龔宵雪，徐愛(ài)功，祝會(huì)忠，李 博，馬天明，高 猛

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

改進(jìn)LAMBDA算法的雙頻BDS整周模糊度快速固定

龔宵雪，徐愛(ài)功，祝會(huì)忠，李 博，馬天明，高 猛

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

針對(duì)雙頻BDS短基線解算法方程病態(tài)嚴(yán)重，模糊度的浮點(diǎn)解精度低，導(dǎo)致LAMBDA算法搜索范圍過(guò)大、搜索時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的LAMBDA算法：運(yùn)用Tikhonov正則化理論構(gòu)造一種具有明確物理意義的正則化矩陣R，以獲得精確的整周模糊度浮點(diǎn)解；同時(shí)用均方誤差矩陣RMSEM代替原算法的協(xié)方差陣確定模糊度的搜索范圍，縮短初始化時(shí)間，提高搜索效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：改進(jìn)后的LAMBDA算法獲得的模糊度浮點(diǎn)解精度顯著提高，且無(wú)需初始化時(shí)間，能夠正確固定模糊度的整數(shù)解，快速實(shí)現(xiàn)cm級(jí)定位。

BDS；整周模糊度；LAMBDA算法；正則化；浮點(diǎn)解

0 引言

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou navigation satellite system，BDS)是我國(guó)具有獨(dú)立自主產(chǎn)權(quán)、自主研發(fā)的衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)[1]。2012-12-27，BDS空間信號(hào)接口控制文件正式版1.0正式公布，BDS已開(kāi)始向中國(guó)及亞太大部分地區(qū)正式提供無(wú)源定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù)[2]。截至2016-06-13，BDS在軌衛(wèi)星共計(jì)23顆，其中7顆地球靜止軌道(geostationary Earth orbit，GEO)衛(wèi)星、8顆傾斜地球同步軌道(inclined geo-synchronous orbits，IGSO)衛(wèi)星及8顆中圓地球軌道(medium Earth orbit，MEO)衛(wèi)星的定位精度為10 m、測(cè)速精度為0.2 m/s、授時(shí)精度為10 ns[3]。到2020年左右將全面建成BDS，形成全球服務(wù)能力。

BDS現(xiàn)在也已經(jīng)加入到高精度定位中。在高精度定位中，通常用載波相位差分技術(shù)進(jìn)行快速定位，而載波相位整周模糊度的準(zhǔn)確固定是BDS定位的核心問(wèn)題[4-5]，整周模糊度一旦確定，相位觀測(cè)值即轉(zhuǎn)變?yōu)闇?zhǔn)確的距離觀測(cè)值[6]。關(guān)于如何更好地確定模糊度，已有許多學(xué)者提出了很多方法。文獻(xiàn)[7]針對(duì)病態(tài)法矩陣，提出基于Tikhonov正則化原理的一種選擇正則化矩陣R的新方法，減弱了法方程的病態(tài)性，但沒(méi)有明確R的物理意義；文獻(xiàn)[8]將直接算法(direct calculation，DC)推廣為直接解算短基線全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)整周模糊度，但DC算法需要保證基線長(zhǎng)度的精度優(yōu)于0.7 m；文獻(xiàn)[9]利用單歷元測(cè)碼偽距觀測(cè)值和雙頻載波相位觀測(cè)值組成雙差觀測(cè)方程，解算L1/L2雙差整周模糊度時(shí)具有較高的效率和成功率，利用方差對(duì)模糊度進(jìn)行分組降維處理，縮小了模糊度搜索空間；文獻(xiàn)[10]指出模糊度去相關(guān)處理(Z變換)有迭代法和聯(lián)合去相關(guān)法2種算法，通過(guò)比較2種方法的條件數(shù)和去相關(guān)數(shù)，得出聯(lián)合去相關(guān)法的效果略高于迭代法，在整周模糊度搜索前對(duì)原始模糊度進(jìn)行降相關(guān)處理，使搜索橢球更接近球體，提高了搜索效率，但未對(duì)模糊度浮點(diǎn)解精度做出說(shuō)明；文獻(xiàn)[11]提出了一種利用多頻觀測(cè)值，基于有幾何模型的逐級(jí)模糊度固定方法，先通過(guò)偽距固定超寬巷模糊度，然后用無(wú)模糊度的超寬巷約束2個(gè)寬巷模糊度求解，最后使用無(wú)模糊度的寬巷觀測(cè)值約束窄巷模糊度求解，其模糊度固定達(dá)到100 %的成功率。

