王翹楚 王 暢 肖云桓 劉 偉 史慶藩

(北京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，北京 100081)

利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀測量地球重力加速度

王翹楚 王 暢 肖云桓 劉 偉 史慶藩

(北京理工大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，北京 100081)

本文介紹一種測量地球重力加速度的新方法，即圓柱形容器中的水在繞豎直中心軸勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，水面會(huì)形成一個(gè)拋物面[1]，該拋物面的焦距與重力加速度和旋轉(zhuǎn)周期有關(guān)。利用該性質(zhì)并結(jié)合大學(xué)實(shí)驗(yàn)室中常見的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀，通過測量拋物面的焦距與旋轉(zhuǎn)周期即可得出重力加速度的數(shù)值。此方法避免了傳統(tǒng)的單擺實(shí)驗(yàn)中擺線質(zhì)量、空氣阻力、圓錐擺等影響因素[2]，使得測量精度增加。此方法適用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，可激發(fā)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)的興趣，且具有一定的觀賞性。

重力加速度；剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀；水；拋物面

1 引論

重力加速度是地球的基本參數(shù)之一，不僅與我們的日常生活息息相關(guān)，更是一切測量與實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)。在航空航天、工程技術(shù)、機(jī)械制造等領(lǐng)域，精確測量重力加速度尤為重要。重力加速度的測量方法有很多，如單擺法、自由落體法、稱掛法等。其中單擺法最為常見，通過測量單擺長度和擺動(dòng)周期得出重力加速度。然而這種方法在測量擺長時(shí)，精確測量懸掛點(diǎn)到重心的距離較為困難；在原理上取sinθ≈θ[2]且假設(shè)地球表面為無限大平面，忽略了地球半徑的有限性[3]，因此該方法存在一定誤差。而自由落體法忽略了空氣阻力等因素，一定程度上也增大了誤差；稱掛法盡管操作簡便但是讀數(shù)上不夠精確。本文采用一種新的方法測量重力加速度，水在繞垂直于水面的軸勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)因向心力會(huì)形成拋物面[1]，該拋物面焦距與重力加速度與旋轉(zhuǎn)周期有關(guān)，通過測量焦距及旋轉(zhuǎn)周期可計(jì)算出重力加速度數(shù)值。此方法利用了大學(xué)實(shí)驗(yàn)室中常見的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀，根據(jù)皮帶傳動(dòng)原理，將電機(jī)與實(shí)驗(yàn)儀繞線輪通過動(dòng)力線相連，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)承物臺(tái)旋轉(zhuǎn)，并可通過改變繞線輪大小或電機(jī)轉(zhuǎn)速來實(shí)現(xiàn)多次測量[4]。

2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀、通用電腦式毫秒計(jì)、電機(jī)及其控制盒、激光瞄準(zhǔn)器、豎直游標(biāo)卡尺等。

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 測量重力加速度實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

低速電機(jī)與實(shí)驗(yàn)儀繞線輪由動(dòng)力線圈相連，根據(jù)皮帶傳動(dòng)原理，動(dòng)力線將動(dòng)力傳至實(shí)驗(yàn)儀，從而使承物臺(tái)旋轉(zhuǎn)。電機(jī)控制盒有調(diào)速旋鈕，可改變電機(jī)轉(zhuǎn)速(0～120r/min)。兩豎直激光瞄準(zhǔn)器與光屏固定在支架上，光屏可沿豎直桿上下移動(dòng)。光電門連接通用電腦式毫秒計(jì)，可記錄實(shí)驗(yàn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)半周所用時(shí)間[4]。豎直游標(biāo)卡尺的游標(biāo)上固定一水平激光瞄準(zhǔn)器(圖中未畫出)。可通過游標(biāo)卡尺讀出激光瞄準(zhǔn)器照射物體的相對(duì)高度。豎直游標(biāo)卡尺放置于實(shí)驗(yàn)儀右側(cè)。

3 測量原理

對(duì)繞中心軸做勻角速度為ω的水槽中的水滴做受力分析：

(1)

Nsinθ=mg

(2)

