王心華，江浩雨，馮娟娟，盛英卓

(蘭州大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

一類jerk混沌電路的仿真與設(shè)計(jì)

王心華a，江浩雨b，馮娟娟a，盛英卓a

(蘭州大學(xué) a.物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

基于jerk系統(tǒng)的基本形式，給出了一類由未確定參量構(gòu)成的非線性方程，構(gòu)建了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值模擬，分析了該系統(tǒng)相圖、分岔圖及平衡點(diǎn)的性質(zhì). 對此系統(tǒng)進(jìn)行硬件電路實(shí)現(xiàn)，得到了與理論計(jì)算相符合的混沌吸引子. 研究了電路中電阻變化與系統(tǒng)混沌狀態(tài)的關(guān)系，與分岔圖的計(jì)算結(jié)果基本一致.

混沌；jerk系統(tǒng)；非線性方程；數(shù)值模擬

混沌是現(xiàn)代非線性科學(xué)的重要分支，其涉及面廣，應(yīng)用前景廣闊. 如何利用混沌為人類服務(wù)，如何在混沌系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)行為中尋找有序與確定的特性，是當(dāng)下人們研究的重點(diǎn)[1-2]. 混沌電路是指一類能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的非線性電路，從混沌的理論分析到實(shí)際應(yīng)用，該類電路起到了至關(guān)重要的作用[3-5]. 經(jīng)過幾十年的迅猛發(fā)展，混沌電路的研究已獲得突破性進(jìn)展. 因?yàn)榛煦缧盘柨梢宰鳛楸Ｃ芡ㄓ嵵械募用苄盘柺褂?，混沌電路已?jīng)在保密通信、圖像加密等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6-9].

通過選取合適的電路元件，構(gòu)造相應(yīng)的傳遞函數(shù)，可以有效地產(chǎn)生混沌信號與混沌吸引子[10]. 但是電路的系統(tǒng)方程如何構(gòu)造，元件如何選取，其與混沌信號的關(guān)系如何，則需要進(jìn)一步探究. 本文基于jerk系統(tǒng)的方程形式，給出了一類由未確定參量構(gòu)成的非線性方程組，分析了該系統(tǒng)的基本動力學(xué)行為，并設(shè)計(jì)了能夠滿足該狀態(tài)方程的模擬電路，進(jìn)行了硬件實(shí)驗(yàn)探究.

1 理論模型

jerk系統(tǒng)是Sprott基于計(jì)算機(jī)窮舉法所提出的三階自治系統(tǒng)[11-12]，基本形式為

x?+Ax″+x′=G(x),

(1)

其中G(x)為非線性項(xiàng)，A為常數(shù)系數(shù)，混沌信號的產(chǎn)生與兩者直接相關(guān).

文獻(xiàn)[11]中給出了非線性項(xiàng)的幾種不同的形式，如絕對值函數(shù)、三角函數(shù)、階躍函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等，其中多項(xiàng)式函數(shù)在電路中最易實(shí)現(xiàn)，所以本文以此為研究對象. 以不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)為非線性項(xiàng)，故系統(tǒng)方程可改寫為

x?=-a1x″-x′-a2x2-a3x.

(2)

方程(2)中含有3個未定常數(shù)系數(shù)，如何選取合適的值使之產(chǎn)生混沌狀態(tài)是需要研究的內(nèi)容. 對此，以分岔圖來研究不同參量所對應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài). 分岔是指非線性微分方程某一參量發(fā)生變化時，其解發(fā)生突變的臨界點(diǎn)行為，通過分析分岔圖可以很好地得到系統(tǒng)如何進(jìn)入混沌[13]. 采用Matlab制作分岔圖，具體的算法是首先給定某個參量的取值范圍和步長，然后對每次取值時的系統(tǒng)方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到相應(yīng)軌跡，再作一平面x=y截?cái)嘬壘€，平面上點(diǎn)的分布即構(gòu)成Poincare截面，通過分析截面上散點(diǎn)的分布規(guī)律，即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài).

首先，令a2=1，a3=1，探究a1對混沌狀態(tài)的影響，可得分岔圖如圖1所示. 可見，隨著a1從1.0到0.5的改變，系統(tǒng)首先做不動點(diǎn)運(yùn)動，然后演化為單周期、二周期，最后逐漸由倍周期分岔走向混沌.

同理，a1=0.5，a3=1，以a2為未定參量，可得分岔圖如圖2所示.

