劉念聰，楊家銳，曾浩然，耿偉濤，陳建龍

(成都理工大學(xué) 核技術(shù)與自動(dòng)化工程學(xué)院，成都 610059)

特性參數(shù)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)-縱向振動(dòng)的影響分析*

劉念聰，楊家銳，曾浩然，耿偉濤，陳建龍

(成都理工大學(xué) 核技術(shù)與自動(dòng)化工程學(xué)院，成都 610059)

以數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用第二類拉格朗日方程理論建立了系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)-縱向的耦合動(dòng)力學(xué)模型，并利用四階龍格-庫塔法對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值求解。采用等倍數(shù)法增加各參數(shù)值，進(jìn)而求取了不同參數(shù)下的工作臺(tái)速度最大振動(dòng)幅值。在此基礎(chǔ)上，分析了絲杠與螺母結(jié)合部軸向剛度、聯(lián)軸器剛度、軸承剛度三個(gè)因素對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)工作臺(tái)軸向振動(dòng)的影響，并分析了在變導(dǎo)程下增加結(jié)合部等效扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響。研究結(jié)果表明，隨軸向剛度的增加工作臺(tái)軸向振動(dòng)幅值都呈減弱的趨勢，螺母結(jié)合部軸向剛度是影響工作臺(tái)軸向振動(dòng)最大的因素，聯(lián)軸器剛度是影響最小的因素。導(dǎo)程越大，工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值越大，等效扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響率越明顯。為進(jìn)給系統(tǒng)的研究提供了理論參考，并為機(jī)床減振和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

進(jìn)給系統(tǒng)；扭轉(zhuǎn)-縱向；耦合；剛度；變導(dǎo)程

0 引言

進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性作為影響數(shù)控機(jī)床切削平穩(wěn)性的決定因素之一，直接影響到其加工質(zhì)量、加工精度[1-2]。另一方面，數(shù)控機(jī)床的高速、高精密發(fā)展趨勢對(duì)數(shù)控機(jī)床動(dòng)態(tài)特性的要求越來越高[3-4]，而動(dòng)態(tài)特性參數(shù)是影響動(dòng)態(tài)特性的重要因素并很大程度上制約數(shù)控機(jī)床的加工質(zhì)量，在耦合作用下研究動(dòng)態(tài)特性參數(shù)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的影響已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)[5-6]。吳沁等[7-8]人運(yùn)用集中質(zhì)量建模的方法建立了扭轉(zhuǎn)-縱向振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型并指出絲杠導(dǎo)程、質(zhì)量、螺母結(jié)合部剛度是對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)影響最大的三個(gè)因素，并提出了減小剛度對(duì)系統(tǒng)性能影響的控制補(bǔ)償策略，但建模過于簡化，并忽略了工作臺(tái)的扭轉(zhuǎn)因素的影響，其分析不能準(zhǔn)確描述各參數(shù)影響的變化趨勢。ZHANG等人運(yùn)用Timoshenko理論研究了扭轉(zhuǎn)-縱向的振動(dòng)，得出伺服電機(jī)諧波頻率與系統(tǒng)自然頻率接近時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生共振[9]，雖建模時(shí)考慮了聯(lián)軸器剛度，但并未分析其對(duì)系統(tǒng)的影響。VICENTE等人運(yùn)用里茲級(jí)數(shù)法建立了進(jìn)給系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)-縱向耦合數(shù)學(xué)模型，分析了導(dǎo)程、工作臺(tái)位置對(duì)系統(tǒng)的影響，并對(duì)耦合與非耦合下的模態(tài)頻率進(jìn)行了比較分析[10]，但在建模時(shí)忽略了工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)因素的影響，并未得出某種影響趨勢。OKWUDIRE等人建立了進(jìn)給系統(tǒng)三向耦合數(shù)學(xué)模型，在頻域內(nèi)分析了轉(zhuǎn)矩、工作臺(tái)位置對(duì)系統(tǒng)最大振動(dòng)幅值的影響[11]，但在建模時(shí)忽略了阻尼、聯(lián)軸器影響，并未得出聯(lián)軸器對(duì)系統(tǒng)的影響趨勢。

