云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 張連吉

一道課后習(xí)題引發(fā)的聯(lián)想與思考

云南省曲靖市第一中學(xué)(655000) 張連吉

一 問題的出處

在人教A版數(shù)學(xué)4(必修)第二章習(xí)題2.5有這樣一道課后習(xí)題：已知對任意平面向量=(x,y),把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量=(xcosθ-y sinθ,xcosθ+y sinθ),叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).

解得x=0,y=-1.

二 引發(fā)的聯(lián)想

既然旋轉(zhuǎn)變換能保持原曲線的形狀不發(fā)生變化,那么能否用旋轉(zhuǎn)變換的思路證明對勾函數(shù)曲線是雙曲線的問題呢？

三 聯(lián)想的證明

利用旋轉(zhuǎn)變換我們還可以證明下面的命題：

四 反思

1.重視課本習(xí)題提高學(xué)生能力

有許多課后的習(xí)題都是非常好的,不僅有能達(dá)到訓(xùn)練的目的的基礎(chǔ)題,也有鍛煉思維能力的習(xí)題,還有和高考密切相關(guān)的“題根”等.

如人教A版選修2-2第32頁B組

1.利用信息技術(shù)工具,畫出函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像,并改變a,b,c,d的值,觀察圖像的形狀：

(1)你能歸納函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像的大致形狀嗎？它的圖像有什么特點(diǎn)？你能從圖像上大致估計(jì)它的單調(diào)區(qū)間嗎？

(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性,并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

這就是一道很好的探究性的問題,既能理解知識點(diǎn)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的聯(lián)系,還能培養(yǎng)學(xué)生的探究意識與發(fā)散思維,同時(shí)類似這樣的題也常常是高考創(chuàng)新題的題源.

如2013年全國數(shù)學(xué) 卷第10題：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A. ?x0∈R,f(x0)=0;

B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖;

C. 若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間

(-∞,x0)單調(diào)遞減;

D. 若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0.

這樣的課后習(xí)題不勝枚舉,所以教師一定要重視對課后習(xí)題的訓(xùn)練與挖掘,使之成為學(xué)生知識理解與掌握的有效保證和思維與能力提高的新的立足點(diǎn)與增長點(diǎn).

2.靈活應(yīng)用教材促進(jìn)知識整合

如果說教材課后習(xí)題我們要給予充分地重視的話,那么作為教材主體的知識內(nèi)容我們更要吃透.要理解教材的編寫意圖,也要靈活地應(yīng)用教材而不拘泥于教材.使得學(xué)生在接受新的內(nèi)容時(shí)能夠與已習(xí)得的知識內(nèi)容相銜接,利于學(xué)生的知識建構(gòu).教師或橫向,或縱向,多角度的分析問題,靈活地使用教材,促進(jìn)學(xué)生知識的整合.

如余弦差角公式的向量法推導(dǎo),就是與數(shù)學(xué)4(必修)習(xí)題2.4 B組第2題相呼應(yīng)的.原題為：如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已原點(diǎn)為圓心,單位長度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),試用 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值.

如果有這道題在前面做鋪墊,后邊的余弦差角公式的向量法推導(dǎo)的想法就簡單自然了.

總之,隨著筆者教學(xué)年齡的增長,每一次都能在教材中體會(huì)到不同的東西,只要教師能夠在教學(xué)中不斷地挖掘、探索,一定能夠常教常新,教學(xué)相長.