式(1)與式(2)聯(lián)立得

(3)

將上式變形后積分，即

弧線為拋物線(如圖2)，即水面最終形成拋物面。

圖2 水滴受力分析圖

拋物面焦距為

(4)

(5)

如圖3所示，兩條平行于y軸的光線照射到拋物面，經(jīng)反射會(huì)會(huì)聚于拋物面焦點(diǎn)。用光屏找到該會(huì)聚點(diǎn)，量出光屏到水面最低點(diǎn)的距離，即為拋物面焦距R，用通用電腦式毫秒計(jì)計(jì)算出旋轉(zhuǎn)周期T，代入式(5)中可得到地球重力加速度g。

圖3 測量原理示意圖

4 實(shí)驗(yàn)步驟

(1) 組裝實(shí)驗(yàn)裝置。選擇合適的繞線輪，使電機(jī)同步輪與繞線輪處于同一水平位置，將動(dòng)力線繞于繞線輪及同步輪上并使線處于繃緊狀態(tài)。在水槽中盛適量水，在水面上撒一點(diǎn)粉筆末以便觀察光路。將水槽放置在承物臺(tái)上，水槽中心與實(shí)驗(yàn)儀中心重合。

(2) 按下3個(gè)激光瞄準(zhǔn)器開關(guān)，調(diào)節(jié)兩豎直激光瞄準(zhǔn)器光線垂直于靜止水面，水平激光瞄準(zhǔn)器光線與靜止水面平行，移動(dòng)豎直尺架使水平光線與實(shí)驗(yàn)儀軸線相交。

(3) 打開電機(jī)開關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)調(diào)速器旋鈕調(diào)整轉(zhuǎn)速。待水面穩(wěn)定后，按下毫秒計(jì)復(fù)位鍵。擰松固定光屏的螺絲，上下移動(dòng)光屏，使光屏上的兩個(gè)激光點(diǎn)重合，擰緊螺絲。

(4) 擰松豎直尺游標(biāo)螺絲，上下移動(dòng)游標(biāo)使光路通過光屏上激光點(diǎn)，擰緊螺絲，記下此時(shí)的豎直尺讀數(shù)y1。

(5) 擰松游標(biāo)螺絲，向下移動(dòng)游標(biāo)，直到看到水中有一道微弱的光路，此時(shí)激光筆照射到水面最低點(diǎn)，擰緊螺絲，記下此時(shí)的豎直尺讀數(shù)y2。

(7) 轉(zhuǎn)動(dòng)調(diào)速器旋鈕或改變繞線輪以改變轉(zhuǎn)速，重復(fù)上述步驟。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

我們對(duì)8個(gè)周期值進(jìn)行了焦距的測量，每一個(gè)周期值測量6次焦距，取平均值即為本周期對(duì)應(yīng)的焦距值。同時(shí)我們也用了傳統(tǒng)的單擺法進(jìn)行測量，取8個(gè)擺長值，每個(gè)擺長值測量6次擺動(dòng)周期，取平均值即為該擺長所對(duì)應(yīng)的周期值。用Origin軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析，得到圖4。其中右下角的小圖為單擺法數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖線。

用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，由數(shù)據(jù)得：

測量結(jié)果：g=9.811(0.008)(m·s-2)

用單擺法測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，由數(shù)據(jù)得：

測量結(jié)果：g=9.93(0.06)(m·s-2)

圖4 線性回歸分析圖

本地緯度為39.729°，計(jì)算得重力加速度為9.8012(m·s-2)，本文所用方法測得的重力加速度值相對(duì)誤差為0.102%，單擺法測得的重力加速度值相對(duì)誤差為1.31%，可見本文所用方法相比于傳統(tǒng)的單擺法測量數(shù)據(jù)更為精確。盡管重力加速度的準(zhǔn)確數(shù)值隨著時(shí)間的推移在不斷改變，但從數(shù)值和不確定度兩方面來看，本文所用方法仍比單擺法更為準(zhǔn)確。