論文根據(jù)第二類拉格朗日方程理論建立考慮剛度、導(dǎo)程等影響因素的動(dòng)力學(xué)模型，通過取最大幅值的方式分析了影響因素對(duì)工作臺(tái)振動(dòng)的影響關(guān)系，結(jié)論為后期結(jié)構(gòu)優(yōu)化和機(jī)床減振提供一定的理論依據(jù)。

1 進(jìn)給系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 力學(xué)模型

進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，為了便于力學(xué)模型的建立，將進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖作如下假設(shè)：電機(jī)軸剛性較大，視其為剛性體考慮。聯(lián)軸器軸向剛度較扭轉(zhuǎn)剛度而言，扭轉(zhuǎn)作主導(dǎo)作用，把聯(lián)軸器簡化成由扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼組成的等效扭轉(zhuǎn)彈簧。考慮到軸承、螺母與絲杠結(jié)合部的彈性作用，把結(jié)合部分簡化成軸向剛度、軸向阻尼、扭轉(zhuǎn)剛度、扭轉(zhuǎn)阻尼。為了簡化分析模型，不考慮絲杠彎曲的作用，把滑塊結(jié)合部的法向剛度換算到螺母與絲杠結(jié)合部上考慮。具體簡化如圖2所示。

圖1 進(jìn)給系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 簡化力學(xué)模型

如圖2所示，Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，cm為電機(jī)繞x軸旋轉(zhuǎn)的粘性阻尼，θ1為電機(jī)轉(zhuǎn)角位移，k1、c1分別為聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼，cb、cb1、cbφ、cb1φ分別為兩軸承結(jié)合部的軸向阻尼和扭轉(zhuǎn)阻尼，kb、kb1、kbφ、kb1φ分別為兩軸承結(jié)合部的軸向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，μ(x,t)、θ(x,t)分別為絲杠的軸向振動(dòng)位移和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移，c2、c2φ分別為螺母結(jié)合部的軸向阻尼和扭轉(zhuǎn)阻尼，k2φ為工作臺(tái)法向剛度k3、k4轉(zhuǎn)換到螺母結(jié)合部扭轉(zhuǎn)剛度上的等效扭轉(zhuǎn)剛度，k2為螺母結(jié)合處的軸向剛度，x(t)為工作臺(tái)軸向位移，φ(t)為工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)位移，m為工作臺(tái)質(zhì)量，ct為滑塊粘性阻尼。

1.2 數(shù)學(xué)模型

第二類拉格朗日方程如式(1)所示。

(1)

式中，Q-廣義激振力；L-系統(tǒng)動(dòng)勢能之差，L=T-V，T-系統(tǒng)動(dòng)能，V-系統(tǒng)勢能；D-阻尼能；qi-系統(tǒng)廣義坐標(biāo)。

根據(jù)簡化可得進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)能：

(2)

式中，ρ—絲杠密度；J—絲杠極慣性矩，J=πd4/32；J1—工作臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由文獻(xiàn)[12]可知J1=mb2/48；J2—聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；A—絲杠橫截面面積；L1—絲杠長度。

同理，根據(jù)簡化可得勢能：

(3)

式中，G—剪切彈性模量；l—轉(zhuǎn)換系數(shù)，l=l1/2π；E—材料彈性模量。

同上，可得阻尼能和系統(tǒng)外力所作的功：

(4)

式中，F(xiàn)1—螺母預(yù)緊力，以最大動(dòng)載荷的10%計(jì)算；f—工作臺(tái)所受阻力。

在連續(xù)系統(tǒng)非線性無關(guān)具有同步運(yùn)動(dòng)特征條件下，可把絲杠扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移和縱向振動(dòng)位移分離成位移和時(shí)間表示的函數(shù)，即用里茲級(jí)數(shù)法表示[13]，可得：

(5)