對(duì)于如何快速又精確地固定模糊度的問(wèn)題，本文通過(guò)運(yùn)用Tikhonov正則化的理論，構(gòu)造出一種具有明確物理意義的正則化矩陣R，使LAMBDA算法得到改進(jìn)，以解決法方程的病態(tài)性，獲得精確的整周模糊度浮點(diǎn)解；同時(shí)用均方誤差矩陣(mean square error matrix，MSEM)RMSEM代替原算法的協(xié)方差陣確定模糊度的搜索范圍，縮短初始化時(shí)間，提高搜索效率。

1 LAMBDA算法原理

LAMBDA算法的核心問(wèn)題就是整周模糊度最小二乘估計(jì)，主要分為2個(gè)組成部分：整數(shù)變換和基于喬里斯基分解(LTDL)的整周搜索。整數(shù)最小二乘估計(jì)的基本方法為

(1)

1.1 整數(shù)變換

(2)

(3)

1.2 整周搜索

(4)

求得最優(yōu)的整數(shù)組合z之后，再進(jìn)行逆變換，即

(5)

式中Z為整數(shù)變換矩陣。變換后的參數(shù)N滿(mǎn)足式(1)，也就是說(shuō)，逆變換后得到的參數(shù)N就是要尋求的最佳整數(shù)模糊度向量。

在LAMBDA法中，是通過(guò)LTDL分解對(duì)協(xié)因數(shù)陣QX進(jìn)行整數(shù)變換來(lái)提高搜索效率的，其中L為下三角矩陣，D為對(duì)角陣。

2 基線解算的一般LAMBDA算法

LAMBDA算法主要是對(duì)載波相位雙差觀測(cè)方程中的模糊度進(jìn)行搜索解算，在短基線數(shù)據(jù)處理時(shí)，雙差可以消除衛(wèi)星鐘差和接收機(jī)鐘差，同時(shí)也大幅度削弱了衛(wèi)星軌道誤差、電離層延遲和對(duì)流層延遲等誤差。將BDS的B1、B2雙差載波相位觀測(cè)值組成寬巷載波相位觀測(cè)值，由于B1、B2載波相位寬巷觀測(cè)值的波長(zhǎng)達(dá)84.7 cm，因而很容易準(zhǔn)確確定其整周模糊度，然后解算載波相位觀測(cè)值的整周模糊度[13]。

設(shè)2臺(tái)接收機(jī)在某歷元可共同觀測(cè)k+1顆衛(wèi)星，則可組成k個(gè)相位雙差觀測(cè)方程，其線性化后的雙差觀測(cè)方程[14]簡(jiǎn)寫(xiě)為

(6)

若2臺(tái)GPS接收機(jī)連續(xù)觀測(cè)n1個(gè)歷元，則總的雙差觀測(cè)方程為

(7)

可以將式(7)簡(jiǎn)寫(xiě)成

(8)

根據(jù)最小二乘(least square method，LS)原則，由式(8)組成法方程，得到LS解為

(9)

式中N0=ATPA， 為L(zhǎng)S估計(jì)的法矩陣。Y的協(xié)因數(shù)陣為

(10)

在定位過(guò)程中，如果觀測(cè)歷元數(shù)n1較少時(shí)，法矩陣N0的條件數(shù)一般在106以上，法方程病態(tài)嚴(yán)重，模糊度的浮點(diǎn)解精度低，導(dǎo)致LAMBDA算法搜索范圍過(guò)大、搜索時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，甚至不能正確固定整周模糊度。為了彌補(bǔ)LAMBDA算法的不足，本文對(duì)LAMBDA算法進(jìn)行改進(jìn)，使整周模糊度可以快速、高效地固定。

3 改進(jìn)的LAMBDA算法

根據(jù)Tikhonov正則化原理，求解式(8)采用的估計(jì)準(zhǔn)則[7]為

(11)