經(jīng)分析，我們認(rèn)為本文所用方法誤差產(chǎn)生的原因如下：電機(jī)固定在桌邊，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)使桌面有微小的振動(dòng)，使得激光在光屏上的反射點(diǎn)晃動(dòng)，不能形成一個(gè)穩(wěn)定的光點(diǎn)而是一條短光線，因此在確定光屏位置時(shí)取兩短線中點(diǎn)重合時(shí)的位置，可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差。

6 結(jié)語

本文采用了一種新的方法，利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀測量地球重力加速度。傳統(tǒng)的單擺法測量重力加速度時(shí)，擺長的精確測量有一定困難，本文單擺實(shí)驗(yàn)中所得數(shù)據(jù)偏大，可能是由于重物重心位置不為其幾何中心造成，導(dǎo)致擺長的測量誤差大大增加；其次，單擺并不在同一平面內(nèi)擺動(dòng)，極易形成圓錐擺，擺線易與測量周期所用的光電門碰觸，對(duì)擺動(dòng)造成干擾；另外，原理上取sinθ≈θ[2]，這些都在一定程度上增大了誤差。本實(shí)驗(yàn)所述方法易于操作，外界干擾及不確定因素較小，采用了準(zhǔn)確的公式推導(dǎo)，避免了測量原理上的誤差，使得測量精度大大提高。且本實(shí)驗(yàn)具有較高的觀賞性，將重力加速度表現(xiàn)在拋物面形的水面上，不失為一種測量重力加速度的好方法。

[1] 姜興東, 王振坤. 測量重力加速度和轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)液體實(shí)驗(yàn)儀的設(shè)計(jì)[J]. 高校實(shí)驗(yàn)室工作研究, 2016(1): 161-162. Jiang Xingdong, Wang Zhenkun. The design of rotational liquid apparatus to measure the gravitational acceleration and rotate speed[J]. Research of College Laboratory, 2016(1): 161-162. (in Chinese)

[2] 游艷琳, 熊建文. 單擺測重力加速度實(shí)驗(yàn)近似處理的誤差分析[J]. 物理通報(bào), 2013(5): 92-95. You Yanlin, Xiong Jianwen.The error analysis of the approximate treatment in the pendulum experiment[J]. Physics Bulletin, 2013(5): 92-95. (in Chinese)

[3] 管習(xí)文, 韋聯(lián)福. 單擺周期與地球半徑[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1991(4): 133-134. Guan Xiwen, Wei Lianfu. The period of a simple pendulum and the radius of the earth[J].Journal of Sichuan Normal University(Natural Science), 1991(4): 133-134. (in Chinese)

[4] 史慶藩, 王榮瑤, 李林. 英漢大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M]. 北京: 兵器工業(yè)出版社, 2008.

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THE MEASUREMENT OF GRAVITATIONAL ACCELERATION USING THE MOMENT OF INERTIA APPARATUS

Wang Qiaochu Wang Chang Xiao Yunhuan Liu Wei Shi Qingfan

(Center of Physics Experiments, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081)

This paper introduces a new method to measure the gravitational acceleration. When a cylinder containing water rotates around its vertical central axis at a constant speed, the surface of water will form a paraboloid whose focal length is related to the gravitational acceleration and the rotational period. According to this phenomenon combined with the use of the moment of inertia apparatus, which is common in college laboratory, we can work out the gravitational acceleration by measuring the focal length and rotational period. In this way, the influence factors in the traditional pendulum experiment such as the mass of the rope, air resistance, conical pendulum, etc., can be avoided, which increases the accuracy of measurement. This method is applicable for college physics teaching, because it can increase students’ interest in experiments and has certain ornamental value.

gravitational acceleration; the moment of inertia apparatus; water; paraboloid

2017-01-21

教育部高等學(xué)校大學(xué)物理課程教指委教學(xué)研究立項(xiàng)項(xiàng)目(編號(hào)：DWJZW201409hb)。

王翹楚，王暢，肖云桓，北京理工大學(xué)物理學(xué)院2015級(jí)本科生。

王翹楚，王暢，肖云桓，等. 利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀測量地球重力加速度[J]. 物理與工程，2017，27(5)：40-43.