黃曉偉 盛新慶

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院電磁仿真中心,北京 100081)

矢量基爾霍夫公式經(jīng)典證明的漏洞與新的嚴(yán)格證明?

黃曉偉 盛新慶?

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院電磁仿真中心,北京 100081)

(2017年2月23日收到;2017年6月3日收到修改稿)

矢量基爾霍夫積分公式是電磁理論的一個重要公式,更是光學(xué)衍射理論的基礎(chǔ).然而,我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典著作中這個公式的證明普遍存在漏洞.本文將逐一指出這些漏洞,在此基礎(chǔ)上給出一個新的嚴(yán)格證明.最后用數(shù)值實驗驗證我們的結(jié)論.

矢量基爾霍夫積分,Stratton-Chu公式,Sommerfeld輻射條件

1 引 言

矢量基爾霍夫積分公式表明,空間中任意封閉曲面外一點處的電(磁)場可由曲面上電(磁)場及其法向?qū)?shù)積分表示出來.該公式不僅是電磁場散射理論中的一個重要公式,更是光學(xué)衍射理論的基礎(chǔ)[1?9].然而,一直以來,國內(nèi)外著作關(guān)于這個公式的證明過程都有缺陷.該公式的證明最早由麻省理工大學(xué)Kong教授[10]給出,其基本思路是,從Stratton-Chu公式出發(fā),利用矢量恒等式和積分公式予以推導(dǎo).與Kong思路類似的證明還有:西安電子科技大學(xué)葛德彪教授的證明[11],南京大學(xué)張善杰教授的證明[12]等.與此思路不同的證明還有:直接從無源Maxwell方程組出發(fā),運(yùn)用格林定理推導(dǎo)出標(biāo)量基爾霍夫積分公式,進(jìn)而導(dǎo)出矢量基爾霍夫積分公式[13].深入探究證明過程和積分公式的物理含義,我們發(fā)現(xiàn)這些經(jīng)典證明過程并非很嚴(yán)格,甚至存在明顯的漏洞.

本文以下分為三個部分:第2部分逐個指出這些經(jīng)典證明的漏洞;第3部分給出一個新的嚴(yán)格證明;第4部分將通過一個數(shù)值算例驗證我們的結(jié)論.

2 矢量基爾霍夫積分公式經(jīng)典證明及漏洞

本節(jié)將給出國內(nèi)外經(jīng)典著作中關(guān)于矢量基爾霍夫公式的證明,并逐一指明其漏洞.

2.1 K ong著作中的證明及漏洞

Kong[10]著作中的證明是從Stratton-Chu公式出發(fā)的.我們知道,Stratton-Chu公式可以表述為

其中,E(r)是源J,M在自由空間產(chǎn)生的電場;G(r,r′)=,R=|r?r′|;S為如圖1所示的包圍所有輻射源的一個封閉曲面;r′為曲面S上任意一點,r位于曲面外部無源空間中,為曲面S外法矢.公式表明,如果把包含輻射源的區(qū)域用一個封閉曲面S包圍,那么只要知道曲面上的場量,結(jié)合格林函數(shù),可以求得輻射源外無界均勻空間任意一點的輻射場.

圖1 Stratton-Chu公式模型Fig.1.Model for Stratton-Chu forMu la.

將法拉第定律代入(1)式的Stratton-Chu公式,利用矢量恒等式(×E)×?′G=E(.?′G)?(E.?′G)可得

而文獻(xiàn)[10]認(rèn)為?′算子僅作用于r′上,與法向量無關(guān),故上式可寫為

由于S面上沒有自由電荷,即?′.E(r′)=0,從而

將(4)和(5)式代入(2)式,可得

利用算子恒等式?(fg)=g?f+f?g,有

將(7)式代入(6)式可得

從(8)式出發(fā),文獻(xiàn)[10]采用張量演算中的高斯定理,證明上式第二項面積分為0.這項面積分兩部分的第i分量可分別寫為

將(9)式,(10)式代入(8)式,即可得到

分析上述過程,可以發(fā)現(xiàn)證明存在漏洞.我們知道,Stratton-Chu公式被積函數(shù)中的電場和磁場被視為源,它們都是r′的函數(shù).表述它們切向和法向的單位矢量自然也是r′的函數(shù).因此,?′算子作用在不為零,即對于?′不能再作常矢(后面數(shù)值算例會進(jìn)一步清晰展示這一點).這樣,(4)式就不能成立,由此為基礎(chǔ)的(8)式的第二個等號自然是錯誤的.另外,由于為r′的函數(shù),不是常矢量,(9)式的第二個等號也不能成立,這是由于其nj不能提出來放入d S′,導(dǎo)致不滿足高斯定理使用條件.從而上述導(dǎo)出矢量基爾霍夫積分公式的過程是存在漏洞的.

2.2 葛德彪著作中的證明及漏洞

葛德彪著作中的證明也是基于Stratton-Chu公式[11].與2.1節(jié)思路類似,(8)式以前的推導(dǎo)過程一致.注意到,葛德彪[11]也認(rèn)為,?′與法向量無關(guān),此時有下式成立:

將(12)式代入(8)式可得

將封閉曲面S劃分為如圖2所示兩個部分.

圖2 Stokes定理應(yīng)用示意圖Fig.2.DiagraMfor the app lication of Stokes theorem.

上式最后一個等號成立,是因為回路L1,L2分別為曲面S1,S2的邊線,兩項積分彼此相消.將(14)式代入(13)式,從而也可得到

圖3 光學(xué)中平面屏幕衍射的基爾霍夫近似公式Fig.3.K irchhoff app roxiMation forMu lation of d iff raction by a p lane screen for op tics.

2.3 張善杰著作中的證明及漏洞

張善杰[12]著作給出的證明過程如下:

從(2)式出發(fā),因?jωμH= ?′×E+Jm,(2)式被積函數(shù)第一項可以寫為

運(yùn)用矢量恒等式:?′×(u A)=u?′×A?A×?′u和a×b×c=(a.c)b?(a.b)c,被積函數(shù)第一項可寫為

再次運(yùn)用三矢量的叉積恒等式,(2)式積分內(nèi)被積函數(shù)的第二、三項之和可以表示為

由于在曲面S上無源,ρ=0,Jm=0,于是(24)式可以簡化為

上述證明與葛德彪和孔金甌的證明都不同,沒有用到環(huán)路積分定理和高斯積分定理,而是將場量分解為三個直角坐標(biāo)分量,再重新組合.證明中的漏洞主要在以下兩個問題.

第一個問題:(19)式的第一個等號是否成立？

以其中一項(en.ex)?′Ex為例,根據(jù)梯度定義(,方向指向)Ex增長最快,然而經(jīng)過第一個等號,(en.ex)en方向?qū)⒅赶蚍e分表面的外法向量,這兩者方向顯然不是在曲面任何一點都成立的.這也直接導(dǎo)致(21)式不成立.

第二個問題:(23)式的第二個等號,也取其中一項分析,(en.E)?′G明顯不會等于(en.E)en.因為,如圖1所示,?′G的方向為,則是積分曲面的外法向量,兩者明顯不共線.

這兩個問題可以綜合為以下描述:設(shè)ψ為一個標(biāo)量函數(shù),那么有但是,?ψ=卻是有條件的,除非ψ增長最快的方向與共線.

2.4 楊儒貴著作中的證明及缺失

楊儒貴[13]著作中證明直接從Maxwell方程入手,在無源區(qū)域求解齊次矢量亥姆霍茲方程,這也是其他國外教材的典型證明.以下為文獻(xiàn)給出的過程.

如圖4所示,設(shè)全部輻射源被閉合曲面S0包圍,在S0外再做一個曲面S1,在S0和S1之間為無源區(qū).

由電流和磁流共同產(chǎn)生的電磁場滿足以下Maxwell方程:

在無源區(qū),上式可以化為下列齊次矢量亥姆霍茲方程:

圖4 Maxwell場方程的積分Fig.4.The integral of electric field in Maxwell’s equations.

在直角坐標(biāo)系,電場強(qiáng)度的每一個分量U(r)均滿足以下標(biāo)量齊次亥姆霍茲方程:

其中,U(r)代表電場強(qiáng)度任意一個直角坐標(biāo)分量.要求解微分方程(27),還需要知道邊界條件.現(xiàn)假設(shè)已知S0和S1上的場量作為邊界條件.那么對于S0和S1兩個閉合面包圍的無源區(qū),齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程可由標(biāo)量格林定理解出:

由于惟一性要求,需要討論無窮遠(yuǎn)處的標(biāo)量場性質(zhì),這需要在無窮遠(yuǎn)處對輻射場做一些額外的假設(shè),這就是

將S1推向無窮遠(yuǎn)處,即S1→∞,此時求解空間為無源無窮空間.文獻(xiàn)[13]認(rèn)為,由輻射條件(29),可知

這就是標(biāo)量基爾霍夫積分公式.

既然每一個直角坐標(biāo)分量都滿足上式,那么三個直角坐標(biāo)分量相加以后,可得到與(11)式完全一樣的矢量基爾霍夫積分公式:

分析上述過程,可以發(fā)現(xiàn),(29)式是直接利用的,并未證明.實際上,經(jīng)過嚴(yán)格證明的電磁場能夠滿足的輻射條件為以下形式[15]:

那么,能否從(31)式導(dǎo)出(29)式所示的輻射條件呢?答案是否定的.從(31)式可以看出旋度和叉積操作已經(jīng)把三個直角坐標(biāo)分量U(r)耦合在一塊,無法直接分離為(29)式所示的三個直角坐標(biāo)分量.所以從(31)式,無法導(dǎo)出(29)式.從而也推導(dǎo)不出(30)式和(11)式,這正是文獻(xiàn)[13]證明的缺失.

那么(29)式是否成立呢？實際上,Sommerfeld[16]將(29)式僅作為一個條件提出,實際中電磁場是否滿足此式一直沒有很嚴(yán)格的推導(dǎo).文獻(xiàn)[17,18]給出了(29)式成立的一些前提,但都沒有給出滿足這些前提的證明.附錄A將從電場遠(yuǎn)場近似出發(fā)試圖給出(29)式一個嚴(yán)格證明作為楊儒貴[13]證明的補(bǔ)充.

3 嚴(yán)格證明

由第2部分可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)典著作中證明矢量基爾霍夫積分公式的過程都有漏洞或者缺失.基于對上述證明過程的分析,本部分我們將給出一種矢量基爾霍夫積分公式的嚴(yán)格證明.

證明之前,先給出兩個引理.由于以下要用到張量,我們先給HaMilton算子做一個普適的符號說明[19]:

(32)式中,采用愛因斯坦求和約定,其中,gi為逆變基矢量,?表示點積、叉積或并積,φ可以代表標(biāo)量,也可以表示矢量或者張量.

引理1 采用上述的符號說明,以矢量場的高斯公式為基礎(chǔ),可以有以下高斯定理的推廣形式:

引理2 對于矢量的拉普拉斯算子,存在以下等式:

兩個引理的證明可以參見附錄B.

下面證明矢量基爾霍夫(11)式.將(3)式代入(2)式,并且注意到?′.E(r′)=0,可以得到

要證矢量基爾霍夫積分,也即證(35)式后面兩項面積分為0.由矢量恒等式有:

運(yùn)用引理1,上式的第二個面積分三項可以化為體積分:

將(38)式代入(37)式,再注意到引理2的矢量恒等式,可知

從而矢量I基 (爾霍夫積分公式得證.

若要得到標(biāo)量形式的基爾霍夫積分,直接將矢量式分解為三個直角坐標(biāo)分量即可.

4 數(shù)值實驗

第2部分所述幾種證明漏洞都是在于證明(35)式面積分第二、三項為分別0:

然而第3部分我們的證明指出,事實上(35)式的第二、第三項面積分之和為0,而它們各自卻不一定為0.我們將設(shè)計一個數(shù)值實驗證明我們的論證.

作為最簡單的源,我們以赫茲偶極子輻射場為例.位于原點的赫茲偶極子J=ez產(chǎn)生的輻射場為

將(40)式代入(39)式,為了便于分析,我們設(shè)積分曲面為一個包圍偶極子的球面,其方程為

其中,r′作為球面的半徑用作仿真輸入?yún)?shù).將矢量積分分解為三個直角坐標(biāo)標(biāo)量積分,即

其中,|J|為坐標(biāo)變換的Jacobi行列式,對于球面而言

為提高運(yùn)行速度,采用如圖5所示的積分方法:將大的矩形劃分為一個個小的矩形,采用中點的值代替四個角點的平均值進(jìn)行梯形法數(shù)值積分.

表1展示了在頻率為300 MHz時,(39)式兩項矢量積分在三個直角方向分量模值隨著不同分割精細(xì)度下的積分結(jié)果.結(jié)果表明,積分隨著網(wǎng)格變密是收斂的.從表1可以看出,(39)式的三個方向的積分結(jié)果并不是都為0的.其中,Int1,Int2兩者的x,y方向積分顯然不為0,這充分說明,前面所述經(jīng)典著作中的證明確實存在漏洞.

圖5 二重積分的數(shù)值積分模型Fig.5.NuMerical integralModel for doub le integral.

表1 觀測點為r=(5,5,5),球面半徑為1,不同積分精細(xì)度下電場模值的收斂情況Tab le 1.Convergence of E lectric Field Modu lus under d iff erent integral steps,When observation coordinates is r=(5,5,5)and the spherical radius is equal to 1.

更重要的一點是,從表1我們可以看出,雖然Int1,Int2兩者的積分各自不為0,但是兩者之和確實為0,隨著積分網(wǎng)格密度變大,Int1,Int2兩者之和的模值在三個方向都有收斂到0的趨勢,這也進(jìn)一步驗證了我們的證明.

5 結(jié) 論

本文詳細(xì)分析了矢量基爾霍夫公式的多個經(jīng)典證明過程,并逐一指出了證明中的漏洞.漏洞之源有二:1)Stratton-Chu公式中積分曲面的法向量被當(dāng)成常矢量;2)誤以為矢量Sommerfeld輻射條件可以在直角坐標(biāo)系下分離.本文通過引入HaMilton算子,運(yùn)用高斯定理的推廣形式及矢量拉普拉斯算子恒等式,重新給出了矢量基爾霍夫公式的一個嚴(yán)格證明,并通過數(shù)值算例驗證我們的發(fā)現(xiàn)和證明.

附錄A 證明任何輻射源滿足標(biāo)量Sommerfeld輻射條件

任何單一頻率激勵源,有以下遠(yuǎn)場近似[20]:

僅與角度θ,φ有關(guān),將(A 1)式化為直角坐標(biāo)分量,其第i個分量可以表示為

容易發(fā)現(xiàn),fi(θ,φ)事實上是Jt(r′)從空間域到角域的傅里葉變換,實際中,源總是分布在有限空間,且功率有限,其變換域在每個角度也是有限大的值,也即,|fi(θ,φ)|＜∞,?θ,φ,從而可以知道

現(xiàn)在我們將證明U(r)=Ei(r)滿足

其中,值得注意的是法向量的方向是容易理解錯的.這里由于研究場點,從而法矢沿曲面向外.

當(dāng)r→ ∞可知r→ R=|r?r′|,從而由(A 2)和(A 4)式可得

從而正文中(29)式標(biāo)量輻射條件對任意直角坐標(biāo)分量成立.將(29)式的 r換為r′,即可推出(30)式.以上是對楊儒貴著作證明的一個補(bǔ)充.

附錄B 兩個引理的證明

引理1的證明中,我們選取φ為標(biāo)量以及張量予以證明,其他情況可以類推.

[1]Jackson J D 1998 C lassical E lectrodynaMics(3rd Ed.)(NeWYork:Wiley-Interscience)pp479–482

[2]Born M,Wolf E 1986 Principles of Optics(6th Ed.)(NeWYork:PergaMon Press Ltd)pp375–378

[3]Buchwald J Z,Yeang C P 2016 Arch.Hist.Exact Sci.70 463

[4]Wang X F,Wang J Y 2011 Acta Phys.Sin.60 025212(in Chinese)[王曉方,王晶宇 2011物理學(xué)報 60 025212]

[5]Gordon WB 1975 IEEE Trans.An tennas Propagat.23 590

[6]UMu l Y Z 2013 Opt.ComMun.291 48

[7]Wang A,Prata A 1995 Opt.Soc.Am.A 12 1161

[8]Liu C X,Cheng C F,Ren X R,Liu M,Teng S Y,Xu Z Z 2004 Acta Phys.Sin.53 427(in Chinese)[劉春香,程傳福,任曉榮,劉曼,滕樹云,徐至展 2004物理學(xué)報 53 427]

[9]Sheng X Q 2016 E lectroMagnetic Theory,CoMputation,Application(Beijing:H igher Education Press)pp169–171(in Chinese)[盛新慶 2016電磁理論、計算、應(yīng)用(北京:高等教育出版社)第169—171頁]

[10]Kong J A 1986 E lectroMagnetic Wave Theory(NeWYork:Wiley-Interscience)pp381–383

[11]Ge D B 2009 E lectroMagnetic Wave Theory(Beijing:Science Press)pp334–337(in Chinese)[葛德彪 2009 電磁波理論 (北京:科學(xué)出版社)第334—337頁]

[12]Zhang S J 2009 Engineering E lectroMagnetics(Beijing:Science Press)pp638–640(in Chinese)[張善杰 2009 工程電磁場 (北京:科學(xué)出版社)第638—640頁]

[13]Yang R G 2008 Advanced E lectroMagnetic Theory(Beijing:Higher Education Press)pp175–177(in Chinese)[楊儒貴 2008高等電磁理論 (北京:高等教育出版社)第175—177頁]

[14]Gong Z L 2010 Modern E lectroMagnetic Theory(2nd Ed.)(Beijing:Peking University P ress)pp288–291(in Chinese)[龔中麟2010近代電磁理論第2版(北京:北京大學(xué)出版社)第288—291頁]

[15]Schot S H 1992 Hist.Math.19 385

[16]SomMerfeld A 1949 Partial D ifferen tia l Equations in Physics(NeWYork:AcadeMic Press)pp188–193

[17]Ji J R 2007 Advanced Optical Tutorial(Beijing:Science Press)pp166–168(in Chinese)[季家镕 2007高等光學(xué)教程 (北京:科學(xué)出版社)第166—168頁]

[18]GoodMan JW1996 In troduction to Fourier Optics(2nd Ed.)(NeWYork:McG raw-Hill)pp42–44

[19]Huang K Z 2009 Tensor Analysis(2nd Ed.)(Beijing:Tsinghua University Press)pp139–149(in Chinese)[黃克智2009張量分析第2版 (北京:清華大學(xué)出版)第139—149頁]

[20]Sheng X Q 2008 A Brief Treatise on CoMputational E lectroMagnetics(2nd Ed.)(Hefei:Press of University of Science and Technology of China)pp42–43(in Chinese)[盛新慶 2008計算電磁學(xué)要論第2版 (合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社)第42—43頁]

[21]Tai C T 1997 Generalized Vector and Dyadic Analysis(2nd Ed.)(NeWYork:Wiley-Interscience)pp124–127

(Center for ElectroMagnetic Simu lation,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)(Received 23 February 2017;revised Manuscrip t received 3 June 2017)

PACS:42.25.Fx,24.10.Ht,92.60.TaDOI:10.7498/aps.66.164201

*Pro ject supported by the National K ey R&D PrograMof China(G rant No.2017YFB 0202500).

?Corresponding author.E-Mail:xsheng@bit.edu.cn

F laWs in classical p roo fs of vector K irchhoff integral theoreMand its neWstrict p roof?

Huang Xiao-Wei Sheng Xin-Qing?

The vector K irchhoff integral theorem(VK I)is an iMportant formu la in electroMagnetic(EM)theory,especially it is a basis of the op tical diff raction theory.Recently,it has been found that there exist soMe flaws in the proofs presented in the literature.

There aremainly two types ofmethods to p rove the VK I.The fi rst type ofmethod is to emp loy the vector analysis to prove the VK I directly.Some flaws of this type of proof p resented in the literature have been found and pointed out in this paper.The second type ofmethod is to eMp loy the scalar K irchhoff Integral(SK I)to directly obtain the VK I.The SK Iwas fi rst derived by K irchhoff(1882).In spite of itsmathematical inconsistency and its physical deficiencies,the SK Iworks reMarkably well in the optical doMain and has been the basis ofMost of thework on diff raction.However,the proofs for SK I usually need the scalar radiation conditions.The scalar radiation condition was fi rst proposed by Sommerfeld to ensure the uniqueness of the solution of certain exterior boundary value p robleMs inMatheMaticalphysics.But whether the scalar radiation conditionswere suitab le for the EMwas not sure.In fact,for electroMagnetic field,we have another vector radiation conditions which have been verified to be adaptab le for all the radiation and scattering fields.It is diffi cult to obtain the scalar radiation conditions directly by just separating three Cartesian directions froMthe vector one,because the diff erent scalar coMponents are coup led together after the rotation and cross p roduct operation.Actually,feWstrict p roofs could be found to support the fact that EMsatisfies the scalar radiation condition.So as the supp lementary,the scalar radiation conditionsWill be derived in detailWith far-field app roximation method in this paper.

To avoid using the scalar radiation condition whichmay bring some non-rigorousness,we perforMa neWstrict p roof for the VK Iby using the vector analysis identities.

The rest of this paper is organized as folloWs.In Section 2,the diff erent proofs presented in the classical books Will be analyzed in detail.The flaws existing in these p roofs Will be pointed out.A fter that,in Section 3,based on the Stratton-Chu formula,a neWstrict proofWillbe given With using the vector identities.In Section 4,a sensitivity analysis is nuMerically perforMed to confi rMour deMonstration.Finally,the conclusions are drawn froMthe present study in Section 5.The scalar radiation conditions Will be discussed in the appendix.

vector K irchhoff integral theorem,Stratton-Chu formula,Sommerfeld radiation condition

10.7498/aps.66.164201

?國家重點研發(fā)計劃項目(批準(zhǔn)號:2017YFB 0202500)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:xsheng@bit.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn