謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

靜磁場任意分布電流的鏡像源研究

謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

“電磁場”教材給出了靜磁場平行交界面無限長直載流導(dǎo)線的鏡像結(jié)果。本文利用矢量磁位研究任意分布電流靜磁場平面鏡像問題，發(fā)現(xiàn)交界面銜接條件只能確定鏡像場源的水平分量，而垂直分量需要根據(jù)電流連續(xù)性原理確定，并且垂直和平行于交界面電流密度分量的鏡像結(jié)果不同，研究結(jié)果有助于學(xué)生對空間分布電流密度磁介質(zhì)平面鏡像方法的完整理解。

靜磁場; 交界面條件; 鏡像法; 矢量磁位

0 引言

“電磁場”教材給出了無限長直載流導(dǎo)線的平面磁介質(zhì)鏡像結(jié)果[1,2]，但實(shí)際問題中，電流不僅存在平行交界面分量，而且有垂直交界面分量。

本文針對靜磁場任意電流密度平面鏡像問題，利用電流連續(xù)性、矢量磁位及其交界面銜接條件確定鏡像場源，使得靜磁場平面鏡像內(nèi)容更加完整。

1 靜磁場平面鏡像問題

設(shè)以z=0為分界面，上、下兩個半空間填充磁介質(zhì)，磁導(dǎo)率分別為μ1和μ2，在上半空間有任意分布電流密度J，如圖1(a)所示。

(a) (b) (c) 圖1 磁介質(zhì)平面鏡像

2 鏡像法求解矢量磁位

根據(jù)鏡像法原理確定空間場量必須分區(qū)域求解。對于上半空間(z>0)的磁場，已知場源J(x0,y0,z0)，將下半空間磁介質(zhì)參數(shù)改為μ1，并在鏡像位置設(shè)置鏡像電流密度J1(x0,y0, -z0)。對于下半空間(z<0)的磁場，將上半空間磁介質(zhì)參數(shù)改為μ2，并在已知場源J(x0,y0,z0)位置增加鏡像電流密度J2(x0,y0,z0)，自然這兩個電流密度可以合成為一個電流密度。

利用矢量磁位求解場量比較方便，因靜磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B無散，引入矢量磁位A使得B=▽×A，并且根據(jù)庫侖規(guī)范▽×A=0，得到矢量磁位滿足泊松方程

▽2A=-μJ

(1)

以坐標(biāo)原點(diǎn)為矢量磁位參考點(diǎn)，式(1)的解為

(2)

由此可知圖1上、下半空間的矢量磁位分別為

(3a)

(3b)

其中，場點(diǎn)矢徑r=axx+ayy+azz，源點(diǎn)矢徑s=axx0+ayy0+azz0，鏡像源點(diǎn)矢徑s1=axx0+ayy0-azz0，V1為V的鏡像區(qū)域，dV1為dV的鏡像體元，即dV1=-dV，矢量磁位A1等式右邊第二項(xiàng)體積分等同于區(qū)域V中的體積分。

3 矢量磁位滿足的交界面條件

交界面條件是磁感應(yīng)強(qiáng)度B法向分量連續(xù)，對應(yīng)矢量磁位A切向分量連續(xù)，磁場強(qiáng)度H切向分量連續(xù)。因?yàn)镠=B/μ=▽×A/μ，于是得到

az×A1(r0)=az×A2(r0)

(4a)

μ2az×▽×A1(r0)=μ1az×▽×A2(r0)

(4b)

其中，交界面上場點(diǎn)矢徑r0=axx+ayy。

4 鏡像場源的確定

考慮到鏡像關(guān)系，由式(3a)和(3b)代入式(4a)得到矢量磁位切向分量連續(xù)滿足的方程:

(5)

其中，源點(diǎn)矢徑s平行平面分量s0=axx0+ayy0。

式(5)右邊為常矢量，左邊為r0的函數(shù)，則有

μ1(Jp+J1p)=μ2(Jp+J2p)

(6)

其中，平行于交界面的場源分量分別為Jp，J1p和J2p。

類似地，由式(3a)和(3b)代入式(4b)得到磁場強(qiáng)度切向分量連續(xù)時矢量磁位滿足的方程:

(7)

化簡后得到

(8)

其中，垂直于交界面的鏡像場源分量分別為J1z和J2z。

根據(jù)電流連續(xù)性原理，電流密度J的散度為零

▽·J=▽·Jp+▽·Jz=0

(9)

式(9)中的電流密度也可以是鏡像電流源，電流密度矢量線是閉合的，式(8)第二項(xiàng)利用分步積分對z0積分一次后并利用電流密度散度為零得到

(10)

將式(10)代入式(8)得到

(11)

由此可見，鏡像場源平行于交界面的分量滿足

J1p=-J2p

(12)

由式(6)和式(12)得到平行于交界面的鏡像電流密度與給定電流密度分量的關(guān)系:

J1p=-J2p=kmJp

(13)

其中，km=(μ2-μ1)/(μ2+μ1)。

由式(9)和(13)得到垂直于交界面的鏡像電流密度與給定電流密度分量的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系

(14a)

(14b)

于是，垂直于交界面的鏡像場源與給定電流密度分量滿足：J1z=J2z=-kmJz

(15)(謝寶昌文)

由式(13)和(15)得到鏡像電流密度與給定電流密度的關(guān)系:

J1(s1)=km[Jp(s)-Jz(s)]，z0>0

(16a)

J2(s)=-kmJ(s)，z0>0

(16b)

5 結(jié)語

本文對靜磁場任意電流分布的鏡像問題進(jìn)行了研究，結(jié)果表明僅僅依靠交界面條件只能確定平行鏡像電流分量，垂直鏡像電流分量需要根據(jù)電流連續(xù)性原理確定，而且還發(fā)現(xiàn)垂直和平行于交界面電流密度分量的鏡像結(jié)果不同。本研究有助于學(xué)生對空間分布電流密度磁介質(zhì)平面鏡像方法的完整理解。

[1] 周希朗. 電磁場[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014年

[2] 謝寶昌. 電磁能量[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016年

Research on Mirror Image Source of Arbitrary Current Density in Magneto-static Field

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

Mirror image source of infinitive long current line with respect to planar interface is given in textbook of Electromagnetic Field. The problem of arbitrary current density distribution is investigated based on magnetic vector potential in this paper. Only horizontal components of the mirror image sources can be determined by boundary conditions while for the vertical components we must adopt the principle of current continuity. Furthermore, the difference between perpendicular and parallel component is found in the results, which is helpful for student to wholly understand the mirror image method of magnetic media planar interface.

magneto-static field; boundary conditions; mirror image method; magnetic vector potential

2016-06-28;

2016-09- 22

謝寶昌(1965-)，男，博士，副教授，主要從事電機(jī)與電器的教學(xué)與研究工作，Email：bcxie@sjtu.edu.cn

TM153

A

1008-0686(2017)04-0034-03