劉永財(cái)+鮑益東+王小平+陳文亮

摘 要： 圖像去噪是數(shù)字圖像處理過(guò)程中的一個(gè)重要步驟，它將直接影響到圖像處理的最終質(zhì)量。針對(duì)傳統(tǒng)的全變分（TV）正則化去噪算法容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)的缺點(diǎn)，利用雙邊濾波去噪算法在空間域和值域兩個(gè)方面進(jìn)行濾波的特點(diǎn)，提出一種結(jié)合TV模型的雙邊濾波方法，該方法能在一定程度上有效地改善階梯效應(yīng)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的去噪方法不僅能夠獲得較好的去噪效果，還能有效地保持圖像的邊緣特征信息，降噪效果明顯。在較高水平噪聲情況下，與TV算法相比，該方法針對(duì)小尺寸灰度圖片（256×256）圖像的峰值信噪比（PSNR）提高1.45 dB左右，大尺寸灰度圖片（512×512）圖像的PSNR提高2.56 dB左右。

關(guān)鍵詞： 數(shù)字圖像； 圖像去噪； TV正則化； 雙邊濾波

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.73?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）17?0036?04

Total variation model based bilateral filtering method of image denoising

LIU Yongcai1， 2， BAO Yidong2， WANG Xiaoping2， CHEN Wenliang2

（1. College of Mathematics and Statistics， Qujing Normal University， Qujing 655011， China；

2. College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The image denoising， as a key step in digital image processing， affects the final quality of image processing directly. Since the traditional total variation （TV） regularization denoising algorithm is easily to produce the staircase effect， a bilateral filtering method based on TV model is proposed to eliminate the staircase effect to a certain extent， in which the filtering characteristics in the aspects of spatial domain and value domain are considered. The experimental results show that the denoising method can obtain better denoising effect， reserve the edge feature information of the image， and has perfect denoising effect. In comparison with PSNR obtained with TV algorithm， the PSNR of the gray image with 256×256 size is increased by 1.45 dB， and the PSNR of the gray image with 512×512 size is increased by 2.56 dB.

Keywords： digital image； image denoising； TV regularization； bilateral filtering

0 引 言

隨著遙感數(shù)字設(shè)備及計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字圖像已經(jīng)在航空航天、機(jī)械工程、醫(yī)學(xué)、視頻監(jiān)控等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。由于受到器材材料以及大氣等內(nèi)外部因素的影響和干擾，導(dǎo)致形成的數(shù)字圖像中存在噪聲，而噪聲會(huì)對(duì)后續(xù)的圖像操作帶來(lái)諸多不利的影響。圖像去噪是指去除圖像中的噪聲信息恢復(fù)圖像的原始信息，它是圖像處理過(guò)程的重要組成部分，圖像去模糊，圖像融合以及圖像識(shí)別等結(jié)果都直接依賴(lài)于圖像去噪的質(zhì)量結(jié)果。

假設(shè)圖像噪聲是高斯白噪聲，相應(yīng)的圖像去噪問(wèn)題可以歸結(jié)為關(guān)于原圖像的二次泛函積分形式的極值問(wèn)題，但是其Euler?Lagrange方程是一個(gè)病態(tài)不適定問(wèn)題[1]。為了克服不適定性問(wèn)題，不少學(xué)者考慮在優(yōu)化目標(biāo)泛函上增加正則項(xiàng)來(lái)建立優(yōu)化模型[1?3]。其中，全變分正則化（Total Variation，TV）算法是應(yīng)用最廣泛的方法之一，增加的正則項(xiàng)除了能夠消除病態(tài)不適定性外，還能夠很好地保持圖像的邊緣特征細(xì)節(jié)。TV正則化模型雖然能夠很好地恢復(fù)圖像的邊緣特征信息，但還存在兩個(gè)主要的缺點(diǎn)：一是在去噪過(guò)程中容易產(chǎn)生虛假邊界，即階梯效應(yīng)；二是在去噪過(guò)程中存在邊緣退化或?qū)Ρ榷认陆档默F(xiàn)象[4]。針對(duì)TV法存在的上述兩個(gè)缺點(diǎn)，不少學(xué)者在TV正則化模型的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步工作[5?6]。Meyer提出卡通紋理模型，這個(gè)模型對(duì)應(yīng)的Euler?Lagrange方程中涉及到非光滑項(xiàng)，因此它的數(shù)值求解相當(dāng)困難[7]。根據(jù)圖像邊緣在切線(xiàn)方向上梯度較小，在垂線(xiàn)方向上梯度較大的特點(diǎn)，基于TV正則化去噪結(jié)果，使用中值濾波的去噪方法對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理，在有效去除噪聲的同時(shí)能有效地克服階梯效應(yīng)[8]。中值濾波僅考慮距離空間中的差異性，沒(méi)有考慮像素值之間的差異性，而雙邊濾波算法可以同時(shí)反映空間距離和像素值之間的差異來(lái)進(jìn)行濾波。本文提出采用雙邊濾波算法結(jié)合TV正則化算法對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理，該方法能在一定程度上改善階梯效應(yīng)，提高圖片的去噪質(zhì)量。最后采用該去噪方法對(duì)兩張典型的噪聲圖片進(jìn)行去噪處理，并通過(guò)比較去噪前后的峰值信噪比（PSNR，單位：dB）用以驗(yàn)證該去噪方法的準(zhǔn)確性和有效性。endprint

1 全變分正則化算法

加性噪聲圖像可以表達(dá)為下列形式：

（1）

式中：是觀測(cè)圖像；是原圖像；是噪聲變量，它以高斯白噪聲為主，即期望為零，方差為定值的隨機(jī)變量。該問(wèn)題能夠通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)泛函來(lái)求解：

（2）

由于上述問(wèn)題的病態(tài)不適定性，計(jì)算結(jié)果無(wú)法反映出原圖像的性質(zhì)。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]首先提出在優(yōu)化目標(biāo)泛函式（2）中增加TV正則項(xiàng)的ROF模型：

（3）

式中：是觀測(cè)圖像；表示在整個(gè)圖像空間上的有界變差函數(shù)空間；表示總變差擬范數(shù)，當(dāng)函數(shù)是光滑函數(shù)時(shí)，它等價(jià)于梯度向量長(zhǎng)度的積分，即該正則項(xiàng)具有明確的幾何意義，它能夠很好地反映出圖像中的邊緣信息，數(shù)值越大，表明圖像中的邊緣信息越豐富；稱(chēng)為保真項(xiàng)，它代表恢復(fù)圖像和含噪圖像之間的逼近程度；是參數(shù)，用于調(diào)整保真項(xiàng)在整個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中的權(quán)重，一般取值都較小。從目標(biāo)泛函的兩個(gè)組成項(xiàng)來(lái)看，該模型能夠在去除噪聲的同時(shí)，保持圖像的邊緣特征信息，較好地解決了去噪和邊緣特征保持之間的矛盾。

目前求解TV正則化的離散化格式主要有三類(lèi)方法：

（1） 直接求解法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成Euler?Lagrange偏微分方程[1]；

（2） 對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)偶形式進(jìn)行求解，該方法通過(guò)TV范數(shù)的對(duì)偶問(wèn)題求解來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解[2]；

（3） Bregman分裂法[3?5]，通過(guò)在優(yōu)化目標(biāo)泛函中引進(jìn)輔助變量將式（2）轉(zhuǎn)化為有約束的優(yōu)化問(wèn)題[4]：

（4）

相較于前兩類(lèi)方法，Bregman分裂法迭代過(guò)程中可以顯式進(jìn)行求解，占用的內(nèi)存小，具有較快的計(jì)算速度和收斂速度等優(yōu)勢(shì)。因此，本文采用Bregman分裂法對(duì)式（3）進(jìn)行求解。

2 結(jié)合雙邊濾波的全變分方法

全變分濾波算法雖然能夠有效地去除圖像噪聲，但是容易在去噪圖像中引入虛假邊界，造成階梯效應(yīng)。雙邊濾波算法考慮距離和像素值兩個(gè)方面的差異對(duì)圖像進(jìn)行加權(quán)濾波，它能夠進(jìn)一步去除圖像中的虛假邊界，提高去噪圖像的恢復(fù)質(zhì)量。

