紀(jì)勤杰

【摘 要】為了開發(fā)、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教師往往會(huì)把具有探究意義的問題拋給學(xué)生，但遭遇的常常是集體性的沉默。究其原因，低效探究源于探究時(shí)思維的斷層。歸結(jié)出造成思維斷層的原因有三方面：缺乏有效的思維鏈接的方式；缺乏必要的思維基礎(chǔ)的儲(chǔ)備；缺乏后續(xù)的思維拓展的機(jī)會(huì)。針對(duì)這些成因，教師可以采用以下應(yīng)對(duì)策略：盤活經(jīng)驗(yàn)，喚醒塵封的知識(shí)儲(chǔ)備；建構(gòu)體驗(yàn)，墊高匱乏的思維起點(diǎn)；給予時(shí)空，激活高漲的探索欲望。

【關(guān)鍵詞】思維能力 思維斷層 成因 應(yīng)對(duì)策略

思維在數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻，它是數(shù)學(xué)的生命線。由此，如何開發(fā)、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力便成了我們數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題。而當(dāng)我們懷揣著讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的夢(mèng)想辛苦耕耘時(shí)，卻常常會(huì)面臨這樣的尷尬：當(dāng)我們自以為是地把一個(gè)個(gè)具有探究意義的問題拋給學(xué)生試圖去發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維能力時(shí)，遭遇的常常是一次次無言的沉默。而當(dāng)我們無奈地減低思維的層次，讓他們毫無懸念地找到問題的答案時(shí)，心中又充滿著不甘，甚至讓自己感到萬分的失敗。是僅僅發(fā)展一小部分聰明學(xué)生的思維能力來體現(xiàn)課堂的靈動(dòng)？還是降低思維的層次來實(shí)現(xiàn)教學(xué)的面向全體？這都不是我們想要的答案。讓更多的學(xué)生在面對(duì)挑戰(zhàn)性的問題時(shí)，主動(dòng)參與到問題的探究發(fā)現(xiàn)中，在此歷練的過程中去發(fā)展他們的思維能力，提高他們解決問題的水平，才是我們永恒的追求。面對(duì)集體性的沉默，思維能力如何有效培養(yǎng)？剖析課堂，聚焦問題，無效探究或低效探究源于探究時(shí)思維的斷層，問題與探究之間正是有了這個(gè)斷層的存在導(dǎo)致上下不能疏通，知識(shí)與策略發(fā)生阻隔，思維便無法通暢。因此，如何預(yù)想這些斷層，如何建立有效通道？便成了我們教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)所面臨的一個(gè)極為重要的一個(gè)問題。對(duì)此，筆者試圖通過深究一些具體的教學(xué)內(nèi)容，延伸一些類似的教學(xué)知識(shí)，概括出一些導(dǎo)致思維斷層的原因，并力求找到一些具體的對(duì)策，以使更多的學(xué)生參與到醉人的再發(fā)現(xiàn)歷程中。

一、透視小學(xué)生探究時(shí)的思維斷層

【案例一】“圓柱的體積”教學(xué)片段

我們知道了長(zhǎng)方體和正方體的體積公式，并且知道了它們的體積都可以用“底面積×高”進(jìn)行計(jì)算，那么圓柱的體積該如何計(jì)算？

圓柱的體積=底面積×高，學(xué)生會(huì)這樣回答。

圓柱的體積如何推導(dǎo)？學(xué)生選擇沉默。

我們能不能把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長(zhǎng)方體或正方體？教師引導(dǎo)。

【案例二】“雞兔同籠”教學(xué)片段

呈現(xiàn)課本例題：雞、兔共20只，共有腳56只。雞、兔各有多少只？

學(xué)生自行探究，可能個(gè)別的學(xué)生會(huì)出現(xiàn)方法的多樣性，但教師重點(diǎn)關(guān)注的肯定是假設(shè)法，后續(xù)的練習(xí)，也是用此種方法為主。

教師巡視，查找假設(shè)法解題的同學(xué)，要求板書，然后重點(diǎn)講評(píng)。

【案例三】“3的倍數(shù)的特征”教學(xué)片段

學(xué)生觀察一系列3的倍數(shù)的數(shù)，找到它們的共同特征：

一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

教師組織學(xué)生運(yùn)用結(jié)論，進(jìn)行判斷。

案例一中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)“圓柱的體積如何推導(dǎo)”這樣的問題時(shí)，一般都會(huì)一片茫然，不知所措，因?yàn)樗麄冊(cè)诙虝r(shí)間里無法找到研究的方向。學(xué)生陷入雖然掌握了一些知識(shí)卻無從施展的尷尬。面對(duì)思維的短路，于是就有了“我們能不能把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長(zhǎng)方體或正方體”的教師引導(dǎo)。而這樣粗放的引導(dǎo)方式雖然看似鏈接了學(xué)生思維的斷層，但實(shí)際剝奪了學(xué)生面對(duì)新問題時(shí)策略選擇的權(quán)利，有效的探究過程的延續(xù)固然重要，但策略的自我抉擇更是探究問題時(shí)的首要任務(wù)和核心問題，因?yàn)樗攀前l(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵所在。況且，憑你一句簡(jiǎn)單的導(dǎo)語，真能如愿地建立起新舊知識(shí)的鏈接嗎？

思維斷層成因一：缺乏有效的思維鏈接的方式。

案例二中，教師大氣的處理方式，仿佛行云流水般地就讓學(xué)生自主探索到了假設(shè)法解題的方法。孰不知，能夠用此種方法解題的學(xué)生能有幾位？他們又是如何找到的？學(xué)生因?yàn)闆]有體驗(yàn)過消去法的意義、價(jià)值與好處，沒有知識(shí)儲(chǔ)備，就不會(huì)在這個(gè)點(diǎn)上進(jìn)行思考，而缺乏消去原理對(duì)假設(shè)法解題策略的支撐，哪來嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募僭O(shè)法解題的思維過程？用這種缺乏知識(shí)與策略基礎(chǔ)的教學(xué)方式去探究“雞兔同籠”，要么學(xué)生原本就會(huì)，要么純屬偶然。在交流的過程中，“猶抱琵琶半遮面”的分析方式，也屏蔽了假設(shè)的真正目的。他們能學(xué)會(huì)的只是對(duì)橫空出現(xiàn)的假設(shè)法解題方法依葫蘆畫瓢。

思維斷層成因二：缺乏必要的思維基礎(chǔ)的儲(chǔ)備。

案例三是一堂典型的課例，因?yàn)榻Y(jié)論的隱蔽性，所以可以充分體現(xiàn)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力，也有較多的教師非常深入地研究過這堂課。之所以還有探討的必要是因?yàn)閷W(xué)生千辛萬苦得到的結(jié)論缺少一個(gè)存在的理由。學(xué)生心中不免有這樣的疑惑：為什么存在一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)？隱藏在這個(gè)迥異的規(guī)律背后的原因又是什么？面對(duì)這樣的疑惑，我們真的就可以無視這個(gè)知識(shí)斷層的存在，放棄發(fā)展他們數(shù)學(xué)思維的機(jī)會(huì)？

思維斷層成因三：缺乏后續(xù)的思維拓展的機(jī)會(huì)。

三個(gè)簡(jiǎn)單、具體的教學(xué)案例，透視出學(xué)生產(chǎn)生思維斷層的三個(gè)成因，而在我們煩瑣的教學(xué)中，類似的案例還有很多，在下面的找尋對(duì)策中還將有所衍生。

二、應(yīng)對(duì)思維斷層的策略

（一）盤活經(jīng)驗(yàn)，喚醒塵封的知識(shí)儲(chǔ)備

因?yàn)闀r(shí)間的流逝和思維的混亂，使學(xué)生在探究時(shí)迷失方向而不能進(jìn)行新舊知識(shí)的鏈接時(shí)，我們既不能一語點(diǎn)破，也不能放任自流。而應(yīng)在學(xué)生思維的斷層上，在策略選擇、目的意義上了無痕跡地加以輔助，加以喚醒，使他們的思維得以深入，讓他們的探究得以延續(xù)。

1.巧設(shè)情境，喚醒策略。

當(dāng)學(xué)生的探究由于策略選擇的斷層而陷入僵局時(shí)，巧設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單的緊扣教學(xué)內(nèi)容的情境，采用猜謎、游戲等互動(dòng)的形式，喚醒他們與之教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的研究策略，在強(qiáng)烈的策略意識(shí)的指導(dǎo)下，目的明確地開展有效探究。

“圓柱的體積”教學(xué)片段2：

出示：“百變魔王”（很多小朋友玩過的玩具，可以通過彎曲，變成很多的形體）

讓幾個(gè)學(xué)生把它變成各種各樣的形體。

在幾番變化后，詢問：什么變了？什么不變？（板書：體積不變）要想知道它們的體積，怎么變化最簡(jiǎn)單？（板書：長(zhǎng)方體）讓我們一起來研究一下它的體積。

師：（出示圓柱體）它的體積我們研究過嗎？怎么研究？（板書：長(zhǎng)方體）它可不像玩具可以隨便變形，怎么變化呢？（板書：切割）

此教學(xué)片段中，教師緊緊抓住數(shù)學(xué)探究最重要的策略——轉(zhuǎn)化思想。通過學(xué)生耳熟能詳?shù)挠螒?，清晰、充分地讓學(xué)生體驗(yàn)到等積變形的好處，喚醒了曾經(jīng)經(jīng)歷過的把復(fù)雜形體簡(jiǎn)單化、熟悉化，是推導(dǎo)形體面積與體積計(jì)算公式和原理的有效策略，一舉沖破無序思維的斷層。

2.妙用學(xué)具，鏈接意義。

學(xué)具即幫助學(xué)生探究的工具。在他們探究的過程中感到困頓時(shí)，適時(shí)地提供形象的可直觀操作的學(xué)具，可以使他們?cè)谧杂X與不自覺的操作中，再憶與所研究?jī)?nèi)容相關(guān)的意義、方式，建立有效鏈接，從而使他們的思維在正確意識(shí)的指導(dǎo)下得以延續(xù)。

在教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，很多教師為了更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力，常常會(huì)讓他們自行去探究一個(gè)沒有數(shù)據(jù)的平行四邊形的面積。而作為圖形切割、轉(zhuǎn)化的第一課時(shí)，只有幾個(gè)學(xué)生能根據(jù)等積變形的原理，把它轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來加以計(jì)算，更多的學(xué)生因?yàn)槊娣e意義的忘卻和轉(zhuǎn)化思想的未知，所能做的只是思維價(jià)值低下的猜測(cè)罷了。面對(duì)大多數(shù)學(xué)生無從思考的斷層，如果適時(shí)地給這些學(xué)生提供格子圖的學(xué)具，他們便會(huì)在擺一擺、比一比中再憶面積大小的意義在于面積單位的數(shù)量上。也使得他們更加容易體會(huì)到出現(xiàn)“底×鄰邊”錯(cuò)誤算法的道理，一舉突破知識(shí)的難點(diǎn)。也只有在根植于面積意義上的探究才是深刻理解和體會(huì)等積變形原理的本質(zhì)。

由于新舊知識(shí)、策略的無法鏈接而使學(xué)生陷入無序思維狀態(tài)是我們教學(xué)中最常見的問題，在此僅舉兩例，說明充分展現(xiàn)教具、學(xué)具對(duì)鏈接有效知識(shí)儲(chǔ)備的作用。面對(duì)成因相同內(nèi)容不同的問題，我們采用的方式也會(huì)用所不同。總之，我們所能提供的探究前提，要盡量有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使他們體會(huì)到，只要是英雄便會(huì)有用武之地。

（二）建構(gòu)體驗(yàn)，墊高匱乏的思維起點(diǎn)

由于教材編排及教師對(duì)教材編排理解上的差異的緣故，很多知識(shí)的教學(xué)，學(xué)生由于缺乏必要的知識(shí)基礎(chǔ)和策略體驗(yàn)，探究時(shí)造成思維斷層，探究就無法延續(xù)。這時(shí)合理的補(bǔ)充和強(qiáng)化便顯得尤為重要。

1.前置體驗(yàn)，墊高思維起點(diǎn)。

前置體驗(yàn)即在學(xué)生探究新課內(nèi)容前，通過一項(xiàng)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生提前體驗(yàn)一種策略、一種方法。當(dāng)學(xué)生的探究活動(dòng)由于基礎(chǔ)的薄弱而無法開展時(shí)，前置體驗(yàn)變成了一種必然的需要。前置的目的是為了補(bǔ)缺學(xué)生思維基礎(chǔ)的斷層，墊高他們思維的起點(diǎn)，讓他們可以在先前的策略、方法的指導(dǎo)下完成對(duì)新知的探究。

“雞兔同籠”教學(xué)片段2：

師出示：學(xué)校買來2個(gè)籃球和4個(gè)排球，共用了100元。已知1個(gè)籃球比1個(gè)排球貴20元，那么籃球每個(gè)多少元？排球每個(gè)多少元？

學(xué)生自行解答：

（100+20×4）÷（2+4） （100-20×2）÷（2+4）

劃線部分明確：根據(jù)題意，利用假設(shè)把一種球進(jìn)行抵消，使題中只剩一個(gè)未知量，這樣就可以解答了。 （板書：兩種球→一種球）

出示：雞、兔共20只，共有腳56只。雞、兔各有多少只？

怎么辦？學(xué)生會(huì)想到，利用假設(shè)，把一種動(dòng)物進(jìn)行抵消，使之只剩下一種動(dòng)物。

圍繞如何假設(shè)、如何抵消展開研究討論。

此教學(xué)片段中，教師巧妙地前置了一個(gè)符合學(xué)生探究基礎(chǔ)的情境，緊扣消去的原理與作用，把學(xué)生的思維緊緊圍繞在“為什么要假設(shè)”“如何假設(shè)”“假設(shè)后的情況與原本的情況相比如何消去其中的一個(gè)量”上。力圖使假設(shè)法解題的策略由原來的偶發(fā)性探究變?yōu)橛尚瓒谋厝恍蕴骄浚谔骄壳凹皶r(shí)消除了學(xué)生探究時(shí)的思維斷層，使他們的思維有據(jù)可尋。

2.強(qiáng)化運(yùn)用，夯實(shí)方法習(xí)得。

由于教材編排的緣故，也由于教師追求短期成效的原因，有些數(shù)學(xué)知識(shí)、策略意識(shí)學(xué)生步入高年級(jí)后就顯得異常薄弱，而這些內(nèi)容在高年級(jí)又顯得尤為重要。那么，通過及時(shí)的強(qiáng)化刺激，改變他們的思維習(xí)慣，補(bǔ)全他們的知識(shí)短板，夯實(shí)他們的方法策略，可以打通他們思維上的斷層。

在教學(xué)三步、四步解決問題時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯(cuò)誤率很高。更重要的是，探討時(shí)，大多數(shù)學(xué)生只能依靠綜合法對(duì)題目進(jìn)行分析和思考。不可否認(rèn)，小學(xué)的低、中段，因?yàn)榻鉀Q問題情境的單一，相對(duì)于分析法，學(xué)生憑借綜合法便能更簡(jiǎn)潔的解決問題，因此從條件入手進(jìn)行分析，成了他們解決問題時(shí)的一種思維習(xí)慣。而到了高年級(jí)，當(dāng)他們?cè)诿鎸?duì)一個(gè)有諸多數(shù)據(jù)的問題時(shí)，還是用此種方式來研究，很多學(xué)生找不到解決問題所關(guān)聯(lián)的條件，這也決定了他們居高不下的錯(cuò)誤率。從問題入手的分析法的缺失導(dǎo)致了他們思維上的斷層，導(dǎo)致了問題與條件的割裂，導(dǎo)致了他們的研究成為缺乏因果聯(lián)系的低效探究。面對(duì)這樣的現(xiàn)狀，在教學(xué)前、教學(xué)中、教學(xué)后，我們可以補(bǔ)充用分析法思考解決問題的練習(xí)，通過同質(zhì)思維的縱向與橫向的訓(xùn)練，沖破他們慣有思維所造成的斷層，使他們自覺地改變思維的習(xí)慣，形成新的策略體系。

我們對(duì)課堂教學(xué)的定位是讓更多的學(xué)生在探究中有所收獲，有所發(fā)展。那么，只有在正確的意識(shí)形態(tài)下，在充分的知識(shí)儲(chǔ)備中，他們的探究才會(huì)有不同程度的成功，所以，必要的體驗(yàn)和強(qiáng)化正好可以墊高他們匱乏的思維起點(diǎn)。我們的教學(xué)也不能僅僅把解決某一具體問題作為教學(xué)目標(biāo)，而是應(yīng)讓他們?cè)凇稗D(zhuǎn)化、消去、假設(shè)、因果聯(lián)系”等“中心問題”的支撐中形成對(duì)策略、方法的體驗(yàn)，使他們?cè)诿鎸?duì)更多的問題時(shí)，有更多的從容，有更多自主探究找到解決問題方法的能力。

（三）給予時(shí)空，激活高漲的探索欲望

不可否認(rèn)，由于小學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知水平，很多教學(xué)內(nèi)容都是以學(xué)生的初步感知為教學(xué)目標(biāo)定位的，所以導(dǎo)致了有些看似頗有難度的知識(shí)其規(guī)律的得出具有偶發(fā)性和不知其所以然的特點(diǎn)。當(dāng)我們所涉及的教學(xué)內(nèi)容有不容忽視的盲區(qū)時(shí)，及時(shí)掃除這個(gè)思維斷層，往往正是發(fā)展他們思維能力與品質(zhì)的大好時(shí)機(jī)。

1.課外尋覓，拓展釋疑能力。

當(dāng)隱藏在結(jié)論背后的原因讓學(xué)生迷惘時(shí)，當(dāng)這些迷惘只能通過教師強(qiáng)行講述才能釋疑時(shí)，我們不妨把目光放到課外，讓學(xué)生通過自己尋找的途徑去獲取相應(yīng)的答案，拓展他們自主釋疑的能力。

“3的倍數(shù)”教學(xué)片段的補(bǔ)充：

圍繞學(xué)生心中的疑惑布置作業(yè)：去百度查找或請(qǐng)教別人，找到這個(gè)結(jié)論存在的背后原因。

反饋舉例：

假設(shè)一個(gè)三位數(shù)為（abc），那么也就是 100a+10b+c，如果該數(shù)是3的倍數(shù)，又因?yàn)?99a+9b 是3的倍數(shù)，所以它們的差a+b+c也一定是3的倍數(shù)。

這個(gè)通俗的解釋學(xué)生應(yīng)該還是好理解的，當(dāng)然，或許還有更為通俗的解釋，只有把權(quán)利下發(fā)給學(xué)生時(shí)，我們才能知道他們的真實(shí)能量。

此課外作業(yè)，看似頗有難度，但因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)自己辛辛苦苦得來的結(jié)論，解釋不出所以然來，心中必有不明不休的想法，而在高漲的學(xué)習(xí)熱情的支配下，很多我們看似不可能的結(jié)果都有可能發(fā)生。因果性是數(shù)學(xué)美的一大體現(xiàn)，而學(xué)生通過自己的努力，去揭示發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系的過程，更是數(shù)學(xué)美的一大體現(xiàn)。

2.課內(nèi)分析，構(gòu)建因果聯(lián)系。

與上相似，不同的是學(xué)生可以通過教師補(bǔ)充的后續(xù)環(huán)節(jié)去頓悟、去透視結(jié)論產(chǎn)生的成因，自主地建立起因果聯(lián)系，這時(shí)，不妨及時(shí)地在課內(nèi)掃除他們知識(shí)上的思維斷層。

與此相似的例子還有“分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)的規(guī)律”，學(xué)生通過若干分?jǐn)?shù)的分母的分解質(zhì)因數(shù)，得到：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2或5以及2和5，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)，如果分母中含有其他的質(zhì)因數(shù)，就不能化成有限小數(shù)。而至于為何是這樣缺乏理論上的支持，腦海中很難建立起立體的結(jié)構(gòu)。此時(shí)，面對(duì)學(xué)生思維上的斷層，教師可以嘗試著讓他們把那些能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)化成分母是整十、整百、整千……的分?jǐn)?shù)，再和不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，他們就會(huì)有茅塞頓開的感覺。教學(xué)一小步，清晰一大步，我們何樂而不為。

在探索發(fā)現(xiàn)的過程中，導(dǎo)致學(xué)生思維斷層的成因還有很多，我們相應(yīng)的對(duì)策也會(huì)不盡相同。好在我們處在課堂教學(xué)的第一線，可以隨時(shí)隨地去洞察和發(fā)現(xiàn)，隨時(shí)隨地去分析和研究。學(xué)生每一次的沉默，每一個(gè)思維斷層的產(chǎn)生，都是我們薄發(fā)的一個(gè)契機(jī)，都是實(shí)現(xiàn)我們課堂教學(xué)夢(mèng)想的一塊基石。

（浙江省平湖師范附屬小學(xué) 314200）