量全部釋放出來轉(zhuǎn)化成了機械角動量，要想讓帶電外球殼停下來，除了要克服外球殼的機械角動量Iω，還必須給外球殼一個額外的沖量矩克服沖量矩I2。對內(nèi)球殼，固定軸給它提供了一個向下的沖量矩克服了向上的沖量矩I1。如果在撤掉磁場的過程中，固定內(nèi)球殼的固定軸突然撤去，內(nèi)球殼在I1的作用下必然會轉(zhuǎn)動起來，具有向上的角動量，如果沒有摩擦的話，內(nèi)球最后的角動量為I1。這也是對費曼佯謬[9]的理解。

3 結(jié)語

在靜電磁場體系中，存在電磁場動量和電磁場角動量，通過上面這個模型的討論可以看出，在靜電磁場中，體系總的角動量為電磁場角動量與體系轉(zhuǎn)動的機械角動量之和。在建立穩(wěn)定電磁場的過程中，外力的沖量矩一方面抵消感應(yīng)電場力對體系的沖量矩，另一方面提供體系轉(zhuǎn)動的機械角動量。其中抵消感應(yīng)電場力沖量矩的部分即轉(zhuǎn)化成電磁場的角動量儲存在電磁場中。對具有柱對稱的體系，這個沖量矩恰好可表示為L=∫r×ρAdV，與電磁場角動量L=ε0∫vr×(E×B)dV計算的結(jié)果完全一致。當(dāng)撤去磁場后，電磁場角動量轉(zhuǎn)換成機械角動量。

[1] Babson D, et al. Hidden momentum, field momentum, and electromagnetic impulse[J]. Am.J.Phys, 2009, 77(9): 826-833.

[2] Griffiths D J. Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum[J]. Am.J.Phys, 2012, 80(1): 7-18.

[3] Shockley W, James R P. “Try simplest cases” discovery of “hidden momentum” forces on “magnetic currents”[J]. Phys.Rev.Lett, 1967,18(20): 876-879.

[4] Coleman S, Van Vleck J H. Origin of “hidden momentum forces” on magnets[J]. Phys.Rev, 1968,171(5): 1370-1375.

[5] Jaber S M A. Energy and momentum considerations in an ideal solenoid[J]. J.Electromagn.Anal.Appl, 2010, 2(03): 169-173.

[6] Mcdonald K T. Electromagnetic momentum of a capacitor in a uniform magnetic field” 《www.hep.princeton.edu/～mcdonald/examples/cap_momentum.pdf》.

[7] Gauthier N. A theorem about the angular momentum and magnetic energy of stationary,axial field distributions[J]. Am.J.Phys, 2006, 74(3): 232-235.

[8] 賈兆平，劉惠恩. Feynman圓盤佯謬與角動量守恒[J]. 大學(xué)物理,1983,2(4): 1-3. Jia Zhaoping， Liu Huien. Feynman’s disk paradox and the conservation of angular momentum[J]. College Physics, 1983, 2(4): 1-3. (in Chinese)

[9] Feynman R P, Leighton R B, Sands M. The Feynman lectures on Physics[M]. Reading MA: Addison-wesley, 1964, 2: 17-51.

■

ELECTROMAGNETIC ANGULAR MOMENTUM OF A SYSTEM WITH TWO CONCENTRIC CHARGED SPHERICAL SHELLS

Zhao Huiyuan Ruan Jianhong

(School of Physics and Materials Science, East China Normal University, Shanghai 200241)

Electromagnetic momentum and angular momentum are interesting and basic topics of classical electromagnetism. According to the basic electromagnetic theory, the angular momentumLem=ε0∫vr×(E×B)dV. For static case, it can also be expressed asLem=∫r×ρAdV, which is analyzed simply in this paper. Through a simple electromagnetic system, which contains two concentric insulated charged spherical shells with the bigger one is rotating, change of the angular momentum of the total system is discussed. We conclude that in the process of establishing a static electromagnetic field, part of the impulse moment provided by the external force is converted into the electromagnetic angular momentum which is stored in the field, and part of it is converted into the rotatingmechanical momentum of the system. When the field is removed, the electromagnetic angular momentum converts into the mechanical angular momentum, and the total angular momentum of the system is conserved.

electromagnetic field; momentum; angular momentum

2017-01-06

中國石油大學(xué)(華東)教改重點項目：大學(xué)物理數(shù)字化教學(xué)研究與實踐(編號：JY-A201618)。

趙慧媛，女，碩士研究生，研究方向為電磁場理論，441771559@qq.com。

阮建紅，女，教授，主要從事電磁學(xué)、電動力學(xué)教學(xué)及科研工作，研究方向為粒子物理、電磁場理論，jhruan@phy.ecnu.edu.cn。

趙慧媛，阮建紅. 兩個同心帶電球殼體系電磁場角動量的研究[J]. 物理與工程，2017，27(5)：51-55.