于志明 劉麗麗

(連云港師范高等?？茖W(xué)校物理系 江蘇 連云港 222006)

再談“光滑斜面上滑塊下滑問(wèn)題”的求解方法

于志明 劉麗麗

(連云港師范高等?？茖W(xué)校物理系 江蘇 連云港 222006)

給出光滑斜面上滑塊下滑問(wèn)題中相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，利用守恒定律和拉格朗日方程對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解．建議一些優(yōu)秀的高中生學(xué)習(xí)初步的分析力學(xué)知識(shí)，以提高他們處理復(fù)雜力學(xué)問(wèn)題的能力．

斜面 滑塊 動(dòng)量守恒 機(jī)械能守恒 拉格朗日方程

文獻(xiàn)[1]研究了這樣一道力學(xué)題：如圖1所示，一質(zhì)量為M，傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放．試求：

(1)斜面的加速度aM；

(2)滑塊相對(duì)斜面的加速度a相對(duì)；

(3)滑塊的加速度am．

圖1 題圖

在文獻(xiàn)[1]中分別利用非慣性系動(dòng)力學(xué)方程和受力分析圖的方法給出了此題的兩種解法．這是一道考查學(xué)生物理學(xué)素養(yǎng)的好題，此題的其他方面的問(wèn)題也受到了人們的關(guān)注[2]．本文先建立滑塊與斜面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，然后給出此題的兩種解法：一種解法是利用守恒定律，這是牛頓力學(xué)中求解這道題的比較簡(jiǎn)單的方法；另一種解法是運(yùn)用拉格朗日方程，這種方法要求學(xué)生掌握初步的分析力學(xué)知識(shí)．我們認(rèn)為，在今天的高中物理教學(xué)中，牛頓力學(xué)受到了高度關(guān)注，而對(duì)牛頓力學(xué)之后發(fā)展起來(lái)的力學(xué)高峰——分析力學(xué)，沒(méi)有給予適當(dāng)?shù)年P(guān)注．我們建議，當(dāng)前的一些優(yōu)秀的高中生學(xué)習(xí)初步的分析力學(xué)知識(shí)，如虛功原理和保守力系的拉格朗日方程，這對(duì)于豐富他們的物理學(xué)知識(shí)，提高他們處理復(fù)雜力學(xué)問(wèn)題的能力，使他們?cè)诟鞣N考試競(jìng)賽中取得好成績(jī)是大有幫助的[3]，這也可以作為部分高中物理教學(xué)改革發(fā)展的一個(gè)方向．

1 滑塊與斜面相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的數(shù)學(xué)表示

建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系O-xy，該坐標(biāo)系在空間固定不動(dòng)，其原點(diǎn)在剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)斜面的頂點(diǎn)．設(shè)某一時(shí)刻斜面右邊線的水平坐標(biāo)為X，滑塊在斜面上下滑的距離為s，則此時(shí)滑塊在直角坐標(biāo)系O-xy中的坐標(biāo)為

x=X-scosθ

(1)

y=ssinθ

(2)

圖2 建立直角坐標(biāo)系

式(1)、(2)也是滑塊與斜面相對(duì)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)關(guān)系的數(shù)學(xué)表示．將式(1)、(2)的兩邊分別對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)得

vx=vM-v相對(duì)cosθ

(3)

vy=v相對(duì)sinθ

(4)

式(3)、(4)中的vx，vy是滑塊的速度在直角坐標(biāo)系O-xy的兩坐標(biāo)軸上的投影，vM是斜面在水平面上運(yùn)動(dòng)的速度，v相對(duì)是滑塊在斜面上下滑的相對(duì)速度．式(3)、(4)就是滑塊與斜面相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系的數(shù)學(xué)表示．將式(3)、(4)的兩邊再對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)得

ax=aM-a相對(duì)cosθ

(5)

ay=a相對(duì)sinθ

(6)

式(5)、(6)中的ax，ay是滑塊的加速度在直角坐標(biāo)系O-xy的兩坐標(biāo)軸上的投影，aM是斜面在水平面上運(yùn)動(dòng)的加速度，a相對(duì)是滑塊在斜面上下滑的相對(duì)加速度．式(5)、(6)就是滑塊與斜面相對(duì)運(yùn)動(dòng)的加速度關(guān)系的數(shù)學(xué)示．

以上得到的這些相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，在這道題的求解過(guò)程中是十分重要的．

2 利用守恒定律來(lái)求解

我們知道由滑塊和斜面組成的系統(tǒng)在直角坐標(biāo)系O-xy中的水平方向的動(dòng)量是守恒的，由此得

mvx+MvM=0

(7)

由滑塊和斜面組成的系統(tǒng)在直角坐標(biāo)系O-xy中的機(jī)械能是守恒的，由此得

(8)

由式(3)、(7)可得

(9)

將式(9)代入式(7)得

(10)

將式(4)、(9)、(10)代入式(8)得

(11)

將式(11)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)可得

(12)

將式(9)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(13)

將式(12)代入式(13)得

(14)

將式(12)、(14)代入式(5)、(6)得

(15)

(16)

所以

(17)

在已經(jīng)求得滑塊和斜面在直角坐標(biāo)系O-xy中運(yùn)動(dòng)的加速度以后，我們還可以求得滑塊和斜面以及斜面和水平面之間的相互作用力．

3 利用拉格朗日方程來(lái)求解

我們大家知道，分析力學(xué)是在牛頓力學(xué)之后力學(xué)理論發(fā)展的一個(gè)里程碑，對(duì)于求解比較復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，分析力學(xué)的方法要比牛頓力學(xué)的方法優(yōu)越得多．

在分析力學(xué)中，受到理想約束(如光滑面、光滑線、光滑鉸鏈、剛性桿、不可伸長(zhǎng)的繩的約束)的保守系的基本動(dòng)力學(xué)方程為拉格朗日方程，下邊我們用拉格朗日方程來(lái)求解這道題．

以滑塊和斜面作為研究的系統(tǒng)，該系統(tǒng)是受到理想約束的保守系．要確定滑塊和斜面的空間位置只要2個(gè)獨(dú)立參量，我們就選擇圖2中的X和s，顯然由X就確定了斜面的位置，而由s就確定了滑塊相對(duì)于斜面的位置．

系統(tǒng)的動(dòng)能為

(18)

將式(3)、(4)代入得

(19)

系統(tǒng)的勢(shì)能可以表示為

V=-mgssinθ

(20)

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(21)

將L代入拉格朗日方程

(22)

和

(23)

得

m(aM-a相對(duì)cosθ)+MaM=0

(24)

a相對(duì)-aMcosθ-gsinθ=0

(25)

由式(24)、(25)可解得a相對(duì)和aM，結(jié)果同前．其余略．

試想如果我們將圖1所示的問(wèn)題改為圖3所示的問(wèn)題，這時(shí)我們用拉格朗日方程來(lái)求解比用牛頓

力學(xué)來(lái)求解就要更加方便了．

圖3 拓展

1 吳好.用受力分析圖分析光滑斜面上滑塊下滑問(wèn)題.中學(xué)物理,2012,30(19):73～74

2 何述平.一個(gè)力學(xué)問(wèn)題的一對(duì)內(nèi)力做功的探討.物理教師,2012,33(8):43～44

3 袁張瑾.競(jìng)賽中巧用“元功法”求解的平衡問(wèn)題.物理教學(xué),2012,34(8):56～57

2016-12-30)