武亞男

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 離石 033001)

·數(shù)學(xué)研究·

做市商定價信息模型與數(shù)值方法

武亞男

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 離石 033001)

做市商制度是在證券市場上，由具備一定實力和信譽的證券經(jīng)營法人充當做市商，不斷地向投資者報出證券的買入和賣出報價，并在該價值上接受投資者的買賣要求，以其自有資金和證券與投資者進行交易.做市商通過他們的不斷買賣來滿足投資者的投資需求，并維持市場的流動性；也可通過買賣報價的適當差額來補償提供做市服務(wù)發(fā)生的成本 ，并實現(xiàn)一定的利潤.做市商制度是做市商同時進行顯性的買賣雙向報價并按其主動報出的價格進行交易.研究做市商定價理論中的信息模型，在Copeland和Galai信息模型[7]的基礎(chǔ)上，發(fā)展期權(quán)定價的方法，對價差計算進行推廣，給出買價、賣價的計算方法，并進一步采用迭代算法求出信息不對稱條件下的做市商的買、賣價格.

做市商；知情交易者；期權(quán)定價；賣價

做市商(Market maker)，是指金融市場上的一些獨立的證券交易商，為投資者承擔某一支證券的買入和賣出，買賣雙方無需等待交易對手出現(xiàn)，而只要做市商出面承擔交易對手方就可以達成交易.由于做市商通過作為交易對手不斷買賣來滿足投資者的投資需求，這有效地維持和增強了市場的流動性.同時，做市商主動向市場提出買、賣雙向報價，投資者根據(jù)做市商報出的買價和賣價進行交易，做市商可以通過設(shè)定買、賣報價的適當差額來補償做市過程中所發(fā)生的做市成本，并且實現(xiàn)一定的利潤[1].做市商通過長期跟蹤證券價格的變化，憑借其專業(yè)知識對市場價格作出判斷，向市場提供最合理的和最有參考意義的買、賣報價.那么做市商是如何設(shè)定其買賣報價的，這些價格是如何進行計算的，價格又受到哪些因素的影響？本文將通過一些理論說明和計算來回答這些問題.

做市商為了補償其做市成本而在買入報價和賣出報價之間設(shè)立價差，因此對于做市成本的研究就成為了做市商定價理論的起點，而買賣報價價差則是做市商定價理論的切入點.最早對于買賣價差的研究見于Demsetz[2]1968年發(fā)表的論文《交易成本》，首次提出了買賣報價價差模型.此后，在德姆塞斯的文章中，一些學(xué)者關(guān)注于存貨成本與買賣價差之間的關(guān)系，如M.Garman[3]，Y.Amihud[4]，T.Ho，H.Stoll[5]等人建立了用存貨成本解釋買賣報價價差形成過程的存貨模型.在存貨模型中，交易者和做市商擁有的信息都是相同的，不存在信息不對稱的問題，所以在實證檢驗中，存貨模型的解釋能力是有限的.在20世紀80年代中期以后，信息不對稱引入模型，做市商定價理論的發(fā)展重點隨之轉(zhuǎn)到了信息模型，這是其發(fā)展的第二階段，信息模型的基本特征是用信息不對稱所產(chǎn)生的信息成本，而不是交易成本，來解釋市場中買賣報價價差.1971年W.Bagehot[6]發(fā)表的文章被認為是信息模型的第一篇文章.在這篇文章中，Bagehot第一次區(qū)分了信息模型中的重要概念——知情交易者(informed trader)和非知情交易者(uninformed trader).他的出發(fā)點是金融市場中市場收益和交易收益是不相等的，造成差異的原因是信息不對稱，市場中的一部分交易者具有信息優(yōu)勢，知情交易者的信息優(yōu)勢使得他與做市商進行交易時總是獲利，而做市商為了避免破產(chǎn)，不得不用與非知情交易者交易獲得的盈利來沖銷損失，這些盈利的來源就在于做市商設(shè)定的買賣報價的價差.這樣，Bagehot就用信息成本解釋了市場價差.此后Copeland和Galai[7](1983)以及Glosten和Milgrom[8]等人進一步發(fā)展了的做市商定價的信息模型.本文是在Copeland和Galai文章的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展了期權(quán)定價方法在做市商定價理論上的應(yīng)用，給出了具體買、賣價差的計算，并分析了各個因素對價格變動的影響.

1 做市商定價信息模型

已知市場中的交易事件是按照下面的順序發(fā)生的.做市商制定買價和賣價，表明他愿意以買價買入一個單位的證券，或以賣價出售一個單位的證券.一個投資者到達市場被獲知買價和賣價，這時他可以自由地選擇以賣價買入一個單位的證券，或以買價賣出一個單位，或者選擇不進行交易而離開市場.在一位投資者已經(jīng)做出買賣決定與下一位投資者到達市場的時間間隔內(nèi)，做市商可以改變報出的買價和賣價.

做市商設(shè)定的買賣價格是根據(jù)他對證券在市場上的真實價格地判斷做出的.設(shè)St為做市商觀測到的證券在t時刻的真實價格，St的變化過程是個外生變量，它發(fā)生改變的信息是外部決定的，并假設(shè)由知情交易者將真實信息傳遞到市場上，做市商和非知情交易者只有根據(jù)交易的價格行為來觀察和判斷St的值.做市商根據(jù)他觀測到的證券的價值制定報價，以買價KB買入一個單位，或以賣價KA賣出一個單位.這個報價是非常短暫的，他會因下一次交易或者新信息的到達而改變.

設(shè)市場中只有兩類交易者，為知情交易者和非知情交易者，并設(shè)pI(0

因為知情交易者掌握著非公共私人信息，即具有信息優(yōu)勢，因此做市商在與知情交易者交易的過程中會蒙受損失，即付出成本，設(shè)為C.并且知情交易者擁有對S真實價值估計的信息，因此知情交易者會在價值被低估時買入(即在S>KA時買入)，在價值被高估時賣出(在SKA，或S

假設(shè)做市商在0時刻喊出買入報價KB和賣出報價KA，經(jīng)過一個時間段τ后有交易者到達并交易，若交易者是知情交易者，則他將在S>KA時買入或在S

以下分析中我們假設(shè)市場無摩擦(無稅收、交易費等)，做市商是風險中性的，且資本市場是匿名的，做市商在交易之前并不知道那筆信息占有更多的信息優(yōu)勢.根據(jù)市場的交易特性，我們將采用期權(quán)定價的方法研究和求解完全競爭市場條件下做市商的買、賣報價.

已知做市商在0時刻對證券價值的估計為S0，做市商依此設(shè)立買入報價KB和賣出報價KA，并直到T時刻有交易者進行交易.KA-KB=KA-S0+S0-KB為做市商所報價格的價差，其中S0-KB為買入價差,KA-S0為賣出價差.做市商的這一行為相當于在0時刻賣給交易者一張跨式組合期權(quán)，即做市商在0時刻同時對同一標的物賣出了一張以賣出價KA作為敲定價格的看漲期權(quán)和一張以買入價KB作為敲定價格的看跌期權(quán)，兩張期權(quán)的到期日相同均為T，并且只能在到期日期權(quán)才能夠執(zhí)行,而價差的成本即為期權(quán)的價格.

對于知情交易者來講，他占有非公眾的私人信息因而掌握著證券的真實價值，因此會在交易中獲利，當S>KA時他執(zhí)行看漲期權(quán)并獲得期權(quán)的收益為C(KA)=pI(S-KA)+，當S

如上所述，跨式組合期權(quán)中看漲和看跌期權(quán)均為到期日為T的歐式期權(quán)，因而可由Black-Scholes期權(quán)定價公式得到解析表達式.因?qū)嶋H中買賣報價時間間隔較短，故令無風險利率r=0.那么可進一步得到，

知情交易者在T時刻買入時，執(zhí)行了看漲期權(quán)，做市商的成本為：

(1)

知情交易者在T時刻賣出時，執(zhí)行了看跌期權(quán)，做市商的成本為：

其中S0為資產(chǎn)初始真實價格，KA為做市商賣出看漲期權(quán)的敲定價格，KB為做市商賣出看跌期權(quán)的敲定價格，σ為回報率的年標準差.期權(quán)在t=0時刻生效，在T=τ時刻期權(quán)到期執(zhí)行.

2 模型的發(fā)展和數(shù)值結(jié)果

在完全競爭的金融市場中，假設(shè)市場是無摩擦的，做市商長期的競爭均衡將會在期望成本等于期望收益處達到，即做市商的期望利潤為0，那么看漲和看跌期權(quán)分別滿足以下等式：

(2)

(3)

….

(4)

對公式(4)兩邊取極限，又T是連續(xù)的，可得：

表1 θ的估計值

表2 KA的逼近值

注：當θ=0時不能做分母，我們?nèi)ˇ?10-6近似代替計算

以下為對應(yīng)于KA的價差關(guān)于交易時間間隔t=τ和年波動率σ的圖像：

從圖1中可以看出，當年波動率σ不變時，賣出價差(KA-S0)與交易時間間隔τ是正相關(guān)的，并且當交易時間充分小時，價差趨近于0，賣出報價趨近于證券的價值,即KA=S0.當交易時間不變時，賣出價KA隨著σ的增大而增大，并且當年平均波動率趨近于0時，價差趨近于0，KA=S0.這與我們在經(jīng)濟意義上的理解是相一致的.

以下分析假設(shè)公式(3)中其他條件不變，改變知情交易者占總交易者的比率pI，并觀察pI的變化對賣出價KA的影響.

圖1 KA的價差關(guān)于交易時間間隔t=τ和年波動率σ的變化圖2 賣出價KA關(guān)于pI的變化

從圖2中我們可以看到初期隨著市場中知情交易者比率的增加，賣價KA是遞增的，但是當知情交易者比率超過60%的時候，賣價開始下降，并最終趨近于證券價值.這說明，隨著知情交易者數(shù)量在市場中增加，信息在不斷傳播，非知情交易者也變得知情，那么原有的知情交易者便失去了他的信息優(yōu)勢，因此也使得賣價更接近于真實值.

上述數(shù)值算例中，我們計算了在不同的年標準差和報價間隔下做市商的賣價KA.通過數(shù)值結(jié)果可以看出：當其他條件不變時，標的資產(chǎn)的年標準差上升，賣價升高，價差變大；證券報價與交易的時間間隔越長，賣價越高，價差越大.當其他條件不變時，知情交易者比率的增加對賣價先增后降的影響顯示了信息在市場中的傳播過程，這說明了及時廣泛的信息傳播可以降低價差，促進交易，從而有助于市場的平穩(wěn)發(fā)展.

3 模型對實踐的指導(dǎo)意義

前面部分討論的信息模型給出了做市商定價公式和賣價的計算方法，并對金融交易中重要的交易時間和波動率對賣價的影響做了相關(guān)性分析.這些結(jié)果對于做市商交易制度的實施具有指導(dǎo)意義.

首先，通過分析我們看到，交易時間間隔和價差是正相關(guān)的，而交易時間間隔越短，說明市場的交易越頻繁，價差越小，買、賣價格越接近于證券真實價值.若在較長時間間隔內(nèi)無交易，價差會增大，那么可能是賣價過高，或是做市商對證券價格估計不準，此時做市商應(yīng)即時調(diào)整價格，重新報價.這既能有效促進市場的平穩(wěn)運行，也在某種意義上限制了做市商暴露于知情交易者的價格風險[9].

其次，應(yīng)及時進行信息披露.我們看到賣價會隨著知情交易者比率的增加而上升，但是當市場中的知情交易者占據(jù)相應(yīng)比重的時候，由于信息的傳播，知情交易者會失去信息優(yōu)勢從而使得賣價回落到接近于證券真實價值.這從理論上說明了信息披露的重要性，及時的信息披露可以降低做市商的做市風險[10].

從整體上看，做市商定價信息模型對基于信息不對稱的做市商的定價行為作了詳細的分析，并給出了與經(jīng)濟意義相符的分析結(jié)果.這不僅有助于我們加強對做市商定價行為的理解，而且還有助于制定正確的調(diào)控和監(jiān)管措施.從2008年3月起，國務(wù)院已經(jīng)先后批復(fù)天津、武漢和重慶作為全國場外交易市場體系的試點，在這些市場中推行做市商制度，因此對于做市商定價理論的研究并將其應(yīng)用于中國的金融改革，對于做市商制度在我國的順利推行和有效監(jiān)管具有重要的意義.

[1]吳林祥.做市商定價理論綜述[J].外國經(jīng)濟與管理，2000(10).

[2]Demsetz.H.The Cost of Transacting[J].Quarterly Journal of Economics,1968(82).

[3]Mark Garman.Market Microstructure[J].Journal of Financial Economics,1976(3).

[4]Yakov Amihud and Haim Mendelson.Dealership market:Market-making with Inventory[J].Journal of Financial Economics,1980(3).

[5]Thomas Ho and Hans Stoll.Optimal Dealer Pricing Under Transactions and Return Uncertainty[J].Journal of Financial Economics,1981(9).

[6]Walter Bagehot (pseud.).The Only Game in Town[J]Financial Analysis Journal,1971(27).

[7]Thomas E.Copeland and Dan Galai.Information Effect on the Bid-Ask Spread [J].Journal of Finance,1983(38).

[8]Lawrence R.Glosten and Paul R.Milgrom.Bid,.Ask and Transaction Prices in a Specialist Market with Heterogeneously Informed Traders[J].Journal of Financial Economics,1985(14).

[9]莫琳·奧哈拉.市場的微觀結(jié)構(gòu)理論[M].北京:中國人民大學(xué)出版社，2007.

[10]平新喬.微觀經(jīng)濟學(xué)十八講[M].北京:北京大學(xué)出版社，2001.

2017-02-06

武亞男(1989-)，女，山西中陽人，助教，研究方向為金融數(shù)學(xué).

O241

A

2095-185X(2017)02-0004-05