甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

研究一道2017年清華大學(xué)能力測試數(shù)學(xué)題

甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

本文對2017年清華大學(xué)能力測試數(shù)學(xué)題中的一道集合試題，給予了研究，得到了一般結(jié)論.

研究;清華大學(xué)自主招生;集合;整數(shù)性質(zhì)

2017年清華大學(xué)能力測試已于2017年1月14日舉行，試題包括數(shù)學(xué)與物理兩部分，每部分考試時(shí)間均為90分鐘，學(xué)生均在電腦上作答.

數(shù)學(xué)試題是40道選擇題(均為不定項(xiàng)選擇題)，且這40道題的順序?qū)τ诳忌皇枪潭ǖ?由電腦隨機(jī)分配給每位考生).

本文將對數(shù)學(xué)試題中最新穎的一道作詳細(xì)研究.

題目 若存在滿足下列三個條件的集合A,B,C，則稱偶數(shù)n為“萌數(shù)”：

(1)集合A,B,C均為集合M={1,2,3,…,n}的非空子集，A∩B=B∩C=C∩A=?，且A∪B∪C=M；

(2)集合A中的所有元素均為奇數(shù)，集合B中的所有元素均為偶數(shù)，集合M中的所有3的倍數(shù)都在集合C中；

(3)集合A,B,C中所有元素的和均相等．

則下列說法中正確的是( ).

A．8是“萌數(shù)” B．60是“萌數(shù)”

C．68是“萌數(shù)” D．80是“萌數(shù)”

解 ACD．下面用SX表示非空集合x中所有元素的和.

由“萌數(shù)”n為偶數(shù)(由(1)中的A,B,C均為非空集合，可得n≥3)，可得“萌數(shù)”n只可能是6k,6k+2(k∈N*),6k+4(k∈N)的形式，進(jìn)而可得n只可能是6k,6k+2(k∈N*)的形式.

若n=6k(k∈N*)，由三個條件可得

矛盾！所以n只可能是6k+2(k∈N*)的形式(得選項(xiàng)B錯誤).

設(shè)C′={3,6,9,…,6k},A′={2m-1|m∈N*,2m-1∈M,且2m-1?C′},B′={2m|m∈N*,2m∈M,且2m?C′}.由條件(1),(2)可得C′?C,A?A′,B?B′.

還可得

SC′=3(1+2+3+…+2k)=6k2+3k.

再由容斥原理，可得

SA′=[1+2+3+…+(6k+2)]-2[1+2+3+…+(3k+1)]-3(1+2+3+…+2k)+6(1+2+3+…+k)

=6k2+6k+1,

SB′=[1+2+3+…+(6k+2)]-[1+3+5+…+(6k+1)]-3(1+2+3+…+2k)+3[1+3+5+…+(2k-1)]

因?yàn)镾A=SB=SC=6k2+5k+1，所以把集合A′中和為k的若干個元素取出來剩下的元素組成的集合就是A;把集合B′中和為k+1的若干個元素(因?yàn)榧螧′中的元素均是正偶數(shù)，所以當(dāng)n=6k+2(k∈N*)是“萌數(shù)”時(shí)，k必定是正奇數(shù)2t+1(t∈N)，因而n只可能是12t+8(t∈N)的形式)取出來剩下的元素組成的集合就是B.把這兩次取出來元素都放入集合C′后得到的新集合就是C.

當(dāng)k=2t+1,n=12t+8(t∈N)時(shí)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,12t+1,12t+5,12t+7},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,12t+2,12t+4,12t+8},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(4t+2)}.

ⅰ)當(dāng)t=3l(l∈N)時(shí)，k=6l+1,n=12·3l+8(l∈N)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+1,36l+5,36l+7},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+2,36l+4,36l+8},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+2)}.易知k=6l+1,k∈A′;k+1=6l+2,k+1∈B′，所以選A=A′{6l+1},B=B′{6l+2},C=C′∪{6l+1,6l+2}后，可得集合A,B,C滿足題設(shè)，所以12·3l+8(l∈N)均是“萌數(shù)”.

ⅱ)當(dāng)t=3l+2(l∈N)時(shí)，k=6l+5,n=12(3l+2)+8(l∈N)，可得A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+25,36l+29,36l+31};B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+26,36l+28,36l+32};C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+10)}.

易知k=6l+5,k∈A′;k+1=6l+6=2+(6l+4),2,6l+4∈B′，所以選A=A′{6l+5},B=B′{2,6l+4},C=C′∪{2,6l+4,6l+5}后，可得集合A,B,C滿足題設(shè)，所以12(3l+2)+8(l∈N)均是“萌數(shù)”.

ⅲ)當(dāng)t=3l+1(l∈N)時(shí)，k=6l+3,n=12(3l+1)+8(l∈N)，可得

A′={1,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…,36l+13,36l+17,36l+19},B′={2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,…,36l+14,36l+16,36l+20},C′={3·1,3·2,3·3,…,3·(12l+6)}.易知k+1=6l+4,k+1∈B′.因?yàn)閗=6l+3,k?A′,A′中的任兩個相異元素之和均是偶數(shù)，當(dāng)l=0,1,2時(shí)，k=3,9,15均不能表示成A′中的若干個兩個相異元素之和(得此時(shí)12(3l+1)+8不是“萌數(shù)”)；當(dāng)l≥3(l∈N)時(shí)，k=6l+3=1+7+(6l-5)(6l-5≥13),1,7,6l-5∈A′，所以選A=A′{1,7,6l-5},B=B′{6l+4},C=C′∪{1,7,6l-5,6l+4}后，可得集合A,B,C滿足題設(shè)，所以此時(shí)12(3l+1)+8(l≥3,l∈N)均是“萌數(shù)”.

問題 對于本題，當(dāng)偶數(shù)n是“萌數(shù)”時(shí)，求無序集合A,B,C的組數(shù)MSn.

由此結(jié)論，可得答案.且還可得：選項(xiàng)A正確，且MS8=1，其中A={5,7},B={4,8},C={1,2,3,6}.選項(xiàng)C正確：且MS68=2，其中A={1,5,7,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59},B={2,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58},C={3,4,6,8,9,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60}；或A={1,5,7,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59},B={4,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58},C={2,3,6,9,10,11,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60}.

選項(xiàng)D正確：且MS80=6，其中A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,…,75,78};或A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,3,4,5,6,7,9,10,12,15,18,21,24,…,75,78};或A={11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,4,8,10,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={1,3,5,6,7,9,12,14,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={2,3,4,6,8,9,12,13,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,8,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={3,4,6,9,10,12,13,15,18,21,24,27,…,75,78};或A={1,5,7,11,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43,47,49,53,55,59,61,65,67,71,73,77,79},B={2,4,8,10,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80},C={3,6,9,12,13,14,15,18,21,24,27,…,75,78}.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)選修2-1)[M].北京：人民教育出版社，2008.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

甘志國(1971.12-)，男，湖北竹溪人，北京豐臺二中高級教師，中學(xué)特級教師，研究生，從事數(shù)學(xué)教育、解題研究.

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1008-0333(2017)19-0006-02