把式(2)～式(5)帶入式(1)中，并把系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)平衡方程整理成矩陣形式，如式(6)所示：

(6)

2 動(dòng)態(tài)特性參數(shù)分析

工作臺(tái)x向的振動(dòng)對(duì)加工精度具有直接的影響，因此本文以此為分析對(duì)象。運(yùn)用四階-龍格庫塔法對(duì)式(6)進(jìn)行數(shù)值求解運(yùn)算。其中，結(jié)合部剛度難以確定，因此結(jié)合部剛度根據(jù)赫茲理論進(jìn)行計(jì)算[14]，考慮到系統(tǒng)受阻尼過大時(shí)幅值將會(huì)很小，分析時(shí)不易獲取較大幅值，因此系統(tǒng)阻尼根據(jù)模態(tài)實(shí)驗(yàn)所得絲杠最小阻尼比ξ=0.00197進(jìn)行計(jì)算。以搭建的工作臺(tái)實(shí)際計(jì)算所得參數(shù)值為求解初始參數(shù)，主要參數(shù)如表1所示。

表1 初始數(shù)值計(jì)算參數(shù)

取r=0.5L1，在扭轉(zhuǎn)-軸向耦合狀態(tài)下，通過等倍數(shù)改變各參數(shù)值的方式獲得工作臺(tái)在不同數(shù)值下的數(shù)值，并通過取振動(dòng)最大幅值的方式定量分析各參數(shù)對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)-軸向振動(dòng)的影響趨勢。表2為剛度以等倍數(shù)增加時(shí)工作臺(tái)軸向剛度的最大幅值變化情況，下降率表示隨剛度等倍增加后軸向最大振幅所下降的比例。表3表示在不同導(dǎo)程下工作臺(tái)結(jié)合部扭轉(zhuǎn)剛度以成倍增加后工作臺(tái)的扭轉(zhuǎn)最大幅值，影響率表示在不同導(dǎo)程下，結(jié)合部扭轉(zhuǎn)剛度以等倍數(shù)增加后分別對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)最大振動(dòng)幅值影響的下降比例，而增加率表示在初始設(shè)定的參數(shù)條件下隨著導(dǎo)程的增加工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)最大振動(dòng)幅值所增加的比例。圖3對(duì)應(yīng)表2數(shù)據(jù)，圖4、圖5對(duì)應(yīng)表3數(shù)據(jù)。

表2 軸向剛度對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)影響

表3 變導(dǎo)程下工作臺(tái)結(jié)合部等效扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響

圖3 剛度對(duì)工作臺(tái)軸向的影響關(guān)系

圖4 變導(dǎo)程下結(jié)合部扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)下降率的影響

圖5 導(dǎo)程對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響關(guān)系

由表2、圖3可知，隨著螺母結(jié)合部軸向剛度、軸承結(jié)合部剛度、聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺(tái)軸向最大振幅都呈逐漸下降的趨勢，其中，螺母結(jié)合部軸向剛度增加后振幅下降率為6.5%，軸承結(jié)合部剛度增加后下降率為2.9%，聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度增加后振幅下降率為0.55%。由此可知，這三因素中，螺母軸向剛度是影響工作臺(tái)軸向振動(dòng)最大的因素，且聯(lián)軸器對(duì)其影響最小，在對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡化分析時(shí)，可以忽略聯(lián)軸器剛度的影響。

由表3、圖4可知,在導(dǎo)程不變的情況下，隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值將逐漸減小，即工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)波動(dòng)減小，在增加導(dǎo)程后，隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺(tái)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值的影響率將會(huì)逐漸增大。根據(jù)建模時(shí)工作臺(tái)軸向與扭轉(zhuǎn)有l(wèi)的轉(zhuǎn)化關(guān)系可知，隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺(tái)軸向振動(dòng)幅值也將逐漸減小。由圖5和表3可知導(dǎo)程從5增加到6和10，即增加1.2倍和2倍時(shí)，振動(dòng)幅值增加率16.63%和45.86%，等效扭轉(zhuǎn)剛度增加2倍時(shí)，振動(dòng)幅值下降率0.78%，由此得出導(dǎo)程對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值的影響要比等效扭轉(zhuǎn)剛度的影響大的多，這是由于增大導(dǎo)程會(huì)使系統(tǒng)耦合性增加并會(huì)增加絲杠的扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)而減小了傳動(dòng)剛度。

