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        橢圓的法線性質(zhì)在物理中的幾個(gè)應(yīng)用

        2017-09-11 11:39:35
        物理之友 2017年8期
        關(guān)鍵詞:法線機(jī)械能滑輪

        (1.江蘇省姜堰中學(xué)高二14班,江蘇 泰州 225500;2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院,江蘇 鎮(zhèn)江 212026)

        橢圓的法線性質(zhì)在物理中的幾個(gè)應(yīng)用

        顧傲塵1陸旭2

        (1.江蘇省姜堰中學(xué)高二14班,江蘇 泰州 225500;2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院,江蘇 鎮(zhèn)江 212026)

        物理與數(shù)學(xué)關(guān)系緊密,數(shù)學(xué)作為一種工具,它的原理被賦予不同物理意義后,往往能呈現(xiàn)在不同的物理情境中。橢圓的法線性質(zhì)在聲學(xué)、力學(xué)中均有所體現(xiàn),能解釋多種物理問題,其巧妙運(yùn)用能體現(xiàn)物理簡(jiǎn)潔統(tǒng)一的美妙之處,對(duì)解決物理問題有很大幫助。

        力學(xué);聲學(xué);橢圓;法線

        物理和數(shù)學(xué)是緊密關(guān)聯(lián)的兩門學(xué)科,數(shù)學(xué)原理可以應(yīng)用在不同的物理情境中。橢圓作為解析幾何中的一種重要的圓錐曲線,它的法線性質(zhì)在物理學(xué)中有眾多應(yīng)用,本文結(jié)合力學(xué)、聲學(xué)中的幾個(gè)問題做探討。

        1 橢圓的法線性質(zhì)及其證明

        橢圓的法線性質(zhì)可表述為:橢圓的任一條切線,其法線平分過切點(diǎn)的兩條焦半徑所夾的角。

        圖1

        2 橢圓的法線性質(zhì)在物理中的應(yīng)用

        2.1 在聲學(xué)中的應(yīng)用

        如圖2所示,如果以橢圓面為反射面,根據(jù)反射定律,反射角等于入射角,則從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)上發(fā)出的聲音或光經(jīng)過反射將匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。

        圖2

        據(jù)說(shuō)意大利的西西里島上曾建造過一座奇特的巖洞監(jiān)獄,令人奇怪的是犯人們每次密謀越獄和暴動(dòng)的計(jì)劃,很快就被看守所知曉。原來(lái)洞頂和墻壁都是橢圓面,囚犯被關(guān)押處正好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),而看守的位置在橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上,只要犯人們張口說(shuō)話,哪怕是很輕微的聲音,都會(huì)通過橢圓面的反射聚焦到看守的位置,這正是橢圓性質(zhì)的絕妙應(yīng)用。當(dāng)然這個(gè)故事很可能只是個(gè)傳說(shuō),但在醫(yī)療確有中類似應(yīng)用,在用超聲波給結(jié)石病人體內(nèi)碎石時(shí),聲波發(fā)射裝置位于橢球反射面的一個(gè)焦點(diǎn)上,待碎石部位則位于橢球的另一個(gè)焦點(diǎn)上,如圖3所示,這樣超聲波的能量被集中在患處,易于碎石。

        圖3

        2.2 在力學(xué)中的應(yīng)用

        2.2.1 機(jī)械能守恒問題

        以下為一道有關(guān)機(jī)械能守恒的問題,特種兵過山谷的一種方法可簡(jiǎn)化為圖4所示的情景:將一根長(zhǎng)為2d的不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩兩端固定在相距為d的A、B兩等高點(diǎn),繩上掛一小滑輪P,戰(zhàn)士們相互配合,就可沿著繩子滑到對(duì)面,戰(zhàn)士甲用水平力F拉住滑輪,質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上,腳離地處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)AP豎直,然后戰(zhàn)士甲將滑輪從靜止?fàn)顟B(tài)釋放,若不計(jì)滑輪摩擦及空氣阻力,也不計(jì)滑輪的質(zhì)量,求:

        圖4

        (1)戰(zhàn)士甲釋放滑輪前對(duì)滑輪的水平拉力F;

        (2)戰(zhàn)士乙滑動(dòng)過程中的最大速度。

        這道題求解并不復(fù)雜,這里不探討其求解。在求解(2)問時(shí)需運(yùn)用機(jī)械能守恒定律,戰(zhàn)士乙在滑動(dòng)過程中,作用在滑輪兩邊的繩子拉力與戰(zhàn)士乙的運(yùn)動(dòng)方向均不是垂直關(guān)系,也就是說(shuō)兩側(cè)的繩子拉力均做功,那么機(jī)械能守恒是如何成立的呢?要說(shuō)清楚這個(gè)問題就得借助橢圓的法線性質(zhì)了。

        如圖5所示,根據(jù)幾何關(guān)系,戰(zhàn)士乙的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,A、B分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),戰(zhàn)士乙沿橢圓的切線方向運(yùn)動(dòng);由于滑輪是光滑的,則滑輪兩側(cè)的繩子拉力大小始終相等,所以兩側(cè)繩子拉力的合力方向沿∠APB平分線方向,根據(jù)橢圓的法線性質(zhì),該平分線方向與切線方向即戰(zhàn)士乙的運(yùn)動(dòng)方向始終垂直,所以滑輪兩側(cè)繩子拉力的合力是始終不做功的,戰(zhàn)士乙在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。

        圖5

        2.2.2 萬(wàn)有引力問題

        物體在中心天體的萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓曲線,如行星的運(yùn)動(dòng)以及人造天體的運(yùn)動(dòng)軌跡大多為橢圓,利用橢圓的法線性質(zhì)可方便處理某些萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng)問題,如下面的導(dǎo)彈落地點(diǎn)問題。

        圖6

        如圖6所示,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在地心O處,另一個(gè)焦點(diǎn)設(shè)為F,發(fā)射點(diǎn)位置設(shè)為A,落地點(diǎn)位置設(shè)為B,過A點(diǎn)的法線為AC。

        因?yàn)榘l(fā)射方向仰角為α,那么發(fā)射方向與豎直方向的夾角為90°-α,而法線AC與初速度v的方向垂直,所以∠OAC=α,又因?yàn)榉ň€AC平分∠OAF,則∠OAF=2α。

        3 結(jié)語(yǔ)

        橢圓的法線性質(zhì)是平面解析幾何中的一個(gè)普通性質(zhì),但它在物理中的體現(xiàn)應(yīng)用卻是多方面的,充分體現(xiàn)了物理世界的豐富多彩以及物理規(guī)律的簡(jiǎn)潔統(tǒng)一。在平時(shí)物理學(xué)習(xí)中,我們除了要學(xué)會(huì)處理問題的方法外,還要學(xué)習(xí)和體驗(yàn)物理規(guī)律的美妙之處,從而激發(fā)探索自然奧秘的興趣。

        [1] 張憲華.高中知識(shí)清單數(shù)學(xué)[M].北京:首都師范大學(xué)出版社,2011:82-83.

        [2] 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002:225-226.

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