最后，令a1=0.5，a2=1，以a3為未定參量，可得分岔圖如圖3所示. 從圖3中可以看出系統(tǒng)并未出現(xiàn)分岔行為，因此圖3已經(jīng)不能稱為嚴(yán)格意義上的分岔圖了. 在所選取的a3的取值范圍中(a3=0除外)，體系的相空間軌跡與Poincare截面一直都有多個交點(diǎn)，因此系統(tǒng)極有可能處于混沌狀態(tài)下，其是否處于混沌有待下文的Lyapunov指數(shù)求解.

圖1 a1為未定參量的分岔圖

圖2 a2為未定參量的分岔圖

圖3 a3為未定參量的分岔圖

通過分岔圖可以看出，當(dāng)a1=0.5，a2=1，a3=1時，系統(tǒng)的相空間軌跡與Poincare截面有多個交點(diǎn)，很可能產(chǎn)生混沌. 求解此時系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)，得到其值分別為：λ1=0.094，λ2=0，λ3=-0.595，滿足產(chǎn)生混沌的條件[10]. 并且，在這些參量取值的附近，該方程都處于混沌狀態(tài)之中. 在實(shí)際的硬件操作中，由于電子元件精度等誤差的影響，造成實(shí)驗(yàn)中模擬的參量不可能與理論值完全一致，如果將未定參量選取為以上的值時，電路系統(tǒng)即使有一定的偏差，只要偏差不是太大，依舊能夠產(chǎn)生混沌信號.

對系統(tǒng)的鞍焦平衡點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行分析. 通過變量代換，令：

x=x1,x2=x1′,x3=x2′,

(3)

可得系統(tǒng)的方程

(4)

系統(tǒng)的Jacobin行列式即為

(5)

平衡點(diǎn)P1(0,0,0)對應(yīng)的特征值為

λ11=r11=-0.803 8，

λ12,13=σ11+iω11=0.151 9±1.105 0i,

指標(biāo)為2.

平衡點(diǎn)P2(-0.5,0,0)對應(yīng)的特征值為

λ21=r21=-0.601 5，

λ22,23=σ21+iω21=-0.550 7±1.165 9i,

指標(biāo)為1.

對于大多數(shù)混沌系統(tǒng)來說，指標(biāo)為1的鞍焦平衡點(diǎn)是連接渦旋之間鍵帶形成的基礎(chǔ)，指標(biāo)為2的鞍點(diǎn)是渦旋運(yùn)動產(chǎn)生的基礎(chǔ)[10,14]. 因此，該系統(tǒng)的相軌跡在平衡點(diǎn)P1(0,0,0)處會形成向外擴(kuò)展的螺旋狀結(jié)構(gòu).

現(xiàn)在，通過實(shí)際的計(jì)算來求解方程組. 由于該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，所以很難求得該方程的解析解，故通過Matlab自帶的基于四階-五階Runge-Kutta算法的ODE45算法對該方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到相應(yīng)的圖像如圖4所示. 從相圖可以看出，該系統(tǒng)具有1個混沌吸引子，呈單渦旋狀結(jié)構(gòu)，與理論分析相符.

(a)x1-t波形圖 (b)x2-t波形圖 (c)x3-t波形圖

(d)x1-x2相圖 (e)x1-x3相圖 (f)x2-x3相圖圖4 各參量波形圖和相圖

2 實(shí) 驗(yàn)

為了實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)方程的模擬，構(gòu)造了如圖5所示的電路. 電路由3個反向積分器、1個乘法器、3個反向加法器構(gòu)成，通過回路中電壓的變化可實(shí)現(xiàn)對方程中參量的模擬，電路中不同部分所對應(yīng)的參量已在圖中標(biāo)出. 考慮到電路實(shí)現(xiàn)的難易程度和成本，積分器、加法器和反相器都采用由集成運(yùn)算放大器構(gòu)成的單元電路來實(shí)現(xiàn). 其中，集成運(yùn)算放大器選用TL084CN，而乘法器可以選擇集成乘法器AD633JN四象限集成模擬乘法器，電阻的精度皆為0.1%. 對于積分器來說，其時間常量可以通過控制電阻和電容的大小來改變，而且時間常量僅僅只改變電路中電壓變化的整體速率，對于最終所需要得到的相圖整體特性并無影響.

圖5 電路圖

該電路結(jié)構(gòu)簡單，非線性器件較少，且沒有電感等器件所引入的誤差. 通過對x1-(-x2)，x1-x3，(-x2)-x3節(jié)點(diǎn)相空間軌跡的測量，可以得到如圖6所示的圖案. 可見，系統(tǒng)產(chǎn)生奇異吸引子，圖像與理論預(yù)測相符，即出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.

將R6更換成50 kΩ的電位器，探究電路阻值的改變對混沌狀態(tài)所造成的影響.R6阻值的改變對應(yīng)方程(2)中a1參量的改變. 通過實(shí)驗(yàn)，得到了如圖7所示的圖像. 當(dāng)該R6=10.34 kΩ時，系統(tǒng)由不動點(diǎn)運(yùn)動進(jìn)入單周期運(yùn)動，而由分岔圖得到的理論值為10.26 kΩ；當(dāng)R6=15.43 kΩ時，系統(tǒng)進(jìn)入二周期運(yùn)動，理論值為15.79 kΩ；當(dāng)R6=17.34 kΩ時，系統(tǒng)進(jìn)入四周期運(yùn)動，理論值為17.27 kΩ；此后隨R6阻值的增大，系統(tǒng)逐漸由多周期運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動；當(dāng)R6=25.54 kΩ時，系統(tǒng)進(jìn)入失真狀態(tài)，理論值為25.45 kΩ.R6的理論值與實(shí)際值之間的微小偏差主要是由于電阻本身0.1%的精度誤差造成的.

(a)x1-(-x2) (b)x1-x3 (c)(-x2)-x3

(a)單周期 (b)二周期 (c)四周期

(d)八周期 (e)多周期 (f)混沌

此外，若要觀察改變方程(2)中其他參量對整體電路行為造成的影響，可通過改變電路中相應(yīng)電阻的阻值來實(shí)現(xiàn). 因?yàn)閷τ谀硞€反向加法電路而言，通過調(diào)節(jié)其電路中電阻的阻值，可以改變輸入電壓和輸出電壓的比例. 例如，通過改變R12的阻值，能夠調(diào)節(jié)a3的值；通過改變R9的阻值，能夠改變a2的值；等等.

在本文的工作中，只觀察到了單渦旋狀的混沌吸引子,其是否能夠通過調(diào)節(jié)參量從而得到多渦旋狀的復(fù)雜行為有待以后驗(yàn)證. 但是需要注意的是，本文中所采用的非線性項(xiàng)為二次函數(shù)的jerk方程只是眾多jerk方程的一種， jerk方程的非線性部分可以采用多種形式，如絕對值函數(shù)、三角函數(shù)、階躍函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等，通過采用不同的函數(shù)，能夠得到更加復(fù)雜的吸引子結(jié)構(gòu)，如雙渦漩吸引子[12]，這也是以后有待探究的內(nèi)容.

3 結(jié)束語

設(shè)計(jì)了基于jerk系統(tǒng)的三階常系數(shù)非線性微分方程的混沌電路，分析了系統(tǒng)的狀態(tài)與系數(shù)取值之間的關(guān)系，繪制出了系統(tǒng)的分岔圖，清晰直觀地體現(xiàn)出系統(tǒng)是如何進(jìn)入混沌狀態(tài)的. 分析了系統(tǒng)的鞍點(diǎn)，得出了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近軌線的變化規(guī)律. 構(gòu)建了對應(yīng)的硬件實(shí)驗(yàn)平臺，得到了理論預(yù)測的圖像，且分析了電阻阻值變化對混沌狀態(tài)的影響，驗(yàn)證了理論分析的正確性. 本文分析了一類由非確定參量構(gòu)成的非線性方程系統(tǒng)，該系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單，電路實(shí)現(xiàn)簡便，卻具有復(fù)雜的動力學(xué)行為，在保密通信、電子測量等方面具有潛在的應(yīng)用價值.

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[責(zé)任編輯：任德香]

Simulation and design of a chaotic jerk circuit

WANG Xin-huaa, JIANG Hao-yub, FENG Juan-juana, SHENG Ying-zhuoa

(a. School of Physical Science and Technology; b. School of Nuclear Science and Technology,Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

A family of nonlinear equations based on the jerk circuit was selected and numerically simulated. The phase and bifurcation diagrams of chosen parameters were analyzed, and the properties of the even point were also discussed. An electrical circuit was built to estimate the attractor, and the obtained value agreed remarkably with that of the simulation. Finally, the effect of the resistance of the circuit on the chaotic state was investigated, and the calculation of the bifurcation graph was basically the same.

chaotic state; jerk circuit; nonlinear equation; numerical simulation

2016-08-22；修改日期：2016-12-12

蘭州大學(xué)“中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金”資助(No.lzujbky-2016-117)

王心華(1979-),男，青海海東人，蘭州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院實(shí)驗(yàn)師，博士，從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)及磁性納米材料研究.

O415.5

A

1005-4642(2017)06-0001-05