閆寶羅，張 穎，魏 云，樊代和，賈欣燕

(西南交通大學 a.物理科學與技術學院；b.物理實驗中心；c.物理國家級實驗教學示范中心,四川 成都 611756)

快鏈條現(xiàn)象的研究

閆寶羅a，張 穎a，魏 云b,c，樊代和b,c，賈欣燕b,c

(西南交通大學 a.物理科學與技術學院；b.物理實驗中心；c.物理國家級實驗教學示范中心,四川 成都 611756)

研究了2017年IYPT和CUPT賽題中快鏈條問題. 通過建立簡化的物理模型，結合動力學過程從理論上解釋了快鏈條現(xiàn)象出現(xiàn)的原因及相關影響參量對下落速度的影響. 仿真計算結果表明：快鏈條中每根桿和水平方向的夾角越大，下落的時間越短；初始釋放高度越高，張力做功導致的速度增量越大，快鏈條較自由落體下落更快；鏈長越長，下落速度較自由落體越大. 制作了具有不同鏈長、不同夾角的快鏈條，實驗分別研究了水平方向的夾角、初始釋放高度和鏈長對快鏈條下落速度的影響，實驗結果和理論分析基本一致.

快鏈條現(xiàn)象；速度；Tracker分析；IYPT；CUPT

2017年國際青年物理學家錦標賽(IYPT)和2017年中國大學生學術物理競賽(CUPT)題目中其中一題是“Fast chain”,其內容為：1根鏈條由若干相比于水平有一定角度的木棍組成，且由2根線連接，垂直懸掛然后釋放. 相比于自由落體，當?shù)糁了降孛鏁r，鏈條掉落更快(即快鏈條現(xiàn)象). 解釋此現(xiàn)象并研究相關參量如何影響鏈條的運動. 此題要求分析快鏈條現(xiàn)象形成的原因及相關物理參量對此現(xiàn)象的影響.

目前，已有報道對相關或類似的問題進行了研究，如Eugenio Hamm等人提出了有限曲率彎折模型，從鋼球實驗上解釋了快鏈條下落比鋼球鏈下落更快的現(xiàn)象[1]；Anoop Grewal等人研究了U形鏈條速度加快的現(xiàn)象，得出U形鏈條下落快于自由落體是由于連接空中下落鏈條部分和地面鏈條部分的繩上存在張力導致[2]；Rod Cross等人提出物體碰撞時，幾何形狀對能量耗散的影響，得出不同長度的剛性桿碰撞時能量不守恒的結論[3]. 本文分析了快鏈條下落的動力學過程，建立了物理模型，理論分析得出快鏈條下落較自由落體快的原因. 實際制作了快鏈條，結合Tracker軟件對快鏈條現(xiàn)象進行實驗研究，實驗與理論分析基本一致.

1 現(xiàn)象定性解釋

快鏈條從釋放到完全落地實際上可細分為2個運動過程：

1)從釋放到快鏈條的第1根桿接觸地面. 在這個過程中整個快鏈條均在重力的作用下做自由落體運動，因此運動速度和自由落體沒有差異，進而不會出現(xiàn)快鏈條現(xiàn)象.

2)快鏈條從第1根桿接觸地面到整個鏈條全部落地. 從圖1中可以看出，當快鏈條第1根桿的位置①接觸地面時，會受到來自地面作用力N1的沖量J1，使另一端②以①端為支點發(fā)生順時針轉動，而鏈條②端與③端通過細繩相鏈接，因此該轉動會通過細繩張力作用對③端產(chǎn)生向下的拉力N2，此時第1根鏈條有順時針轉動趨勢，進而使④端上端所連接的繩松弛，不存在張力. 此時，鏈條的未接觸地面部分在重力和拉力N2的共同作用下，其下落的加速度將較自由落體大，進而導致鏈條中未接觸地面部分在單位時間內的速度增量比自由落體大. 當③端接觸地面時，和①端落地的動力學過程類似，又會使第2根桿有逆時針轉動的趨勢，導致④端對上部鏈條有向下的力作用，空中剩余鏈條下落加速度也將比自由落體大. 同理，在此后的鏈條與地面發(fā)生碰撞時，重復著與第1、第2根鏈條同樣的運動過程，最終的結果就是快鏈條中的桿全部落地所用的時間將比自由落體短，此即題目提到的快鏈條現(xiàn)象的定性解釋.

圖1 快鏈條受力分析

從以上定性分析可以得知，導致快鏈條現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，其中重要的是上述第2個運動過程中細繩對桿存在N2的力作用導致的. 本文的后續(xù)分析將建立基于實際運動快鏈條的模型展開研究.

2 理論分析

依據(jù)賽題，假設快鏈條由如圖1所示的結構組成. 快鏈條中每根桿的長度為l，每根桿與水平方向的夾角都為θ，相鄰2個桿之間由細繩連接. 整個鏈條豎直方向的長度為L. 基于鏈條下落很快且相鄰落地間隔很小的特點，做如下近似：認為碰撞一直持續(xù)，即從鏈條下落接觸地面開始到整個鏈條系統(tǒng)下落完成，鏈條始終與地面發(fā)生碰撞(N1和N2一直存在)，鏈條每根桿與地面的接觸時間非常短，即接觸地面后速度很快降為0；連接桿的細繩質量不計，且不可拉伸. 在這種情況下，上述提到的快鏈條落地的動力學過程可簡化為如圖2所示的模型.

圖2 簡化模型

假設在t時刻，豎直方向長度為x的鏈條已經(jīng)落地. 在隨后的很短的時間dt內，有質量為Δm的鏈條正在接觸地面，其運動位移為dx. 此時尚有豎直長度為L-x的鏈條正在空中下落. 以此Δm質量的桿作為研究對象，建立運動方程. 規(guī)定向下為正方向，由動量定理可知：

(Δmg-N1-N2)dt=ΔmΔv,

(1)

其中N1為地面在接觸處①端對鏈條產(chǎn)生向上的支持力，N2為輕繩對鏈條②端產(chǎn)生向上的拉力，Δv為速度變化量，g為重力加速度. 根據(jù)前述假設，由于快鏈條的每根桿在接觸地面后在合外力的作用下速度很快減為0，因此速度變化量可寫為Δv=0-dx/dt. 如圖2所示的簡化模型，假設鏈條在豎直方向的線密度為ρ，則有Δm=ρdx，因此(1)式可寫為

(2)

(3)

對此時未接觸地面的快鏈條部分受力分析，由牛頓第二定律可知：

(4)

結合(3)和(4)式，即可得到整個快鏈條系統(tǒng)下落的動力學方程為

(5)

圖3中，紅色實線表示了γ=0的情況(即自由落體)，其為一直線. 當γ≠0時(對應快鏈條情況)，可以看出隨著下落時間的增加，快鏈條的速度明顯大于自由落體的情況，而且γ越大(即θ越大[2])，快鏈條下落的速度較自由體越大，最終導致快鏈條完全下落所用的時間越短. 這一結果解釋了題目中所述的“相比于自由落體，當?shù)糁了降孛鏁r，鏈條掉落更快”現(xiàn)象.

圖4 不同初始高度H下，鏈條運動仿真v-t圖像

從圖4中可以看出，隨著初始下落高度H的增大，鏈條末端速度和起始端速度之差(每條圖線的末端和起始端的縱軸值之差)也將增大. 這說明在鏈條長度L一定時，鏈條由于細繩張力作用獲得的速度增量將增加；同時，從圖4中也可以看出，隨著H的增大，快鏈條下落的時間將越短.

圖5 不同鏈長L下，鏈條運動仿真v-t圖像

3 實驗研究

圖6 不同θ下快鏈條運動的v-t圖像

當固定θ=30°，選擇鏈長為L=0.92 m的快鏈條，通過改變初始釋放高度H時，得到了如圖7所示的實驗結果，實驗結果驗證了圖4所示的理論結果.

圖7 不同初始高度H下，鏈條運動的v-t圖像

圖8 不同鏈長L下，鏈條運動的v-t圖像

從圖6～8的實驗結果可以看出，實驗結果與理論分析結果基本一致，證明了本文提出的理論正確，同時也解釋了快鏈條現(xiàn)象產(chǎn)生的原因.

4 總結和討論

本文從理論和實驗兩方面對2017年IYPT和CUPT賽題中提到快鏈條現(xiàn)象進行了研究. 首先，建立了較為簡單的物理模型，分析了鏈條與水平方向夾角θ對下落速度的影響，得出快鏈條中每根桿和水平方向的夾角越大，下落的時間越短的結論；研究了初始釋放高度對下落速度的影響，得出下落高度越高，張力做功導致的速度增量越大，快鏈條較自由落體下落更快的結論；研究了鏈條長度對快鏈條速度的影響，得出鏈長越長，下落速度較自由落體越大的結論. 最后，實驗制作了具有不同鏈長、不同夾角的快鏈條，分別研究了桿與水平方向的夾角、鏈條初始高度和鏈長對快鏈條下落速度的影響，實驗結果和理論分析基本一致. 需要說明的是：從理論模型方面而言，假設整個鏈條下落碰撞地面是持續(xù)的，但是在實際過程中，相鄰2根鏈條之間的下落是有一定時間間隔的(如圖1所示)，因而實際碰撞不是連續(xù)過程，這將使線密度ρ的提出具有不精確性. 另外，已有文獻報道[3]系數(shù)γ還與接觸面的材質耗散率有比較復雜的關系，這導致目前無法給出γ與快鏈條中桿與水平方向夾角θ的具體函數(shù)關系，只能對其做定性的分析. 同時，由于實驗中使用了若干鉛筆來制作快鏈條，每根鉛筆不能保證和水平方向的夾角嚴格為設計值，再加上實驗中通過Tracker軟件測量速度時由于標記點是人為取點，進而會導致部分實驗數(shù)據(jù)點偏離理論曲線的情況，這些都將造成實驗數(shù)據(jù)和理論分析不能嚴格吻合. 我們將在后續(xù)的研究中進一步優(yōu)化并且解決以上問題，進而對“快鏈條”問題進行系統(tǒng)化的解釋.

[1] Hamm E, Géminard J C. The weight of a falling chain, revisited [J]. Am. J. Phys., 2010,78(8):828-833.

[2] Grewal A, Johnson P, Ruina A. Erratum:supplemental simulation to “a chain that speeds up, rather than slows, due to collisions: how compression can cause tension” [J]. Am. J. Phys., 2011,79(7):723-729.

[3] Cross R. Differences between bouncing balls, springs, and rods [J]. Am. J. Phys., 2008,76(10):908-915.

[4] Ruina A. A chain that pulls itself onto the table it falls on [EB/OL]. http://ruina.tam.cornell. edu/research/topics/fallingchains/.

[5] 周衍柏. 理論力學[M]. 北京：高等教育出版，2009：102-115.

[6] 徐忠岳,余杰,曾裕. Tracker軟件在物理實驗教學中的應用[J]. 中國教育信息化,2014(12):75-78.

[責任編輯：任德香]

Related research on fast chain

YAN Bao-luoa, ZHANG Yinga, WEI Yunb,c, FAN Dai-heb,c, JIA Xin-yanb,c

(a. School of Physical Science and Technology; b. Physical Experiment Center;c. National Demonstration Center for Experimental Physics Education,Southwest Jiontong University, Chengdu 611756, China)

The system of fast chain, one of the IYTP and CUPT problems of 2017, was investigated. Firstly, the simplified physical model was established. Then arising of the fast chain phenomenon was explained dynamically, as well as the influence of the parameters on the falling velocity was analyzed. The simulating calculation showed that the bigger the angles of the lever with the horizontal direction were, the shorter the falling time would be. The higher the initial height of the system was, the velocity increment brought about by the tension’s power would be bigger. Therefore the free falling became faster. The falling velocity increased with the increasing of the length of the chain system. The chain systems were made with different chain lengths and angles. And the influences of the lengths and angles on the falling velocity were studied in the experiments. The experimental results showed the coincidence with the theoretical analysis.

fast chain; velocity; tracker analysis; IYPT; CUPT

2017-02-27；修改日期：2017-04-22

西南交通大學學生科研訓練計劃項目(No.171303)

閆寶羅(1996-)，男，陜西漢中人，西南交通大學物理科學與技術學院2014級本科生.

樊代和(1981-)，男，山西河曲人，西南交通大學物理科學與技術學院講師，博士，研究方向為光學.

O31

A

1005-4642(2017)06-0043-05