朱潔唐慧琴 李曉利 劉小欽

1)(貴州理工學(xué)院理學(xué)院,貴陽 550003)

2)(中南大學(xué)物理與電子學(xué)院,長沙 410083)

具有余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束的傳輸性質(zhì)及四暗空心光束的產(chǎn)生?

朱潔1)?唐慧琴2)李曉利1)劉小欽1)

1)(貴州理工學(xué)院理學(xué)院,貴陽 550003)

2)(中南大學(xué)物理與電子學(xué)院,長沙 410083)

(2017年3月1日收到;2017年6月6日收到修改稿)

基于廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式,獲得了余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束交叉譜密度函數(shù)通過近軸ABCD光學(xué)系統(tǒng)傳輸時(shí)的解析表達(dá)式.并因此探討了該類光束經(jīng)過自由空間傳輸時(shí)光強(qiáng)分布的演化特性.結(jié)果表明,余弦-高斯關(guān)聯(lián)部分相干貝塞爾-高斯光束在合適的參數(shù)條件下能呈現(xiàn)自分裂等奇異傳輸特性.特別地,這種自分裂可實(shí)現(xiàn)暗空心光束的復(fù)制,即從一個(gè)暗空心光束獲得四個(gè)相似的暗空心光束.并且發(fā)現(xiàn)這些傳輸特性和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)結(jié)構(gòu)密切相關(guān),因此調(diào)控關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)分布以實(shí)現(xiàn)調(diào)制光的相干長度和空間分布性質(zhì)從而可實(shí)現(xiàn)操控光束傳輸行為.由于暗空心光束在工程技術(shù)領(lǐng)域的重要應(yīng)用價(jià)值,本文的研究結(jié)果提供了實(shí)現(xiàn)四暗空心光束的可能方案,從而在激光通信、微粒操控等方面具有重要的應(yīng)用前景.

部分相干光束,特殊關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù),自分裂,四暗空心光束

1 引 言

相干性質(zhì)是光束的重要物理性質(zhì)之一,因此部分相干光束一直是廣泛研究的重要主題[1].理論上,以往所研究的部分相干光束大都集中在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)具有高斯分布或Bessel函數(shù)分布情形[2?6].而實(shí)際中的部分相干光束的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)可以具有多種復(fù)雜空間結(jié)構(gòu),為此Gori和Santarsiero[7]從理論上一般性地建立了構(gòu)建部分相干光束關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的充分條件,自此后提出了一系列新的、具有非傳統(tǒng)(非高斯函數(shù)形式)的特殊關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的部分相干光束.近年對此問題的研究異?；钴S,研究結(jié)果表明具有特殊關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的部分相干光束具有許多奇異性質(zhì),例如:具有厄米-高斯、直角對稱余弦-高斯及直角對稱拉蓋爾-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干高斯光束在自由空間傳輸過程中展現(xiàn)出自分裂特性,即從單個(gè)高斯光斑演變?yōu)槎鄠€(gè)高斯光斑,而經(jīng)透鏡聚焦或在大氣湍流中傳輸時(shí)會經(jīng)歷自分裂-自復(fù)合現(xiàn)象[7?12];環(huán)形對稱拉蓋爾-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干高斯光束在傳輸過程中呈現(xiàn)自整形效應(yīng),能從單個(gè)高斯光斑演變成環(huán)形結(jié)構(gòu),并且經(jīng)過聚焦后可以在焦點(diǎn)附近產(chǎn)生三維可控光學(xué)囚籠[13?28];而具有相干格點(diǎn)分布關(guān)聯(lián)部分相干性的高斯光束在傳輸過程中呈現(xiàn)光強(qiáng)格點(diǎn)分布[29?33]等.由于這些奇特的傳輸性質(zhì),特殊關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干光束在大氣激光通信、圖像傳輸、光學(xué)成像、粒子俘獲、微粒操控等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值.到目前為止,有些具有特殊關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的部分相干光束已在實(shí)驗(yàn)上成功實(shí)現(xiàn)[10?12,15?17].

但上述這些對非高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干光束的討論大都假定在源平面上光強(qiáng)度具有簡單的高斯分布形式,而隨著激光技術(shù)的進(jìn)步,目前可以產(chǎn)生各種不同強(qiáng)度分布形式的激光光束.本文將討論具有余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束通過傍軸ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸,這種光束的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)具有余弦-高斯函數(shù)形式,但在源平面上的場強(qiáng)度分布具有復(fù)雜的空間暗空心光斑結(jié)構(gòu),為了描述方便將其簡稱為cGBGB.相干或部分相干貝塞爾-高斯光束的性質(zhì)一直備受關(guān)注[34?36];而暗空心及多暗空心強(qiáng)度分布光束在工程技術(shù)中有重要的應(yīng)用,也是近年廣泛研究的重要主題[37?41],本文的討論將進(jìn)一步豐富對非均勻關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干暗空心光束傳輸性質(zhì)的認(rèn)識,并給出了同時(shí)獲得四個(gè)暗空心光束的方案.

2 cGBGB的理論模型

用W(0)(r1,r2)表示單色部分相干光束在源平面處的交叉光譜密度函數(shù),其中r1=(x1,y1)和r2=(x2,y2)是光源橫平面上兩個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo),為了簡單這里已省略了與光波頻率的關(guān)系.基于交叉光譜密度函數(shù)必須有非負(fù)定的積分核,即對于任意的函數(shù)f(r),必定存在不等式[7]:

為此,Gori和Santarsiero證明:在空間-頻率域中,為滿足上述非負(fù)條件,部分相干光束的交叉光譜密度函數(shù)可以表示為如下積分形式[7]:

其中H0為任意函數(shù),p(v)為非負(fù)函數(shù),v=(vx,vy)是非相干光的位置坐標(biāo).這時(shí)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)(也稱相干度分布函數(shù))可以表示為

通過選擇合適的函數(shù)H0和p,就能構(gòu)建物理上可實(shí)現(xiàn)的交叉光譜密度函數(shù)及相應(yīng)的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù),以描述具有不同性質(zhì)的部分相干光束.如常取H0有似Fourier結(jié)構(gòu),即H0(r,v)= τ(r)exp(?i r.v),而τ(r)一般是任意的復(fù)函數(shù),它代表了源平面上場強(qiáng)度的分布位形結(jié)構(gòu)形式,近年來在廣泛研究非均勻關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)部分相干光束時(shí)大都假定τ(r)有高斯

函數(shù)形式.本文研究τ(r)具有貝塞爾-高斯分布的情形:

這里δx(δy)是表征相干長度的參數(shù),βx(βy)是與cos函數(shù)相關(guān)的參數(shù).

于是部分相干光束的交叉光譜密度函數(shù)可寫成

其在源平面上強(qiáng)度分布具有貝塞爾-高斯強(qiáng)度分布形式,即為我們所稱的cGBGB.按照文獻(xiàn)[34—36]給出的方法,貝塞爾-高斯函數(shù)可表為

其中αq=q.余弦-高斯、厄米-高斯等關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干高斯光束等通過空間光調(diào)制器已經(jīng)分別在實(shí)驗(yàn)上產(chǎn)生[10?12,15?17],其基本方法是在空間光調(diào)制器上加載計(jì)算全息圖,而cGBGB也應(yīng)可用類似方案實(shí)現(xiàn).

3 cGBGB通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸公式

本節(jié)我們將推導(dǎo)非均勻cGBGB的交叉光譜密度函數(shù)通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸公式,按照廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分的Collins公式,部分相干光束通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)時(shí),在z＞0處的接收平面上其交叉光譜密度函數(shù)可以表示為[11]

這里ρ1=(ρx1,ρy1)和ρ2=(ρx2,ρy2)為接收橫平面上兩點(diǎn)的位置直角坐標(biāo);A,B,C和D是近軸光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣的矩陣元;而k=2π/λ是波數(shù),λ代表光波波長.

將具有(5)和(7)式的交叉光譜密度函數(shù)(6)式代入(8)式后,可得到

完成如下變量變換:

和利用縮寫符號

我們有

依次完成對rs和rd的積分后,得

而zR=kw20/2是瑞利距離,且在完成上述積分時(shí)使用了積分公式[42]

由此可得到接收平面上的強(qiáng)度表達(dá)式為

這時(shí)

其中Xs和Ys是與B相關(guān)的標(biāo)度坐標(biāo).

對于自由空間傳播,輸入光束源平面位于z=0處而接收平面置于z處時(shí),則A=D=1而B=z.據(jù)此我們可討論cGBGB在自由空間傳播的傳輸性質(zhì).

4 cGBGB經(jīng)過自由空間的傳輸特性

本節(jié)我們利用推導(dǎo)得到的傳輸公式研究cGBGB經(jīng)過自由空間的傳輸特性.采用上述標(biāo)度坐標(biāo),并設(shè)δx=δy≡δ0,βx=βy≡β,由(19)—(22)式知光強(qiáng)分布實(shí)際上主要由表征相干長度的參數(shù)δ、反映關(guān)聯(lián)部分空間結(jié)構(gòu)性質(zhì)的參數(shù)β及以Rayleigh距離為單位的標(biāo)度傳輸距離z/zR等所決定.為此采用數(shù)值方法我們討論了光強(qiáng)度分布,計(jì)算中按照文獻(xiàn)[35]的討論,在n≤6條件下取M=60時(shí)方程(7)具有相當(dāng)高的精度逼近貝塞爾-高斯光束(4)式,在以下計(jì)算中取M=60.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在不同傳輸距離處的強(qiáng)度分布及花樣,這里n=3,R=1,β =6,δ0=w0,從(a)–(f)依次對應(yīng)z/zR=0,0.5,1,4/3,4,20Fig.1.(color on line)Variation of intensity pattern con figu rations of cGBGBs p ropagating in free space With d iff erent scaled p ropagation distances z/zR:(a)z/zR=0;(b)z/zR=0.5;(c)z/zR=1;(d)z/zR=4/3;(e)z/zR=4;(f)z/zR=20.The other paraMeters are n=3,R=1,β =6,δ0=W0.

按照上述(19)—(22)式,我們計(jì)算了源平面上給定光束在自由空間傳輸中強(qiáng)度花樣的演變過程,模擬結(jié)果如圖1所示.在源平面(z=0)上非零整數(shù)n的貝塞爾-高斯光束對應(yīng)具有典型暗空心強(qiáng)度分布結(jié)構(gòu)(圖1(a)).計(jì)算表明當(dāng)δ0適當(dāng)小(約略小于4)而β適當(dāng)大(約略大于2)時(shí),在傳輸過程中,首先貝塞爾-高斯光束對應(yīng)的暗空心逐漸被填充成為最亮中心;然后是在周邊出現(xiàn)四個(gè)暗空心分布花樣,不過圍繞這些暗空心的亮邊緣強(qiáng)度并不均勻(圖1(b)和圖1(c));進(jìn)一步的傳輸演化使得四個(gè)暗空心光束的亮邊緣逐漸成為均勻強(qiáng)度分布且彼此分離(圖1(d)),在繼續(xù)的傳輸過程中這四個(gè)暗中心逐漸被填充而形成四個(gè)平頂分布(圖1(e)),最后演變成為四個(gè)似高斯強(qiáng)度分布的光束(圖1(f)),且不再變化(但光斑大小會變化).因此對于某些初始暗空心光束在一定的傳輸距離處可以獲得四個(gè)類似的暗空心光束,我們把這種從單一暗空心光束轉(zhuǎn)變?yōu)樗膫€(gè)暗空心光束的過程形象地稱為“暗空心光束的復(fù)制”.另外我們也看到這類光束在演變過程中其強(qiáng)度花樣結(jié)構(gòu)總是在不斷變化更新,花樣結(jié)構(gòu)的持續(xù)變化反映了光能量在傳輸過程中的連續(xù)重新分布.此外,應(yīng)當(dāng)指出,因?yàn)槭褂昧?21)和(22)式定義的與傳輸距離有關(guān)的標(biāo)度坐標(biāo),圖中不同傳輸距離處的光斑尺度是不同的.

計(jì)算也表明,δ0和β適當(dāng)大時(shí),經(jīng)過足夠長的傳輸距離的遠(yuǎn)場只是演變成四個(gè)弱暗空心(中央暗部分有足夠亮度但相對亮圍環(huán)仍明顯弱些)或平頂光束而不會成為四個(gè)似高斯光束,即仍能實(shí)現(xiàn)光束的自分裂(self-sp litting)(圖2).而當(dāng)β足夠小或δ0相當(dāng)大時(shí)則沒有自分裂現(xiàn)象出現(xiàn)(圖3(a)和(c)),因此光束的自分裂現(xiàn)象純粹是合適的非均勻部分相干的結(jié)果,而恰當(dāng)選擇δ0與β參數(shù)對能否實(shí)現(xiàn)光束自分裂及空心光束的復(fù)制具有關(guān)鍵效用.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在不同傳輸距離處的強(qiáng)度分布及花樣(n=3,R=1,β=6,δ0=2.5w0)(a)—(f)依次對應(yīng)的z/zR=0,1,2,4,10,100Fig.2.(color on line)Variation of intensity pattern con figurations of cGBGBs p ropagating in free space With diff erent scaled p ropagation distances z/zR:(a)z/zR=0;(b)z/zR=1;(c)z/zR=2;(d)z/zR=4;(e)z/zR=10;(f)z/zR=100.The other paraMeters are n=3,R=1,β =6,δ0=2.5w0.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)不同δ0和β條件下余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在z=100zR處的強(qiáng)度分布及花樣(n=3,R=1) (a)β=2,δ=3W0;(b)β=7,δ=3w0;(c)β=7,δ=6w0Fig.3.(color on line)Average intensity d istribu tions of cGBGBs in free space at z=100zRfor d iff erentβ andδ:(a)β =2,δ=3W0;(b)β =7,δ=3W0;(c)β =7,δ=6W0.The other paraMeters are n=3,R=1.

而且,當(dāng)選擇的δ0和β能使某特定n值的光束能形成自分裂或空心光束復(fù)制時(shí),則對任意n值的光束都能實(shí)現(xiàn)空心光束的復(fù)制,只是在演變的過程中新結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的快慢不同,如圖4所示.這里在z=3zR處n=2時(shí)四個(gè)空心光束的中央已明顯地被填充,而n=6時(shí)四個(gè)理想的空心束還未完全形成.

在源平面上,R值主要控制了亮環(huán)的大小,對于一定的其他參數(shù),R愈大而亮環(huán)愈小.圖5給出了在z=60zR處的幾個(gè)不同R值下的強(qiáng)度花樣,為了簡單這里取βy=0,并且也給出了它們對應(yīng)的一維分布.顯然對于一定的n值,亮環(huán)大時(shí)花樣結(jié)構(gòu)演變得更快:圖5(a)中R=1時(shí)源平面上亮環(huán)最大,其在z=60zR處中央也填充得最多;反之R=3時(shí)源平面上亮環(huán)最小(圖5(c)),其在z=60zR處幾乎仍是理想的暗中心(強(qiáng)度為零),這些從一維分布能看得更清楚.

最后,我們認(rèn)為這種暗空心光束的復(fù)制是源平面上光束的相干性導(dǎo)致的,而不是渦旋光束不穩(wěn)定性導(dǎo)致的渦分裂,這從不同拓樸荷n的光束都分裂成四(或兩)個(gè)暗空心就說明了這點(diǎn).正如文獻(xiàn)[14,15]的結(jié)果指出的,直角對稱余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)高斯光束在傳輸過程中會產(chǎn)生分束現(xiàn)象,本文的結(jié)果證明具有復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的光束也可通過調(diào)控源平面上的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)實(shí)現(xiàn)光束分裂,從而獲得多個(gè)空心光束.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)不同拓?fù)浜芍笖?shù)n條件下余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在z=3zR處的強(qiáng)度分布及花樣(β=8,δ0=1.75w0,R=1) (a)n=2;(b)n=3;(c)n=6Fig.4.(color online)Average intensity distributions of cGBGBs in free space at z=3zRfor diff erent topological charge n:(a)n=2;(b)n=3;(c)n=6.The other paraMeters areβ =8,δ0=1.75W0,R=1.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)不同R條件下余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在z=60zR處的強(qiáng)度分布與花樣(上圖)及一維分布(下圖)(n=4,βx=7,βy=0,δ0=1.5w0 (a)R=1;(b)R=2;(c)R=3Fig.5.(color on line)Average intensity d istribu tions of cGBGBs in free space at z=60zRfor diff erent R:(a)R=1;(b)R=2;(c)R=3.The other paraMeters are n=4,βx=7,βy=0,δ0=1.5w0.

5 結(jié) 論

本文研究了具有余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的部分相干貝塞爾-高斯光束通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的演變,基于廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分的Collins公式,我們求得了這類光束交叉光譜密度函數(shù)的一般表達(dá)式,并以在自由空間中的傳播為例詳細(xì)地考察了這類光束的花樣變化.結(jié)果表明,余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的部分相干貝塞爾-高斯光束在合適的參數(shù)條件下能呈現(xiàn)自分裂等奇異傳輸特性,不過這種自分裂不是簡單地從單個(gè)到多個(gè)的分裂,而是經(jīng)歷了首先中央被填充、爾后再分裂的復(fù)雜過程.特別地,在一定條件下這種自分裂可實(shí)現(xiàn)暗空心光束的復(fù)制.并且發(fā)現(xiàn)這些傳輸特性和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的結(jié)構(gòu)密切相關(guān),因此調(diào)控關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)分布可以調(diào)制光的相干長度以及空間結(jié)構(gòu)性質(zhì),從而實(shí)現(xiàn)操控光束傳輸行為.總之,這一研究揭示了余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)部分相干光束在源平面上具有復(fù)雜光強(qiáng)花樣時(shí)會呈現(xiàn)出豐富的演變行為,而因暗空心光束的重要應(yīng)用,所得研究結(jié)果提供了同時(shí)獲得四個(gè)暗空心光束的可能方案,有望在激光通信、微粒操控等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用前景.實(shí)際上,部分相干貝塞爾-高斯光束可以攜帶軌道角動(dòng)量,余弦-高斯關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)的部分相干貝塞爾-高斯光束攜帶的軌道角動(dòng)量及其在傳輸過程中的演變也是值得探討的,我們將另文專門研究.

[1]Mandel L,Wolf E 1995 Optica l Coherence and QuantuMOptic s(CaMb ridge:CaMbridge University Press)pp33–39

[2]Wolf E,Collett E 1978 Opt.ComMun.25 293

[3]Gori F,GuattariG,PadovaniC 1987 Opt.ComMun.64 311

[4]PonoMarenko S A 2001 J.Opt.Soc.Am.A 18 150

[5]Li J,Gao X M,Chen Y R 2012Opt.ComMun.285 3403

[6]Cang J,X iu P,Liu X 2013 Opt.Laser Technol.54 35

[7]Gori F,Santarsiero M2007 Opt.Lett.32 3531

[8]Chen Y H,Gu J X,Wang F,Cai Y J 2015 Phys.Rev.A 91 013823

[9]Yu J Y,Chen Y H,Liu L,Liu X L,Cai Y J 2015 Opt.Express 23 13467

[10]Chen Y H,Yu J Y,Yuan Y S,Wang F,Cai Y J 2016 Appl.Phys.B 122 31

[11]Yu J Y,Chen Y H,Cai Y J 2016 Acta Phys.Sin.65 214202(in Chinese)[余佳益,陳亞紅,蔡陽健2016物理學(xué)報(bào)65 214202]

[12]Liang C H,Wang F,Liu X L,Cai Y J,Korotkova O 2014 Opt.Lett.39 769

[13]Mei Z R 2014 Opt.Express 22 13029

[14]Mei Z R,Korotkova O 2013 Opt.Lett.38 91

[15]Wang F,Liu X,Yuan Y,Cai Y J 2013 Opt.Lett.38 1814

[16]Chen Y H,Cai Y J 2014 Opt.Lett.39 2549

[17]Chen Y H,Wang F,Zhao C L,Cai Y J 2014 Opt.Express 22 5826

[18]Chen Y H,Liu L,Wang F,Zhao C L,Cai Y J 2014 Opt.Express 22 13975

[19]Guo L N,Chen Y H,Liu L,Cai Y J 2015 Opt.ComMun.352 127

[20]Xu H F,Zhang Z,Qu J,Huang W2016 J.Mod.Opt.63 1429

[21]Q iu Y L,Chen Z X,He Y J 2017 Opt.ComMun.389 303

[22]Mei Z R,Korotkova O 2013 Opt.Lett.38 2578

[23]Mei Z R,Schchepakina E,Korotkova O 2013 Opt.Express 21 17512

[24]Pan L,D ing C,Wang H 2014 Opt.Express 22 11670

[25]Xu H F,Zhang Z,Qu J,Huang W2014 Opt.Express 22 22479

[26]D ing C L,Liao L M,Wang H X,Zhang Y T,Pan L Z 2015 J.Opt.17 035615

[27]Zhu S J,Chen Y H,Wang J,Wang H Y,Li Z H,Cai Y J 2015 Opt.Express 23 33099

[28]Song Z Z,Liu Z J,Zhou K Y,Sun Q G,Liu S T 2017 Chin.Phys.B 26 024201

[29]Ma L Y,PonoMarenko SM2015 Opt.Express 23 1848

[30]Chen Y H,PonoMarenko S A,Cai Y J 2016 Appl.Phys.Lett.109 061107

[31]Mao Y M,Mei Z R 2016 Opt.ComMun.381 222

[32]Liu X L,Yu J Y,Cai Y J,PonoMarenko S A 2016 Opt.Lett.41 4182

[33]Song Z Z,Liu Z J,Zhou K Y,Sun Q G,Liu S T 2016 J.Opt.18 105601

[34]Zhu K C,Zhou G Q,Li X Y,Zheng X J,Tang H Q 2008 Opt.Express 16 21315

[35]Zhu K C,Li X Y,Zheng X J,Tang H Q 2010 Appl.Phys.B 98 567

[36]Zhu K C,Li SX,Tang Y,Yu Y,Tang H Q 2012 J.Opt.Soc.Am.A 29 251

[37]Deng D,Li Y,Han Y H,Su X Y,Ye J F,Gao JM,Sun Q Q,Qu S L 2016 Opt.Express 24 19695

[38]Liu H L,Lu Y F,X ia J,Chen D,He W,Pu X Y 2016 Opt.Express 24 28270

[39]Zhou Q,Lu J F,Y in J P 2015 Acta Phys.Sin.64 053701(in Chinese)[周琦,陸俊發(fā),印建平2015物理學(xué)報(bào)64 053701]

[40]Zhu K C,Tang H Q,Zheng X J,Tang Y 2014 Acta Phys.Sin.63 104210(in Chinese)[朱開成,唐慧琴,鄭小娟,唐英2014物理學(xué)報(bào)63 104210]

[41]Tang H Q,Zhu K C 2013 Opt.Lasers Technol.54 68

[42]G radshtevn IS,Ryzhik IM1980 Table of In tegral,Series,and Products(NeWYork:AcadeMic Press)p307

PACS:42.25.Kb,42.25.BsDOI:10.7498/aps.66.164202

*Pro ject supported by the H igh Level Introduction of Talent Research Start-up Fund of Guizhou Institu te of Technology,China.

?Corresponding author.E-Mail:jiezh_16@163.com

P ropagation p roperties of nonun iforMcosine-Gaussian correlated Bessel-Gaussian beaMth rough paraxial ABCD systeMand generation of dark-holloWbeaMarray?

Zhu Jie1)?Tang Hui-Qin2)Li Xiao-Li1)Liu Xiao-Qin1)

1)(School of Science,Guizhou Institute of Technology,Guiyang 550003,China)
2)(School of Physical Science and Technology,Central South University,Changsha 410083,China)

1 March 2017;revised Manuscrip t

6 June 2017)

Partially coherent beaMs With nonconventional correlation functions have been extensively studied due to their Wide and iMportant app lications in free-space optical communication,particle trapping,image transMission and optical encryption.Here,we study the propagation of nonuniforMcosine-Gaussian correlated Bessel-Gaussian beam(cGBCB)in detail.Analytical expressions for the cross-spectral density function of cGBCBs through paraxial ABCD systeMare derived based on the extended Huygens-Fresnel integral.By use of the derived formulae,the intensity distribution properties of a nonuniforMcGBCB on propagation in free space are analytically investigated.SoMe nuMerical calcu lation resu lts are presented and discussed graphically.It is found that when the root-Mean-square correlation Wid thδand the parameter controlling the degree of coherence profi lesβare approp riately chosen,the intensity distribution of the nonuniforMcGBCB disp lays self-sp litting properties during propagation.We point out that rather than a siMp le dup lication,the self-sp litting behaviour consists of a coMp lex process in which the dark holloWpattern for cGBCB is gradually fi lled in the centre at fi rst,then starts to sp lit With increasing the propagation distance,and Most iMpressively,an evolution p rocess froMa single dark holloWbeaMin the source p lane to quadrup le dark holloWprofi les in certain propagation ranges can be realized.The influence of correlation function on the evolution properties of the intensity distribution is investigated,deMonstrating that the values of paraMetersδandβof the correlation function p lay a critical role in inducing the self-sp litting eff ect for nonuniforMcGBCB on propagation in free space.Therefore,it is clearly shown thatmodulating the correlation function of a partially coherent beaMcan alter the coherence length and the degree of nonuniforMity,and thus p rovides an eff ective way ofManipulating its propagation p roperties.We also find the evolution speed of the intensity distribution can be greatly aff ected by the topological charge n of the beaMfunction and the parameter R controlling the holloWsize of cGBCB in source p lane,e.g.the intensity distribution evolves into quadrup le dark holloWprofi lesMore sloWly With larger n or sMaller R.As is well known,the dark-holloWintensity con figurations are useful in many app lications and have been extensively studied both theoretically and experimentally.Therefore,the results d rawn in the paper develop an alternativeway to realize dark-holloWbeaMarray,and further pave the way for dark holloWbeaMapp lications in long-distance free-space op tical communications.

partially coherent beam,nonconventional correlation function,self-splitting,dark-holloWbeaMarray

10.7498/aps.66.164202

?貴州理工學(xué)院高層次人才引進(jìn)科研啟動(dòng)費(fèi)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:jiezh_16@163.com

?2017中國物理學(xué)會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn