朱潔唐慧琴 李曉利 劉小欽

1)(貴州理工學院理學院,貴陽 550003)

2)(中南大學物理與電子學院,長沙 410083)

具有余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束的傳輸性質(zhì)及四暗空心光束的產(chǎn)生?

朱潔1)?唐慧琴2)李曉利1)劉小欽1)

1)(貴州理工學院理學院,貴陽 550003)

2)(中南大學物理與電子學院,長沙 410083)

(2017年3月1日收到;2017年6月6日收到修改稿)

基于廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式,獲得了余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束交叉譜密度函數(shù)通過近軸ABCD光學系統(tǒng)傳輸時的解析表達式.并因此探討了該類光束經(jīng)過自由空間傳輸時光強分布的演化特性.結果表明,余弦-高斯關聯(lián)部分相干貝塞爾-高斯光束在合適的參數(shù)條件下能呈現(xiàn)自分裂等奇異傳輸特性.特別地,這種自分裂可實現(xiàn)暗空心光束的復制,即從一個暗空心光束獲得四個相似的暗空心光束.并且發(fā)現(xiàn)這些傳輸特性和關聯(lián)結構函數(shù)結構密切相關,因此調(diào)控關聯(lián)結構函數(shù)分布以實現(xiàn)調(diào)制光的相干長度和空間分布性質(zhì)從而可實現(xiàn)操控光束傳輸行為.由于暗空心光束在工程技術領域的重要應用價值,本文的研究結果提供了實現(xiàn)四暗空心光束的可能方案,從而在激光通信、微粒操控等方面具有重要的應用前景.

部分相干光束,特殊關聯(lián)結構函數(shù),自分裂,四暗空心光束

1 引 言

相干性質(zhì)是光束的重要物理性質(zhì)之一,因此部分相干光束一直是廣泛研究的重要主題[1].理論上,以往所研究的部分相干光束大都集中在關聯(lián)結構函數(shù)具有高斯分布或Bessel函數(shù)分布情形[2?6].而實際中的部分相干光束的關聯(lián)結構函數(shù)可以具有多種復雜空間結構,為此Gori和Santarsiero[7]從理論上一般性地建立了構建部分相干光束關聯(lián)結構函數(shù)的充分條件,自此后提出了一系列新的、具有非傳統(tǒng)(非高斯函數(shù)形式)的特殊關聯(lián)結構函數(shù)的部分相干光束.近年對此問題的研究異?；钴S,研究結果表明具有特殊關聯(lián)結構函數(shù)的部分相干光束具有許多奇異性質(zhì),例如:具有厄米-高斯、直角對稱余弦-高斯及直角對稱拉蓋爾-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干高斯光束在自由空間傳輸過程中展現(xiàn)出自分裂特性,即從單個高斯光斑演變?yōu)槎鄠€高斯光斑,而經(jīng)透鏡聚焦或在大氣湍流中傳輸時會經(jīng)歷自分裂-自復合現(xiàn)象[7?12];環(huán)形對稱拉蓋爾-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干高斯光束在傳輸過程中呈現(xiàn)自整形效應,能從單個高斯光斑演變成環(huán)形結構,并且經(jīng)過聚焦后可以在焦點附近產(chǎn)生三維可控光學囚籠[13?28];而具有相干格點分布關聯(lián)部分相干性的高斯光束在傳輸過程中呈現(xiàn)光強格點分布[29?33]等.由于這些奇特的傳輸性質(zhì),特殊關聯(lián)結構函數(shù)部分相干光束在大氣激光通信、圖像傳輸、光學成像、粒子俘獲、微粒操控等領域具有重要的應用價值.到目前為止,有些具有特殊關聯(lián)結構函數(shù)的部分相干光束已在實驗上成功實現(xiàn)[10?12,15?17].

但上述這些對非高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干光束的討論大都假定在源平面上光強度具有簡單的高斯分布形式,而隨著激光技術的進步,目前可以產(chǎn)生各種不同強度分布形式的激光光束.本文將討論具有余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束通過傍軸ABCD光學系統(tǒng)的傳輸,這種光束的關聯(lián)結構函數(shù)具有余弦-高斯函數(shù)形式,但在源平面上的場強度分布具有復雜的空間暗空心光斑結構,為了描述方便將其簡稱為cGBGB.相干或部分相干貝塞爾-高斯光束的性質(zhì)一直備受關注[34?36];而暗空心及多暗空心強度分布光束在工程技術中有重要的應用,也是近年廣泛研究的重要主題[37?41],本文的討論將進一步豐富對非均勻關聯(lián)結構函數(shù)部分相干暗空心光束傳輸性質(zhì)的認識,并給出了同時獲得四個暗空心光束的方案.

2 cGBGB的理論模型

用W(0)(r1,r2)表示單色部分相干光束在源平面處的交叉光譜密度函數(shù),其中r1=(x1,y1)和r2=(x2,y2)是光源橫平面上兩個點的直角坐標,為了簡單這里已省略了與光波頻率的關系.基于交叉光譜密度函數(shù)必須有非負定的積分核,即對于任意的函數(shù)f(r),必定存在不等式[7]:

為此,Gori和Santarsiero證明:在空間-頻率域中,為滿足上述非負條件,部分相干光束的交叉光譜密度函數(shù)可以表示為如下積分形式[7]:

其中H0為任意函數(shù),p(v)為非負函數(shù),v=(vx,vy)是非相干光的位置坐標.這時關聯(lián)結構函數(shù)(也稱相干度分布函數(shù))可以表示為

通過選擇合適的函數(shù)H0和p,就能構建物理上可實現(xiàn)的交叉光譜密度函數(shù)及相應的關聯(lián)結構函數(shù),以描述具有不同性質(zhì)的部分相干光束.如常取H0有似Fourier結構,即H0(r,v)= τ(r)exp(?i r.v),而τ(r)一般是任意的復函數(shù),它代表了源平面上場強度的分布位形結構形式,近年來在廣泛研究非均勻關聯(lián)結構部分相干光束時大都假定τ(r)有高斯

函數(shù)形式.本文研究τ(r)具有貝塞爾-高斯分布的情形:

這里δx(δy)是表征相干長度的參數(shù),βx(βy)是與cos函數(shù)相關的參數(shù).

于是部分相干光束的交叉光譜密度函數(shù)可寫成

其在源平面上強度分布具有貝塞爾-高斯強度分布形式,即為我們所稱的cGBGB.按照文獻[34—36]給出的方法,貝塞爾-高斯函數(shù)可表為

其中αq=q.余弦-高斯、厄米-高斯等關聯(lián)結構函數(shù)部分相干高斯光束等通過空間光調(diào)制器已經(jīng)分別在實驗上產(chǎn)生[10?12,15?17],其基本方法是在空間光調(diào)制器上加載計算全息圖,而cGBGB也應可用類似方案實現(xiàn).

3 cGBGB通過ABCD光學系統(tǒng)的傳輸公式

本節(jié)我們將推導非均勻cGBGB的交叉光譜密度函數(shù)通過ABCD光學系統(tǒng)的傳輸公式,按照廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分的Collins公式,部分相干光束通過ABCD光學系統(tǒng)時,在z＞0處的接收平面上其交叉光譜密度函數(shù)可以表示為[11]

這里ρ1=(ρx1,ρy1)和ρ2=(ρx2,ρy2)為接收橫平面上兩點的位置直角坐標;A,B,C和D是近軸光學系統(tǒng)的傳輸矩陣的矩陣元;而k=2π/λ是波數(shù),λ代表光波波長.

將具有(5)和(7)式的交叉光譜密度函數(shù)(6)式代入(8)式后,可得到

完成如下變量變換:

和利用縮寫符號

我們有

依次完成對rs和rd的積分后,得

而zR=kw20/2是瑞利距離,且在完成上述積分時使用了積分公式[42]

由此可得到接收平面上的強度表達式為

這時

其中Xs和Ys是與B相關的標度坐標.

對于自由空間傳播,輸入光束源平面位于z=0處而接收平面置于z處時,則A=D=1而B=z.據(jù)此我們可討論cGBGB在自由空間傳播的傳輸性質(zhì).

4 cGBGB經(jīng)過自由空間的傳輸特性

本節(jié)我們利用推導得到的傳輸公式研究cGBGB經(jīng)過自由空間的傳輸特性.采用上述標度坐標,并設δx=δy≡δ0,βx=βy≡β,由(19)—(22)式知光強分布實際上主要由表征相干長度的參數(shù)δ、反映關聯(lián)部分空間結構性質(zhì)的參數(shù)β及以Rayleigh距離為單位的標度傳輸距離z/zR等所決定.為此采用數(shù)值方法我們討論了光強度分布,計算中按照文獻[35]的討論,在n≤6條件下取M=60時方程(7)具有相當高的精度逼近貝塞爾-高斯光束(4)式,在以下計算中取M=60.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在不同傳輸距離處的強度分布及花樣,這里n=3,R=1,β =6,δ0=w0,從(a)–(f)依次對應z/zR=0,0.5,1,4/3,4,20Fig.1.(color on line)Variation of intensity pattern con figu rations of cGBGBs p ropagating in free space With d iff erent scaled p ropagation distances z/zR:(a)z/zR=0;(b)z/zR=0.5;(c)z/zR=1;(d)z/zR=4/3;(e)z/zR=4;(f)z/zR=20.The other paraMeters are n=3,R=1,β =6,δ0=W0.

按照上述(19)—(22)式,我們計算了源平面上給定光束在自由空間傳輸中強度花樣的演變過程,模擬結果如圖1所示.在源平面(z=0)上非零整數(shù)n的貝塞爾-高斯光束對應具有典型暗空心強度分布結構(圖1(a)).計算表明當δ0適當小(約略小于4)而β適當大(約略大于2)時,在傳輸過程中,首先貝塞爾-高斯光束對應的暗空心逐漸被填充成為最亮中心;然后是在周邊出現(xiàn)四個暗空心分布花樣,不過圍繞這些暗空心的亮邊緣強度并不均勻(圖1(b)和圖1(c));進一步的傳輸演化使得四個暗空心光束的亮邊緣逐漸成為均勻強度分布且彼此分離(圖1(d)),在繼續(xù)的傳輸過程中這四個暗中心逐漸被填充而形成四個平頂分布(圖1(e)),最后演變成為四個似高斯強度分布的光束(圖1(f)),且不再變化(但光斑大小會變化).因此對于某些初始暗空心光束在一定的傳輸距離處可以獲得四個類似的暗空心光束,我們把這種從單一暗空心光束轉變?yōu)樗膫€暗空心光束的過程形象地稱為“暗空心光束的復制”.另外我們也看到這類光束在演變過程中其強度花樣結構總是在不斷變化更新,花樣結構的持續(xù)變化反映了光能量在傳輸過程中的連續(xù)重新分布.此外,應當指出,因為使用了(21)和(22)式定義的與傳輸距離有關的標度坐標,圖中不同傳輸距離處的光斑尺度是不同的.

計算也表明,δ0和β適當大時,經(jīng)過足夠長的傳輸距離的遠場只是演變成四個弱暗空心(中央暗部分有足夠亮度但相對亮圍環(huán)仍明顯弱些)或平頂光束而不會成為四個似高斯光束,即仍能實現(xiàn)光束的自分裂(self-sp litting)(圖2).而當β足夠小或δ0相當大時則沒有自分裂現(xiàn)象出現(xiàn)(圖3(a)和(c)),因此光束的自分裂現(xiàn)象純粹是合適的非均勻部分相干的結果,而恰當選擇δ0與β參數(shù)對能否實現(xiàn)光束自分裂及空心光束的復制具有關鍵效用.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在不同傳輸距離處的強度分布及花樣(n=3,R=1,β=6,δ0=2.5w0)(a)—(f)依次對應的z/zR=0,1,2,4,10,100Fig.2.(color on line)Variation of intensity pattern con figurations of cGBGBs p ropagating in free space With diff erent scaled p ropagation distances z/zR:(a)z/zR=0;(b)z/zR=1;(c)z/zR=2;(d)z/zR=4;(e)z/zR=10;(f)z/zR=100.The other paraMeters are n=3,R=1,β =6,δ0=2.5w0.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)不同δ0和β條件下余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在z=100zR處的強度分布及花樣(n=3,R=1) (a)β=2,δ=3W0;(b)β=7,δ=3w0;(c)β=7,δ=6w0Fig.3.(color on line)Average intensity d istribu tions of cGBGBs in free space at z=100zRfor d iff erentβ andδ:(a)β =2,δ=3W0;(b)β =7,δ=3W0;(c)β =7,δ=6W0.The other paraMeters are n=3,R=1.

而且,當選擇的δ0和β能使某特定n值的光束能形成自分裂或空心光束復制時,則對任意n值的光束都能實現(xiàn)空心光束的復制,只是在演變的過程中新結構出現(xiàn)的快慢不同,如圖4所示.這里在z=3zR處n=2時四個空心光束的中央已明顯地被填充,而n=6時四個理想的空心束還未完全形成.

在源平面上,R值主要控制了亮環(huán)的大小,對于一定的其他參數(shù),R愈大而亮環(huán)愈小.圖5給出了在z=60zR處的幾個不同R值下的強度花樣,為了簡單這里取βy=0,并且也給出了它們對應的一維分布.顯然對于一定的n值,亮環(huán)大時花樣結構演變得更快:圖5(a)中R=1時源平面上亮環(huán)最大,其在z=60zR處中央也填充得最多;反之R=3時源平面上亮環(huán)最小(圖5(c)),其在z=60zR處幾乎仍是理想的暗中心(強度為零),這些從一維分布能看得更清楚.

最后,我們認為這種暗空心光束的復制是源平面上光束的相干性導致的,而不是渦旋光束不穩(wěn)定性導致的渦分裂,這從不同拓樸荷n的光束都分裂成四(或兩)個暗空心就說明了這點.正如文獻[14,15]的結果指出的,直角對稱余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)高斯光束在傳輸過程中會產(chǎn)生分束現(xiàn)象,本文的結果證明具有復雜空間結構的光束也可通過調(diào)控源平面上的關聯(lián)結構函數(shù)實現(xiàn)光束分裂,從而獲得多個空心光束.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)不同拓撲荷指數(shù)n條件下余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在z=3zR處的強度分布及花樣(β=8,δ0=1.75w0,R=1) (a)n=2;(b)n=3;(c)n=6Fig.4.(color online)Average intensity distributions of cGBGBs in free space at z=3zRfor diff erent topological charge n:(a)n=2;(b)n=3;(c)n=6.The other paraMeters areβ =8,δ0=1.75W0,R=1.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)不同R條件下余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干貝塞爾-高斯光束在z=60zR處的強度分布與花樣(上圖)及一維分布(下圖)(n=4,βx=7,βy=0,δ0=1.5w0 (a)R=1;(b)R=2;(c)R=3Fig.5.(color on line)Average intensity d istribu tions of cGBGBs in free space at z=60zRfor diff erent R:(a)R=1;(b)R=2;(c)R=3.The other paraMeters are n=4,βx=7,βy=0,δ0=1.5w0.

5 結 論

本文研究了具有余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)的部分相干貝塞爾-高斯光束通過ABCD光學系統(tǒng)的演變,基于廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分的Collins公式,我們求得了這類光束交叉光譜密度函數(shù)的一般表達式,并以在自由空間中的傳播為例詳細地考察了這類光束的花樣變化.結果表明,余弦-高斯關聯(lián)結構的部分相干貝塞爾-高斯光束在合適的參數(shù)條件下能呈現(xiàn)自分裂等奇異傳輸特性,不過這種自分裂不是簡單地從單個到多個的分裂,而是經(jīng)歷了首先中央被填充、爾后再分裂的復雜過程.特別地,在一定條件下這種自分裂可實現(xiàn)暗空心光束的復制.并且發(fā)現(xiàn)這些傳輸特性和關聯(lián)結構函數(shù)的結構密切相關,因此調(diào)控關聯(lián)結構函數(shù)分布可以調(diào)制光的相干長度以及空間結構性質(zhì),從而實現(xiàn)操控光束傳輸行為.總之,這一研究揭示了余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)部分相干光束在源平面上具有復雜光強花樣時會呈現(xiàn)出豐富的演變行為,而因暗空心光束的重要應用,所得研究結果提供了同時獲得四個暗空心光束的可能方案,有望在激光通信、微粒操控等領域具有重要應用前景.實際上,部分相干貝塞爾-高斯光束可以攜帶軌道角動量,余弦-高斯關聯(lián)結構函數(shù)的部分相干貝塞爾-高斯光束攜帶的軌道角動量及其在傳輸過程中的演變也是值得探討的,我們將另文專門研究.

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PACS:42.25.Kb,42.25.BsDOI:10.7498/aps.66.164202

*Pro ject supported by the H igh Level Introduction of Talent Research Start-up Fund of Guizhou Institu te of Technology,China.

?Corresponding author.E-Mail:jiezh_16@163.com

P ropagation p roperties of nonun iforMcosine-Gaussian correlated Bessel-Gaussian beaMth rough paraxial ABCD systeMand generation of dark-holloWbeaMarray?

Zhu Jie1)?Tang Hui-Qin2)Li Xiao-Li1)Liu Xiao-Qin1)

1)(School of Science,Guizhou Institute of Technology,Guiyang 550003,China)
2)(School of Physical Science and Technology,Central South University,Changsha 410083,China)

1 March 2017;revised Manuscrip t

6 June 2017)

Partially coherent beaMs With nonconventional correlation functions have been extensively studied due to their Wide and iMportant app lications in free-space optical communication,particle trapping,image transMission and optical encryption.Here,we study the propagation of nonuniforMcosine-Gaussian correlated Bessel-Gaussian beam(cGBCB)in detail.Analytical expressions for the cross-spectral density function of cGBCBs through paraxial ABCD systeMare derived based on the extended Huygens-Fresnel integral.By use of the derived formulae,the intensity distribution properties of a nonuniforMcGBCB on propagation in free space are analytically investigated.SoMe nuMerical calcu lation resu lts are presented and discussed graphically.It is found that when the root-Mean-square correlation Wid thδand the parameter controlling the degree of coherence profi lesβare approp riately chosen,the intensity distribution of the nonuniforMcGBCB disp lays self-sp litting properties during propagation.We point out that rather than a siMp le dup lication,the self-sp litting behaviour consists of a coMp lex process in which the dark holloWpattern for cGBCB is gradually fi lled in the centre at fi rst,then starts to sp lit With increasing the propagation distance,and Most iMpressively,an evolution p rocess froMa single dark holloWbeaMin the source p lane to quadrup le dark holloWprofi les in certain propagation ranges can be realized.The influence of correlation function on the evolution properties of the intensity distribution is investigated,deMonstrating that the values of paraMetersδandβof the correlation function p lay a critical role in inducing the self-sp litting eff ect for nonuniforMcGBCB on propagation in free space.Therefore,it is clearly shown thatmodulating the correlation function of a partially coherent beaMcan alter the coherence length and the degree of nonuniforMity,and thus p rovides an eff ective way ofManipulating its propagation p roperties.We also find the evolution speed of the intensity distribution can be greatly aff ected by the topological charge n of the beaMfunction and the parameter R controlling the holloWsize of cGBCB in source p lane,e.g.the intensity distribution evolves into quadrup le dark holloWprofi lesMore sloWly With larger n or sMaller R.As is well known,the dark-holloWintensity con figurations are useful in many app lications and have been extensively studied both theoretically and experimentally.Therefore,the results d rawn in the paper develop an alternativeway to realize dark-holloWbeaMarray,and further pave the way for dark holloWbeaMapp lications in long-distance free-space op tical communications.

partially coherent beam,nonconventional correlation function,self-splitting,dark-holloWbeaMarray

10.7498/aps.66.164202

?貴州理工學院高層次人才引進科研啟動費資助的課題.

?通信作者.E-Mail:jiezh_16@163.com

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn