段俊婷

(江蘇省蘇州市吳江黎里中學,江蘇 蘇州 215200)

運用分類討論，培養(yǎng)思維嚴謹性

段俊婷

(江蘇省蘇州市吳江黎里中學,江蘇 蘇州 215200)

分類討論思想在初中數(shù)學中的應用非常多，廣泛應用于代數(shù)和幾何中.本文主要從不等式、方程、等腰三角形和二次函數(shù)四個方面論述分類討論思想.全面了解分類討論思想對學生的學習大有裨益，可以讓學生的解題過程變得條理清晰，有條不紊.

分類討論；不等式；函數(shù)；等腰三角形

一、在不等式中的應用

分類討論思想與不等式問題的結合是中考中的一個重要考點.學生在碰到此類問題時往往會由于粗心大意，考慮不周而忽略分類討論.對不等式問題進行分類討論，可以使得解題思路變得清晰，不會慌不擇路，同時解題步驟非常的簡單明了.

例1 解不等式(a+1)x>a2-1.

解析 對于此題，如果不加區(qū)分，直接在不等式兩邊同時除以(a+1)，得到x>a-1，顯然是錯誤的結果.這種解法的錯誤在于直接將(a+1)當成大于0了，這屬于主觀臆想，題目中并沒有條件說明a+1>0.所以需要進行分類討論，分類討論的標準就是a+1的符號，不同的符號下所得結果也不一樣.

當a+1>0時，即a>-1，那么不等式兩邊同時除以一個正數(shù)，方向不改變，則x>(a2-1)/(a+1)=a-1；當a+1=0時，即a=-1，原來的不等式為0，所以此不等式無解；當a+1<0時，即a<-1，那么不等式兩邊同時除以一個負數(shù)，方向改變，則x<(a2-1)/(a+1)=a-1.所以最后的結果為：當a>-1時，x>a+1；當a=-1時，無解；當a<-1時，x

點撥 本題根據(jù)x前面系數(shù)的取值將問題分成三類進行討論，對于此類不等式問題只有分別處理，在不同的情況下使用不同的方法，才能得到正確的結果.不等式問題與分類討論相結合的問題是初中數(shù)學中經(jīng)常考查的考點，一定要認真對待.

二、在二次函數(shù)中的應用

分類討論思想在函數(shù)中的應用非常廣泛，忽視分類討論就會造成漏解，從而導致解題結果的錯誤.在二次函數(shù)的考查中，經(jīng)常要對自變量前面的系數(shù)進行分類討論，這是初中數(shù)學中的一個難點，在學生平時的學習中需要多花功夫.下面這道題非常具有代表性，希望能夠通過下面的這個例子，加深學生對函數(shù)中分類討論思想的理解.

例2 求函數(shù)y=(k-1)x2-2kx+k的圖象與坐標軸的交點坐標.

點撥 當函數(shù)自變量的系數(shù)是含有字母的代數(shù)式，在求函數(shù)圖象與坐標軸的交點時，應當首先討論系數(shù)的取值，不同的系數(shù)代表著不同的函數(shù)，分類討論必不可少.并且在做題時與坐標軸的交點也要分類討論，不同的坐標軸交點解法也不一樣.

三、在方程中的應用

方程問題是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容，方程的類型有很多，初中數(shù)學中主要考查一元一次方程和二元一次方程.而方程問題與分類討論思想的結合是一個重要的考點，本例中的問題就是一個典型例題，對于帶有參數(shù)的方程往往都需要運用分類討論思想才能順利解題.

例3 現(xiàn)有關于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，當m取何值時方程才會有實數(shù)根？

解析 此題中方程中x2的前面含有參數(shù)，不能確定方程的類型，方程可能是一元一次方程，那么就會有一個實數(shù)根；也有可能是一元二次方程，可能有兩個實數(shù)根.所以本題就需要對x2前面的系數(shù)m-4進行分類討論.

點撥 通過本題可以看出，方程中分類討論思想的應用主要出現(xiàn)在含有參數(shù)的方程中.通過對參數(shù)的分析，然后才能確定方程的類型，確定方程的類型之后才能進行相關的運算.對于此類問題，一定要全面地考慮問題，不能馬虎大意.

四、在等腰三角形中的應用

等腰三角形是初中數(shù)學的基礎內(nèi)容，在中考中出現(xiàn)的頻率非常高.等腰三角形的考查主要與分類討論思想相結合，通過分類討論判斷是頂角還是底角，然后才能解決問題.

例4 (1)在等腰三角形ABC中，它的一個角是80°，那么它的頂角的度數(shù)是( ).

A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°

(2)在等腰三角形ABC中，它的一個角是100°，那么

它的頂角的度數(shù)是____.

解析 本例中的兩道題看似差不多，但是解題方法卻不盡然.對于第一個問題，本題中所給的條件一個角是80°，并不能確定是頂角還是底角，所以此時應該進行分類討論：當80°的角是底角時，那么頂角的度數(shù)為180°-80°×2=20°；當80°的角是頂角時，三角形的頂角就是80°了.對于第二個問題，根據(jù)題意一個角是100°，而三角形的內(nèi)角和是180°，所以等腰三角形已知的那個角只能是頂角，所以答案是100°.

點撥 本例中的兩道題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理.對于題目中沒有明確是頂角還是底角時，應當進行分類討論.分類討論是解決這類問題的關鍵所在，只有做好分類討論，避免粗心大意，才能做好這一類題目.

綜上所述，分類討論思想在初中數(shù)學中的應用極為廣泛，不僅應用于函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)問題，在幾何問題中也有相當廣泛的應用.在學習分類討論的過程中，在思想上要高度重視，認真歸納和總結，只有這樣才能不斷提高學生的數(shù)學水平，從而取得學習上的進步.

[1]沈華. 引入分類討論思想,使初中數(shù)學著上別樣色彩[J]. 讀與寫(教育教學刊) ,2013(07).

[2]何靜. 謹防二次函數(shù)中的“陷阱”[J]. 中學生數(shù)學,2011(05).

[責任編輯：李克柏]

2017-06-01

段俊婷(1981.06-)，女，江蘇蘇州人，本科學歷，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學研究與教學.

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