式中：α是平滑因子或正則化參數(shù)；R是正則化矩陣，用于減弱法方程病態(tài)；Ω(Y)是穩(wěn)定泛函；‖?‖表示歐氏2-范數(shù)。

(12)

式中：R是奇異矩陣；R1是基線分量部分的先驗(yàn)協(xié)因數(shù)陣的逆陣。系數(shù)1/100 000是根據(jù)待定點(diǎn)近似坐標(biāo)偏差與相位觀測(cè)值精度比選取的。

構(gòu)造正則化矩陣R后，應(yīng)用L曲線法進(jìn)行了大量的實(shí)際計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果表明選取正則化參數(shù)α=1時(shí)效果最好。則式(11)變?yōu)?/p>

(13)

結(jié)合式(8)，由估計(jì)準(zhǔn)則求導(dǎo)組成法方程為

(14)

式中R為正則化矩陣。解算式(14)的法方程，得

(15)

相應(yīng)的均方誤差矩陣RMSEM近似[14]取為

(16)

式中σ0為單位權(quán)中誤差。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的LAMBDA算法的效果[15]，采用BDS/GPS雙系統(tǒng)雙頻接收機(jī)對(duì)長(zhǎng)度為50 m的基線進(jìn)行了40 min的數(shù)據(jù)采集，采樣間隔為1 s，衛(wèi)星截止高度角為15°。實(shí)驗(yàn)對(duì)基線數(shù)據(jù)按照以下2種方案進(jìn)行解算：1)傳統(tǒng)的一般算法固定整周模糊度；2)通過(guò)正則化改進(jìn)的LAMBDA算法固定整周模糊度。

本文利用Ratio值作為模糊度得到固定解的置信度指標(biāo)，Ratio值是由次優(yōu)的模糊度向量的殘差平方和與最優(yōu)的模糊度向量的殘差平方和的比值計(jì)算得到的。本文取Ratio值為2，當(dāng)Ratio值大于2時(shí)，認(rèn)為模糊度固定正確。利用改進(jìn)前和改進(jìn)后2種LAMBDA算法固定整周模糊度的Ratio值，其結(jié)果如圖1所示。

由圖1可知，改進(jìn)后Ratio值小于2的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于改進(jìn)前的個(gè)數(shù)。改進(jìn)后只有1個(gè)歷元Ratio值小于2，改進(jìn)前有498個(gè)歷元Ratio值小于2；所以利用改進(jìn)后的LAMBDA算法固定的整周模糊度是可靠的。

以1號(hào)衛(wèi)星和2號(hào)衛(wèi)星為例，按照2種算法確定的整周模糊度的浮點(diǎn)解的對(duì)比結(jié)果如圖2所示。因?yàn)楦倪M(jìn)后的LAMBDA算法提高了模糊度浮點(diǎn)解精度，縮小了LAMBDA算法的搜索范圍和搜索時(shí)間，使模糊度的固定成功率得到提高；所以在得到模糊度固定解之前，提高模糊度浮點(diǎn)解非常有必要。

由圖2可知，1號(hào)衛(wèi)星改進(jìn)前的LAMBDA算法需要大約200個(gè)歷元才能確定模糊度浮點(diǎn)解，而改進(jìn)后的LAMBDA算法第1個(gè)歷元就可以把模糊度浮點(diǎn)解確定；2號(hào)衛(wèi)星在改進(jìn)算法前也是大約需要200個(gè)歷元才能確定浮點(diǎn)解，同樣改進(jìn)后的算法在第1個(gè)歷元就能確定浮點(diǎn)解?？梢缘贸觯倪M(jìn)后的LAMBDA算法明顯提高了模糊度浮點(diǎn)解的精度，使模糊度的固定成功率得到提高。

仍以1號(hào)和2號(hào)衛(wèi)星為例，給出LAMBDA算法改進(jìn)前后模糊度固定的結(jié)果，如圖3所示。

由圖3可知，改進(jìn)前的LAMBDA算法的模糊度浮點(diǎn)解在開(kāi)始時(shí)偏差大，所以整數(shù)解沒(méi)有正確固定，經(jīng)過(guò)大約200個(gè)歷元以后才能固定整數(shù)解，而改進(jìn)后的LAMBDA算法從第1個(gè)歷元開(kāi)始就能固定到正確的整數(shù)解。

下面對(duì)改進(jìn)前和改進(jìn)后的LAMBDA算法初始化時(shí)間和模糊度固定個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示。

表1 初始化時(shí)間和模糊度固定個(gè)數(shù)

根據(jù)表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出：改進(jìn)前的LAMBDA算法固定了2 208個(gè)歷元，而改進(jìn)后的LAMBDA算法固定了2 399個(gè)歷元，100 %固定。

在模糊度固定之后，用改進(jìn)前和改進(jìn)后的算法解算高精度定位結(jié)果，與測(cè)站的精確定位結(jié)果進(jìn)行比較，得到東(E)、北(N)、天頂(U)3個(gè)方向上的偏差值，如圖4所示。

根據(jù)圖4定位結(jié)果，再結(jié)合前面的Ratio值、模糊度浮點(diǎn)解和固定解的結(jié)果可以看出，改進(jìn)前的LAMBDA算法需要192個(gè)歷元才能達(dá)到cm級(jí)定位精度，而改進(jìn)后的LAMBDA算法從第1個(gè)歷元開(kāi)始就能達(dá)到cm級(jí)定位，且坐標(biāo)偏差值變化范圍在3 cm之內(nèi)，與整體解算的結(jié)果相比較波動(dòng)不大，說(shuō)明改進(jìn)后LAMBDA算法解的精度更好，定位效率更高。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了雙頻BDS短基線解算問(wèn)題，首先利用寬巷確定其整周模糊度，然后解算載波相位觀測(cè)值的整周模糊度。針對(duì)法方程病態(tài)嚴(yán)重，模糊度的浮動(dòng)解精度低，導(dǎo)致LAMBDA算法搜索范圍過(guò)大、搜索時(shí)間過(guò)長(zhǎng)問(wèn)題，運(yùn)用Tikhonov正則化的理論，構(gòu)造了一種具有明確物理意義的正則化矩陣R，使LAMBDA算法得到改進(jìn)，從而獲得精確的整周模糊度浮點(diǎn)解，同時(shí)用RMSEM代替原算法的協(xié)方差陣確定模糊度的搜索范圍，提高搜索效率。改進(jìn)后的LAMBDA算法所獲得的模糊度浮點(diǎn)解精度顯著提高，可以無(wú)需初始化時(shí)間，100 %正確固定模糊度的整數(shù)解，快速實(shí)現(xiàn)cm級(jí)定位。

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Rapid resolution of dual frequency BDS integer ambiguity by improved LAMBDA algorithm

GONGXiaoxue，XUAigong，ZHUHuizhong，LIBo，MATianming，GAOMeng

(School of Geomatics，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin，Liaoning 123000，China)

Aiming at the problem that the solution algorithm of the BDS dual frequency short baseline has ill conditioned equation，and the floating point solution of ambiguity has low precision，leading to the large searching scope and long searching time in using LAMBDA algorithm，the paper proposed an improved LAMBDA algorithm：Tikhonov regularization theory was used to construct a regularized matrixRwith a clear physical meaning for obtaining the accurate floating point solution of integer ambiguity；meanwhile a mean square error matrixRMSEMwas used to replace the covariance matrix of the original algorithm in order to determine the searching range of ambiguity，thus the initialization time was reduced and the searching efficiency was improved.Experimental result showed that by the proposed method，the precision of the floating point solution of ambiguity could be increased significantly without initialization time，the integer ambiguity could be fixed correctly and the positioning with the centimeter level accuracy could be rapidly realized.

BDS；integer ambiguity；LAMBDA algorithm；regularization；floating point solution

2016-10-18

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2016YFC0803102)；遼寧省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(LT2015013)。

龔宵雪(1991—)，女，河南安陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向?yàn)镚NSS高精度定位。

龔宵雪，徐愛(ài)功，祝會(huì)忠，等.改進(jìn)LAMBDA算法的雙頻BDS整周模糊度快速固定[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào)，2017，5(3)：72-76,83.(GONG Xiaoxue，XU Aigong，ZHU Huizhong，et al.Rapid resolution of dual frequency BDS integer ambiguity by improved LAMBDA algorithm[J].Journal of Navigation and Positioning，2017，5(3)：72-76,83.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20170315.

P228

A

2095-4999(2017)03-0072-06