盧 偉

(岳陽(yáng)市第一中學(xué),湖南 岳陽(yáng) 414000)

利用全反力的定向性巧解中學(xué)物理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

盧 偉

(岳陽(yáng)市第一中學(xué),湖南 岳陽(yáng) 414000)

本文探究了全反力的定向條件與應(yīng)用,對(duì)于中學(xué)物理中的靜力學(xué)平衡問(wèn)題及動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解決均有一定的應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)通過(guò)應(yīng)用可以提高學(xué)生的思維能力．

全反力； 摩擦角； 動(dòng)力學(xué)

中學(xué)物理中經(jīng)常分析求解與摩擦有關(guān)的力學(xué)問(wèn)題(含靜力學(xué)平衡問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)非平衡問(wèn)題),鑒于有一些文章已經(jīng)探討過(guò)利用全反力與摩擦角巧解中學(xué)物理中的平衡問(wèn)題,本文僅限于探討利用全反力在一定條件下的定向性巧解動(dòng)力學(xué)非平衡問(wèn)題,可以做到簡(jiǎn)化解題思路,提高解題效率．

1 全反力、摩擦角和自鎖的概念和規(guī)律

(1) 全反力:理論力學(xué)中,法向反力FN與靜摩擦力Fs的合力FRA稱為支持面對(duì)物體的全約束力,又稱全反力,如圖1所示．

(2) 摩擦角:摩擦力Fs達(dá)到最大值Fmax時(shí),這時(shí)FRA與FN的夾角也達(dá)到最大值φm,φm稱為摩擦角,如圖2所示．

圖1

圖2

① 物體即將滑動(dòng)時(shí)全反力的方向決定于最大靜摩擦因數(shù)μs,與FN的大小無(wú)關(guān)．物體滑動(dòng)時(shí)(無(wú)論勻速還是變速)的全反力的方向決定于動(dòng)摩擦因數(shù)μ,也與FN的大小無(wú)關(guān)．

圖3

② 全反力方向在以法線為軸的錐形區(qū)間內(nèi),稱為摩擦錐(筆者將其稱為自鎖區(qū)),如圖3所示．如果作用于物體的主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角之內(nèi)(自鎖區(qū)內(nèi)),則無(wú)論這個(gè)力多么大,總有一個(gè)全反力FRA與之平衡,物體保持靜止,如圖4所示;反之,如果主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角之外(圓錐自鎖區(qū)外),則無(wú)論這個(gè)力多么小,物體也不可能保持平衡,如圖5所示．這種與力大小無(wú)關(guān)而與摩擦角有關(guān)的平衡條件稱為自鎖條件．物體在這種條件下的平衡現(xiàn)象稱之自鎖現(xiàn)象．

圖4

圖5

③ 自鎖現(xiàn)象中一般有一個(gè)力發(fā)生變化,從而導(dǎo)致與其關(guān)聯(lián)的其他力相應(yīng)變化,但物體的平衡狀態(tài)卻不能被打破．因此在任意方向的坐標(biāo)軸上都有ΔF正向=ΔF負(fù)向．

④ 一般情況下μs>μ,中學(xué)階段為了突出基礎(chǔ),降低難度,簡(jiǎn)化問(wèn)題,將最大靜摩擦因數(shù)μs與動(dòng)摩擦因數(shù)μ等同處理——所以試題中經(jīng)常說(shuō)明“最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力”,值得注意的是2012年高考新課標(biāo)第24題中,動(dòng)摩擦因數(shù)與最大靜摩擦因數(shù)分別用μ和λ表示,進(jìn)行了區(qū)分．

2 全反力與摩擦角在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

圖6

(1) 求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大?。?/p>

(2) 拉力F與斜面的夾角多大時(shí),拉力F最小?拉力F的最小值是多少?

傳統(tǒng)解法(以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為核心的解析法).

(1) 設(shè)物塊加速度的大小為a,到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為v,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

(1)

v=v0+at.

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式得

a=3 m/s2.

(3)

v=8 m/s.

(4)

圖7

(2) 設(shè)物塊所受支持力為FN,所受摩擦力為Ff,拉力與斜面間的夾角為α,受力分析如圖7所示,由牛頓第二定律得

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma.

(5)

Fsinα+FN-mgcosθ=0.

(6)

又

Ff=μFN.

(7)

聯(lián)立(5)～(7)式得

(8)

由數(shù)學(xué)知識(shí)得

(9)

由(8)(9)式可知對(duì)應(yīng)F最小的夾角為

α=30°.

(10)

聯(lián)立(3)(8)(10)式,代入數(shù)據(jù)得F的最小值為

(11)

非傳統(tǒng)解法(應(yīng)用全反力定向規(guī)律的圖解法).

(1) 第一問(wèn)解法與傳統(tǒng)解法相同．

(2) 設(shè)物塊所受全反力為FRA,FRA與法線的夾角(摩擦角)為φs,拉力F與斜面間的夾角為α,受力分析如圖8所示．

由第(1)問(wèn)分析可得合力的大小為

F合=ma=1.2N.

圖8 受力分析

圖9 構(gòu)建力矢量圖

將全反力平移,使其末端與合力的末端連接,拉力的起端為重力的末端,拉力的終端為全反力的起端,則當(dāng)拉力F與全反力FRA垂直時(shí),拉力F最小,如圖9所示,此時(shí)重力、拉力、全反力首尾相連后形成缺口,連接缺口的力即為合力,合力的起端為重力的始端,合力的終端為全反力的末端．

可知拉力與水平面的夾角(θ+α)等于重力與全反力之間的之間的夾角(θ+φs),故

圖10 解力三角形

α=φs=30°.

將拉力拆成F1和F2兩個(gè)同向分量,構(gòu)建兩個(gè)力三角形,如圖10所示．則有

所以最小拉力為

比較兩種解法,以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為核心的解析法,需要借助三角函數(shù)求極值方法(也稱輔助角公式),過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn),但較為抽象,適用于計(jì)算題;以全反力定向規(guī)律為核心的圖解法,則需要借助幾何知識(shí)(求角和邊長(zhǎng)),過(guò)程直觀,物理意義明確,特別是對(duì)于闡明拉力為什么垂直于全反力時(shí)最小變得簡(jiǎn)單明了,但圖解法需要較多的文字說(shuō)明圖形的物理意義,更適用于選擇與填空題．

掌握全反力與摩擦角的有關(guān)規(guī)律,在求解靜力學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用,可以有效降低分析難度,簡(jiǎn)化解題過(guò)程．

1 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編.理論力學(xué)(Ⅰ)(第6版)[M].北京： 高等教育出版社，2002：111.

本文系湖南省教育規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)模型在中學(xué)物理教學(xué)中的建構(gòu)與應(yīng)用研究”(編號(hào):XJK014CZXX077)階段性成果之一．

2017-04-12)