2.1 雙邊濾波算法

不同于中值濾波在加權(quán)時(shí)只考慮圖像距離之間的差異，雙邊濾波算法在加權(quán)過(guò)程中還考慮像素值之間的差異。在雙邊濾波算法中，恢復(fù)圖像像素值依賴(lài)于其鄰域在距離和像素值兩個(gè)方面關(guān)于鄰域像素值的加權(quán)之和：

（5）

式中：是在處的恢復(fù)圖像像素值；是在處的像素值；是距離空間上的高斯濾波函數(shù)，圖像中的點(diǎn)與當(dāng)前點(diǎn)距離越小，則其對(duì)當(dāng)前點(diǎn)的影響就越大，它所占的加權(quán)系數(shù)也就越大，是像素值差異的高斯濾波函數(shù)，與當(dāng)前點(diǎn)的像素值的像素的差越小的點(diǎn)，對(duì)當(dāng)前點(diǎn)的影響越大，相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)就越大；分別表示距離空間和像素值空間的濾波半徑。

2.2 方法實(shí)現(xiàn)

本文中涉及到的TV算法使用Bregman分裂方法求解[9?10]。

Bregman分裂算法：

Step1： 固定求解關(guān)于的優(yōu)化問(wèn)題

該問(wèn)題的解析解為：

Step2： 固定求解關(guān)于的優(yōu)化問(wèn)題

由最優(yōu)化的必要條件得：

該問(wèn)題是一個(gè)關(guān)于求解的線(xiàn)性方程組問(wèn)題，可以使用數(shù)值迭代法求解。

Step3： 更新

轉(zhuǎn)至Step1，直至達(dá)到收斂精度。

Bregman分裂方法在每步迭代更新過(guò)程中，需要求解如下的非約束優(yōu)化問(wèn)題：

（6）

式中：變量可以通過(guò)解析解求解；變量可以通過(guò)共軛梯度法來(lái)求解，因此極大地減少了迭代的次數(shù)，求解效率提高。

雙邊濾波算法在更新圖像像素值的過(guò)程中采用Guass?Seidel的更新迭代方式，它有效地利用了最近更新的像素值結(jié)果，能夠加速方法的實(shí)現(xiàn)。

算法實(shí)現(xiàn)流程圖如圖1所示。

3 數(shù)值結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證方法的去噪性能，采用峰值信噪比（PSNR）來(lái)評(píng)價(jià)去噪圖像的恢復(fù)質(zhì)量，它是原圖像和計(jì)算求解的恢復(fù)圖像之間的均方誤差，相當(dāng)于信號(hào)最大值的平方的對(duì)數(shù)值。在灰度圖像處理中，PSNR的計(jì)算公式為：

（7）

式中：是去噪恢復(fù)圖像；是原圖像。PSNR的值（單位：dB）越大，表示去噪恢復(fù)圖像的失真越少，圖像恢復(fù)的質(zhì)量越高，恢復(fù)的效果越好。

本文針對(duì)大量的圖像進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了方法的有效性。這里選取來(lái)自于Matlab圖片庫(kù)中的兩幅不同尺寸的標(biāo)準(zhǔn)8位灰度圖像cameraman（圖像尺寸為256×256）和liftingbody（圖像尺寸512×512）進(jìn)行分析說(shuō)明。

本文中涉及到的參數(shù)設(shè)置如下：Bregman分裂法的參數(shù)涉及到的線(xiàn)性方程組用共軛梯度法（CG法）進(jìn)行求解，當(dāng)算法前后兩次迭代結(jié)果之間的相對(duì)誤差小于10-3時(shí)，迭代終止。雙邊高斯濾波算法中核的邊長(zhǎng)，取為濾波核半徑的一半，0.1。

表1是針對(duì)高斯白噪聲方差分別是30，35，40，45的四種情況下的降噪處理結(jié)果。

從表1中可以看出，不同的噪聲水平下，使用雙邊濾波對(duì)圖像進(jìn)行降噪的效果十分有限（PSNR增加1.30～2.20 dB），而TV降噪算法的降噪效果均表現(xiàn)良好（5.91～9.96 dB）。