3 結(jié)論

以搭建的進(jìn)給系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用第二類拉格朗日理論建立了進(jìn)給系統(tǒng)多自由度的理論模型，通過取振動(dòng)最大幅值的方式分析了各因素對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)的影響和對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論：

(1)隨著軸向剛度的增加，工作臺(tái)軸向振動(dòng)幅值呈逐漸減小的趨勢。在文中分析的幾個(gè)對(duì)軸向影響的剛度因素中，螺母結(jié)合部軸向剛度對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)幅值的影響最大，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，可以采用雙螺母來提高螺母結(jié)合部剛度，從而減小振動(dòng)。由于聯(lián)軸器對(duì)工作臺(tái)軸向振動(dòng)非常小，在以后的理論研究中，在精度允許的前提下，可以忽略聯(lián)軸器的影響。

(2)隨著等效扭轉(zhuǎn)剛度的增加，工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值呈逐漸減小的趨勢，即工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)波動(dòng)減小。隨著導(dǎo)程的增加工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值呈增大的趨勢，這是由于增大導(dǎo)程會(huì)使絲杠的扭轉(zhuǎn)變形增大進(jìn)而減小了傳動(dòng)剛度。并得出導(dǎo)程對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)的影響比等效扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響大的多。

(3)隨導(dǎo)程的增加，結(jié)合部等效扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)工作臺(tái)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響率將會(huì)逐漸變大，由此可以得出，對(duì)采用大導(dǎo)程的系統(tǒng)，在分析其性能時(shí)不可以忽略結(jié)合部扭轉(zhuǎn)剛度的影響。

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(編輯 李秀敏)

Analysis on the Influence of Characteristics Parameter on Feed System Workbench Axial-Torsional Vibration

LIU Nian-cong, YANG Jia-rui, ZENG Hao-ran, GENG Wei-tao, CHEN Jian-long

(College of Nuclear Technology and Automation Engineering,Chengdu University of Technology, Chengdu 610059,China)

By taking numerical control machine feed system as the research subject, a axial-torsional coupling dynamic model of feed system has been established using the second theory of Lagrange equation, and the model has also been numerically solved by the four-order Runge-Kutta method. Increasing the various parameter values of feed system by equimultiple, the maximum velocity amplitude of workbench vibration under the different parameters has been obtained. Influence of the axial stiffness of nut integration, the coupling stiffness and the bearing stiffness on workbench axial vibration has been analyzed, and under the changeable lead, the influence of increasing the integration equivalent torsional stiffness on workbench torsional vibration has also been analyzed. It turns out that when increasing the three axial stiffness, vibration amplitude of the workbench axial decreases. The axial stiffness of nut integration is taken as the major factor of the workbench axial vibration, and the coupling stiffness as the minimum factor. The bigger the screw lead, the greater the torsional vibration, and the influence ratio of equivalent torsional stiffness on workbench torsional vibration become more obvious. The discovery can be served as theory reference of feed system research, and provides theoretical basis for the vibration absorption and structure optimization of machine tool.

feed system; axial-torsional; coupling; stiffness; changeable lead

1001-2265(2017)08-0010-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.003

2016-10-26；

2016-11-22

國家自然科學(xué)基金(51575457)；四川省教育廳科研項(xiàng)目(16ZB0098)

劉念聰(1976—)，男，山東荷澤人，成都理工大學(xué)副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)及測試、機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、有限元分析，(E-mail)1250208673@qq.com；通訊作者：楊家銳(1990—)，男，重慶人，成都理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)橹圃爝^程故障診斷與可靠性分析，(E-mail)861306792@qq.com。

TH161; TG659

A