在低水平的噪聲情況下，本文方法較TV降噪算法降噪效果不明顯（PSNR增加了0.33%和4.48%）。隨著噪聲的增加，本文方法比TV去噪算法的降噪效果明顯，當(dāng)噪聲從30增加到45，PSNR值改變量分別從0.09 dB和1.38 dB增加到1.45 dB和2.56 dB。當(dāng)噪聲水平達(dá)到45時(shí)，cameraman降噪圖像的PSNR增加1.45 dB，增加6.43%，liftingbody降噪圖像的PSNR增加2.56 dB，增加10.86%，降噪效果得到明顯提高。endprint

圖2是cameraman圖像原始圖像、噪聲圖像（噪聲水平為40）、TV算法去噪圖像和結(jié)合TV的雙邊濾波去噪圖像。從圖2中可以看出，結(jié)合TV和雙邊濾波方法的圖像比TV算法的圖像去噪效果更明顯。

圖3，圖4分別給出了TV算法和結(jié)合TV算法的雙邊濾波方法對(duì)cameraman圖像進(jìn)行去噪結(jié)果的局部區(qū)域放大圖以及l(fā)iftingbody圖像的噪聲去除測(cè)試結(jié)果，從結(jié)果中可以看出，本文方法能夠更加有效地去除噪聲，去噪效果更明顯。

因此，不管是從PSNR的客觀結(jié)果還是從人眼觀察的主觀結(jié)果來(lái)看，采用結(jié)合全TV正則化的雙邊濾波方法要明顯優(yōu)于單獨(dú)使用全TV正則化去噪算法或者使用雙邊濾波的效果。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)TV去噪算法容易產(chǎn)生階梯效應(yīng)的問(wèn)題，提出一種結(jié)合雙邊高斯濾波的TV圖像去噪方法，它可以比較有效地解決TV算法產(chǎn)生的階梯效應(yīng)問(wèn)題，與TV算法相比，能夠更好地去除噪聲。仿真結(jié)果表明本文提出的去噪方法降噪效果明顯，圖像質(zhì)量也得到了明顯的改善。與TV算法相比，在較高水平噪聲情況下，使用本文算法小尺寸灰度圖片（256×256）去噪圖像的PSNR提高1.45 dB左右，大尺寸灰度圖片（512×512）圖像的PSNR提高2.56 dB左右。

參考文獻(xiàn)

[1] RUDIN L I， OSHER S， FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms [J]. Physica D： nonlinear phenomena， 1992， 60（1/4）： 259?268.

[2] CHAMBOLLE A. An algorithm for total variation minimization and applications： special issue on mathematics and image ana?lysis [J]. Journal of mathematical imaging & vision， 2004， 20： 89?97.

[3] GETREUER P. Rudin?Osher?Fatemi total variation denoising using split Bregman [J]. Image processing on line， 2012， 2： 74?95.

[4] OSHER S， BURGER M， GOLDFARB D， et al. An iterative regularization method for total variation?based image restoration [C]// Proceedings of 2005 IEEE International Conference on Imaging System & Techniques. [S.l.]： IEEE， 2005： 460?489.

[5] NIKOLOVA M. Local strong homogeneity of a regularized estimator [J]. Siam journal on applied mathematics， 2000， 61（2）： 633?658.

[6] MEYER Y. Oscillating patterns in image processing and nonli?near evolution equations： the fifteenth dean jacqueline B. Lewis Memorial Lectures [R]. US： American Mathematical Society， 2001.

[7] OSHER S， SOL? A， VESE L. Image decomposition and restoration using total variation minimization and the norm [J]. Journal of chemical theory & computation， 2006， 2（6）： 1565?1574.

[8] 宋海英.基于總變分和中值濾波的圖像去噪方法[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2011，34（14）：16?18.

[9] GOLDSTEIN T， OSHER S. The split Bregman method for L1?regularized problems [J]. Siam journal on imaging sciences， 2009， 2（2）： 323?343.

[10] CAI J F， OSHER S， SHEN Z. Convergence of the linearized Bregman iteration for ??norm minimization [J]. Mathematics of computation， 2013， 78（5）： 2127?2136.endprint