閆圣，鄒志利

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連116024）

波浪場中濃度輸移擴散Stokes漂移效應的歐拉描述

閆圣，鄒志利

（大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連116024）

為了說明波浪場中濃度輸移擴散Stokes漂移效應的歐拉描述方法，采用歐拉方法推導了波浪場中波浪周期平均的濃度輸移擴散方程，其對流項是由波浪速度的波動和物質濃度的波動相互作用而產生，所含的對流速度恰是Stokes漂移速度。由此說明，波浪場中濃度擴散問題的Stokes漂移效應可以自動的由歐拉法來考慮，所得到的Stokes漂移效應與拉格朗日描述的結果是等價的。為了進一步說明這一問題，將粒子追蹤法的拉格朗日描述的Stokes漂移速度與歐拉法的結果進行了對比，二者是一致的。研究中也數(shù)值求解了線性波浪場中σ坐標下濃度擴散方程，將濃度的Stokes漂移、濃度分布和粒子追蹤法的結果進行了對比，以證明歐拉描述和拉格朗日描述兩種方法的等價性。研究中也根據(jù)實驗結果對實際波浪場中Stokes漂移效應所引起的濃度漂移進行了討論，解釋了物理模型實驗中的觀察到的波浪場中濃度漂移現(xiàn)象。

Stokes漂移速度；濃度輸移擴散；線性波浪；Taylor離散系數(shù)；歐拉法

Stokes漂移是波浪中流體質點在波浪傳播方向上的凈移動（Stokes，1847），Stokes漂移速度雖不能直接由定點處的流速儀測得，在以往的關于物質輸移擴散的數(shù)值模型中也很少考慮波浪的影響，但它對海洋中的物質輸移擴散和海岸地形演變有著重要的作用。例如，Monismith等（2004）觀察到海面波浪較大時沿岸顏料羽流存在向岸偏移，并且這一現(xiàn)象可通過Stokes漂移的影響來解釋。他們建議在預報近海物質輸運的時間平均方程中應顯式地考慮Stokes漂移的影響。Rohrs等（2014）研究表明波浪引起的向岸漂移會影響海岸水域產卵地初次攝食的仔魚向海洄游，進而使它們的停留時間增加。Henderson等（2004）的研究表明Stokes漂移會引起海岸懸移質泥沙向岸輸移進而可引起沙壩向岸移動。本文將討論Stokes漂移的歐拉描述與拉格朗日描述的一致性，以探討在歐拉描述的濃度擴散方程中如何考慮Stokes漂移的影響。用歐拉方法闡述了僅以一階的波浪速度作為背景流場速度就可以產生物質平均濃度Stokes漂移效應的原理，并給出了以Stokes漂移速度作為對流速度的平均濃度擴散方程。

Law（2000）在研究由自由表面波中污染物的Taylor離散（Taylor，1953）時，假設物質顆粒隨水質點同相位同幅度運動，它們沿水深變化的時間平均速度剖面就取為Stokes漂移速度剖面，利用Van den Broeck（1990）推導的公式計算得到了Taylor離散系數(shù)，然后又采用隨機游走的方法來模擬污染物粒子在波浪中的運動，在求解粒子的位置時每一步的位移用粒子瞬時的拉格朗日速度時間積分得到，所以隱含了Stokes漂移速度的影響。以上兩種方法得到的離散系數(shù)的結果接近，表明兩種描述污染物在波浪中擴散的Stokes漂移效應的方法等效。

以上的研究對Stokes漂移流的處理其實是拉格朗日描述，與此對應的也可采用歐拉描述，即在波浪流場中建立擴散物質濃度的控制方程，即濃度對流擴散方程。在理論分析方面，Shen等（2014）把垂向二維污染物濃度擴散方程中的對流速度取為Stokes漂移速度和線性波浪場的速度之和，用連續(xù)近似的方法推導了波浪引起的Taylor離散系數(shù)，其結果中時間平均的離散系數(shù)比Law（2000）的結果大35%。Winckler等（2014）在忽略垂向速度的情況下，推導了在破波帶內的水深平均的二維污染物濃度輸移擴散方程。他們的理論顯示除了波浪破碎引起的沿岸流，由波浪和物質濃度波動的相互作用引起的質量輸移是破波帶內另一種對流輸運，它會引起濃度存在向岸漂移。

數(shù)值模擬方面，袁徳奎等（2004）建立了基于σ坐標的濃度對流擴散數(shù)學模型，通過數(shù)值模擬結果計算波浪場中Taylor離散系數(shù)。方程中的對流速度取為解析的線性的波浪速度。經和Law（2000）的結果比較，得出在忽略垂向速度的情況下，用該數(shù)學模型計算得到的離散系數(shù)與Law（2000）的結果是基本一致的，但在考慮垂向速度后，數(shù)值模擬得到的離散系數(shù)大于不考慮垂向速度的結果。但他在用解析解布置波浪場時將垂向速度設置為零，這樣來忽略垂向速度的影響是不對的，因為此時速度場的散度不為零，即流體質量是不守恒的，這和實際不符，故上面得出的結論也是不可信的，而本文將重審這一方法。

實驗研究中，Patil等（2007）等用實驗結果和尺度分析得到包含波浪波高和周期參數(shù)的波浪和流共同作用下的Taylor離散系數(shù)的經驗公式，并得出波浪中流體質點漂移速度的存在會增大Taylor離散系數(shù)的值。金紅等（2006）通過物理模型實驗對海岸波浪作用下污染物運動特性進行了觀察，實驗表明，在破碎帶外污染物主要受波浪引起的質量輸移流即Stokes漂移流的影響，在破碎帶內主要受沿岸流的影響，同時還受沿岸流不穩(wěn)定運動及大尺度旋渦運動的影響。

本文首先采用解析方法給出了歐拉描述的波浪中物質濃度輸移的Stokes漂移效應和Taylor離散，以此分析為基礎和上述以往研究工作中拉格朗日方法的結果加以比較。本文研究也采用粒子追蹤法和σ坐標下的濃度輸移擴散方程對以上問題進行了數(shù)值模擬來顯示波浪場中濃度輸移擴散過程。最后給出了上述的歐拉方法在解釋物理模型實驗現(xiàn)象中的應用。

1 Stokes漂移影響的歐拉描述

本節(jié)將給出歐拉描述情況下波浪場中物質輸移的Stokes漂移產生機制，這一方法與上述拉格朗日描述不同之處是：速度場僅考慮歐拉形式的波浪速度，即固定點處的波浪速度，其不含Stokes漂移速度；而拉格朗日描述需要加入Stokes漂移速度。針對波浪場中濃度擴散方程，采用多尺度分析（Mei et al，1997），得到在波浪周期上時間平均的濃度輸移擴散方程。

假設輸移擴散過程中沒有化學作用發(fā)生（過程是保守的）并且物質的密度和周圍的流體密度相同，則波浪場中濃度滿足如下的方程：

式中，x和u代表水平坐標和流體水平速度分量，z和w代表垂直坐標和流體垂直速度分量；Dx和Dz是湍流擴散系數(shù)，并假設它們是常量。在自由表面和不可滲透的海底濃度c（x，z，t）滿足無通量邊界條件。

這里考慮物質濃度在線性波浪中的擴散，即u和w取一階波浪場的速度

式中θ=kx-wt，A、k、w為波浪的波幅、波數(shù)和圓頻率，h為水深。

根據(jù)破波帶外的波浪和物質輸移擴散特征，引入下面的無量綱數(shù)，

對控制方程（1）進行無因次化，則方程（1）變?yōu)?/p>

式中，ε=kA為正比于波陡的小參數(shù)，T為波浪周期。考慮到物質在波浪中擴散時有兩個不同的時間尺度：一是物質濃度隨波浪運動的快變時間尺度，對應的快變時間為t；另一個是Stokes漂移效應和擴散引起的慢變時間尺度，對應的慢變時間τ為τ=ε2t。這樣，某一點處的物質濃度將是由Stokes漂移和湍流擴散引起的緩慢變化疊加上以波浪周期變化的快變波動。因此，可將濃度按小參數(shù)展開為（以下式（5）和式（6）略寫無因次量的上標*）

式中，c(0)=c(0)（x，z，τ）為緩慢變化的濃度，c(1)=c(1)（x，z，t，τ）為以波浪周期波動的濃度，c(2)=c(2)（x，z，t，τ）為以二倍波浪周期波動的濃度。將以上展開代入方程（4），采用以下轉換

并注意到方程中系數(shù)的量級可估計為：kh= O（1），（考慮有限水深的情況）；TDv/h2=O（ε2）（湍流擴散系數(shù)Dv很小，波浪周期T和物質擴散時間h2/Dv之比是個小量，這里假定其量階為ε2。例如，對如下情況：h=3 m，H=0.6 m，T=5s，Dv=0.005 m2/s，則有kh=0.252×3=0.75~O（1），TDv/h2=5×0.005/32=0.002 778，并且ε2=（kA）2=（0.252×0.3）2=0.005 715，即O（TDv/h2）~ε2），則可將方程（4）分解為以下各階方程，并寫成有量綱形式，有O（ε）階方程

方程（7）表達的是波浪水平速度u和垂向速度w產生的濃度對流，即產生了濃度隨波浪周期變化的部分c(1)。因為波浪速度為已知的解析表達式（式（2）），所以該方程解可直接求出，表達式為

方程（8）表達的是包含ε2階物理量的動力平衡，實際上方程右端可分解為慢變項和以二倍周期波動的高頻項（由u?c(1)/?x+w?c(1)/?z項中u、w與c(1)的導數(shù)的乘積產生，因c(1)也是按波浪周期波動的，見式（9））：前兩項僅包含慢變部分，而后兩項既包含慢變部分又包含高頻部分。方程左端項僅含高頻波動項。方程中慢變部分可以通過將方程在周期上做時間平均而將其從方程中分離出來，并恢復t變量，即有

MRI、CT等影像學檢查方法均有助于早期診斷隱匿性骨折。螺旋CT掃描軌呈螺旋狀前進，掃描時間快，可以不間斷地快速采集數(shù)據(jù)，圖像減少了運動偽跡，可以重建出高質量的三維圖像。在單層螺旋CT的基礎上，又發(fā)展起來多層螺旋CT。多層螺旋CT可以同時采集多層投影數(shù)據(jù)，掃描覆蓋范圍更大，掃描時間縮短，Z軸分辨率更高。磁共振成像(MRI)是利用外磁場和物體的相互作用來成像，其成像過程與圖像重建和CT相近。與CT比較，MRI的主要優(yōu)點是：（1）對人體無放射性和生物學損害。（2）可以直接生成橫斷面、矢狀面、冠狀面及各種斜面的體層圖像。（3）不會產生偽影。（4）較CT的顯示范圍更廣泛，結構更清楚。

式中uc項來源于方程（8）中波浪速度u和w與以波浪周期波動的濃度c(1)的相互作用，將u、w與c(1)的表達式（2）和（9）代入u?c(1)/?x+w?c(1)/?z，可得

式中uc為

該表達式與Stokes漂移速度us的表達式（14）相同。后者是由拉格朗日描述（跟蹤波浪水質點）來給出的（Longuet-Higgins，1953），即

二者結果一致，但對應的物理過程是有差別的：拉格朗日描述式（15）表達的是波浪水質點位移

所引起的偏移速度時間平均值；而歐拉描述（13）表達的是波浪速度u和w與一階濃度c(1)= X?c(0)/?x+Z?c(0)/?z的相互作用。

由于式（12）的推導中的流場是固定點處的波浪速度，而沒有另外添加Stokes漂移速度，所以，該推導是歐拉描述的方法，這是本文研究與以往研究（Law，2000）不同之處，后者是用粒子的拉格朗日速度（包含Stokes漂移速度）來研究粒子在波浪中的Stokes漂移。這兩種方法得到的結果一致意味著在波浪周期平均下這兩種方法對于濃度輸移是等價的，也意味著可以直接采用歐拉描述來考慮波浪場中濃度輸移擴散的Stokes漂移效應。

在方程（10）中uc的作用相當于相同速度的水流的對流作用，即引起濃度c(0)沿速度方向產生漂移，除此之外uc還將產生離散效應，這一效應是通過將方程（10）沿水深積分體現(xiàn)出來的（Fischer，1979）。沿水深積分后的方程成為

C和U分別是水深平均的濃度和Stokes漂移速度，K是速度uc沿水深分布不均勻產生的離散系數(shù)，該表達式中c^(0)和u^c分別是c(0)和uc相對它們自身水深平均值的偏離值，該結果與以往用拉格朗日方法研究所得到的Stokes漂移產生的離散系數(shù)是一致的（見Law，2000式（11））。

以下兩節(jié)將分別給出粒子追蹤法的拉格朗日描述結果和直接數(shù)值求解濃度擴散方程（1）的歐拉描述結果，并通過兩結果的對比來進一步說明上述Stokes漂移速度的歐拉描述和拉格朗日描述的等價性。

2 粒子追蹤法模擬波浪場中濃度輸移

粒子追蹤法的原理是通過計算出流場中物質粒子的運動軌跡來確定濃度分布，因為其是跟蹤物質粒子，所以是拉格朗日方法。在這一方法中Stokes漂移是通過粒子的平均位移體現(xiàn)出來的。粒子追蹤法（Wolk，2003）所采用的方程為

下面給出一個由粒子追蹤法模擬波浪場（式（2））中濃度擴散的例子，以顯示在拉格朗日描述中Stokes漂移現(xiàn)象是如何實現(xiàn)的。計算中取水深h=3 m、波高H=0.6 m、波浪周期T=5 s，Dx= Dz=0.005 m2/s。在流場中布置2 000個粒子，粒子初始時刻水平坐標為0，垂直坐標沿水深隨機均勻分布，取時間步長0.25 s，根據(jù)方程（18）計算粒子任意時間的空間位置。方程右端第一項采用四階龍格-庫塔法進行時間積分，第二項采用隨機行走方法處理。若粒子由于隨機跳動走出邊界，則將它們在自由表面邊界和水底邊界處通過鏡像反射使其返回水域。圖1給出了這一線性波浪場中粒子在t=800 s時的空間分布和濃度分布，其中x=0處的豎直線代表粒子的初始位置。由粒子的空間位置分布可得到粒子分布的水平中心位置x，將其除以相應的時間間隔t可以得到粒子整體漂移的平均速度，圖2給出了數(shù)值模擬得到的U以及歐拉描述的解析解（17b）的數(shù)值，二者趨向一致，表明在波浪場中粒子擴散過程中存在以式（17b）速度為對流速度的整體漂移。

上述一致性的原因是在于粒子整體漂移速度U是由于方程（18）中右端第一項所決定的，而第二項在統(tǒng)計意義上不會對平均運動產生影響。所以，僅由第一項的時間積分（可選擇跟蹤不同水深處的粒子）就可以得到Stokes漂移速度，圖3給出了這一拉格朗日描述的Stokes漂移速度的沿水深分布，圖中也給出了式（14）的解析求解的結果，由圖3可見二者結果一致。

圖1 計算模擬波浪場中的粒子漂移

圖2 模擬得到的Stokes漂移速度（虛線）和解析解（式（17b））的結果（細實線）

圖3 模擬得到的粒子Stokes漂移速度（空心圓圈）和解析解（式14）的結果（細實線）

由以上結果也可確定水深平均方程（16）中的離散系數(shù)K，即拉格描述確定的離散系數(shù)，計算式為

以上結果達到穩(wěn)定狀態(tài)時（t≥h2/Dz=1 800 s）粒子沿水平方向分布應呈正態(tài)分布，為了驗證這一點，圖5給出了t=1 800 s時刻粒子空間分布（上圖）和粒子個數(shù)水平分布（下圖）以及對應的理論概率正態(tài)分布，結果顯示粒子的水平分布最終可以趨于正態(tài)分布。

圖4 離散系數(shù)隨時間的變化

圖5 粒子追蹤法達到穩(wěn)態(tài)時粒子的空間分布（上圖）和粒子沿水平分布及理論分布曲線（下圖）

3 Stokes漂移效應歐拉描述的數(shù)值驗證

前面第1節(jié)通過將方程（1）中的波浪速度場取為一階波浪速度，然后建立波浪周期平均的濃度擴散方程，所得到的方程中對流速度即為Stokes漂移速度，其引起濃度在隨波浪作周期性波動的同時還沿波浪傳播方向上漂移。為了直觀的顯示這一歐拉描述的物理過程，這里通過數(shù)值求解方程（1）在一階波浪速度場中的濃度擴散來直接給出濃度隨波浪運動和擴散的過程，進而可以顯示第1小節(jié)歐拉描述的Stokes漂移效應。

為了考慮自由表面波動所引起的計算區(qū)域的變化，計算中通過以下σ坐標變換將變動的計算區(qū)域轉化為固定的計算區(qū)域：0≤σ≤1，變換前和變換后的計算區(qū)域如圖6所示。

圖6 σ-坐標系把直角坐標中的不規(guī)則的區(qū)域轉化為矩形區(qū)域

以上方程的上下兩側邊界條件為濃度梯度為零：

左右兩側邊界條件取濃度為零：

模擬針對沿水深均勻分布的線源在波浪場所產生的擴散問題，對應的初始條件為

式中，M是注入的濃度總量，δ（ξ）是狄拉克（Dirac）函數(shù)。

用有限差分方法離散方程（21）各項，并用ADI格式求解。為了和第2節(jié)中的結果進行對比，水深和波浪條件與第2節(jié)中的一致。具體計算條件為：模擬區(qū)域的長度是80 m，初始線源在x=20 m處，網格間距深度方向為0.1、水平方向為0.1 m，時間步長為0.01 s。圖7給出了對應于圖5的t= 800 s時刻流場中濃度分布。由圖可見，濃度在波浪作用下產生擴散的同時，還存在沿波浪傳播方向的漂移。漂移的速度即為式（13）中的Stokes漂移速度。這里通過求這一漂移的水深平均速度U來說明這一點，該速度為

式中C為水深平均濃度，c（i，j）為網格點（i，j）處的濃度，Δξ為水平網格間距。上式中所得的濃度漂移速度與水深平均Stokes漂移速度式（17b）及粒子追蹤法得到的粒子平均漂移速度在所計算的波況下的結果相近（0.03 m/s，見圖2），圖7也標出了這一速度所引起的濃度中心的水平位移UΔt。另外，圖7中濃度擴散的等濃度線和圖1中的下圖也基本一致。但由于數(shù)值模擬存在數(shù)值耗散，所以在擴散系數(shù)D取一致的情況下，數(shù)值模擬結果的擴散要比粒子追蹤法的要快，即圖7中濃度的最大值要比圖1中的最大值要小。

圖7 釋放800 s后物質濃度等值線

如上所述計算中引起濃度擴散的波浪速度場（u，w）取為一階波浪速度式（2），而不再額外加入Stokes漂移速度us。數(shù)值模擬證明，雖然沒有加入Stokes漂移速度，但該速度引起的漂移效應可由周期性波動的線性波浪速度與周期性波動的濃度分量相互作用（方程（1）中對流項u?c/?x+w?c/?z所導致）而形成（具體細節(jié)見第1節(jié)中給出的解析分析）。

以上結果的物理過程可由第1節(jié)中解析分析看出，即濃度在波浪場中的擴散過程包括兩部分，隨波浪快速波動的過程（式（5）中εc(1)）和波浪周期時間平均的濃度緩慢漂移和擴散過程（式（5）中c(0)）。

4 實際應用

將以上Stokes漂移效應對應的波浪引起的濃度沿波浪方向的平均濃度輸移通量為：

該通量表達投放于海洋中的物質濃度隨波浪的漂移。為了直觀顯示這一現(xiàn)象，圖8給出了實驗室中在波浪場中所投放的墨水向岸漂移現(xiàn)象。所對應的波浪在離岸以30°斜向（圖中3個測量桿與岸線垂直）傳向海岸的波浪（波高0.05 m，周期1.5 s），海岸的坡度為1∶100，墨水投放點距岸10.5 m，位于破波帶外（波浪破碎點距岸9 m），墨水投放形式為連續(xù)源。由圖可見墨水在不破碎波浪作用下呈現(xiàn)向岸漂移的移動，移動距離可由Stokes速度計算出，如第4個圖片相對第1個圖片的時間間隔為Δt=45 s，由對應的水面處的Stokes漂移速度[uc]z=0=0.048 m/s（按公式（13）計算，并取墨水軌跡線中點處的波高0.055 m），可得到從這兩個圖之間的墨水漂移距離為：

由于餐飲企業(yè)規(guī)模較小，經濟實力一般，使得餐飲企業(yè)資產信用度低，而國家也沒有政策性支持，因此餐飲企業(yè)很難進行融資。銀行和金融機構在進行融資的過程中，要對被融資的企業(yè)進行資產評估，評估達到一定的標準才能進行融資，銀行和金融機構一般都需要把風險降到最低。餐飲企業(yè)資產額不高，企業(yè)自身償還能力有限，這些因素都是導致其融資難的原因[3-7]。

該距離相當于1.5倍的當?shù)夭ㄩL（1.44 m），這一結果可由圖直接看出，因為圖中斜的亮線為波峰線，而從第1個照片到第4個照片墨水移動距離約為1.5倍波峰線間距離（波長）?？梢?，破波帶外墨水（污染物）漂移主要受Stokes漂移效應控制。但進入破波帶內之后，墨水不但受Stokes漂移驅動而且還受波浪破碎產生的沿岸流（其方向為平行海岸方向）驅動，所以墨水軌跡趨向平行海岸，如圖中最后兩個照片所示。

以上的實驗結果顯示出Stokes漂移速度對于不破碎波浪情況是可以引起流體中濃度向波浪方向漂移，這一漂移運動在破波帶內也是存在的，具體結果見Winckler等（2014）的研究。對實際海洋情況，Monismith等（2004）通過幾個現(xiàn)場觀測結果建議在建立內陸架海域的物質輸移擴散模型時應注意考慮Stokes漂移速度的影響，因為他們的觀察表明該漂移速度量級經常和內陸架海域觀測到的其他漂移流速相當或較之更大。

圖8 墨水運動軌跡及對應波高和沿岸流速分布（金紅等，2006）

5 結語

本文討論了采用歐拉描述來考慮波浪中物質濃度輸移擴散Stokes漂移效應的原理，表明當僅將波浪場取為一階波浪速度，而不額外添加Stokes漂移速度，Stokes漂移效應也可以自然地產生出來，產生的原理是周期性波動的波浪速度與周期性波動的濃度變化的相互作用。這一原理在所推導出的波浪周期上時間平均的濃度輸移擴散方程中表現(xiàn)為對流速度即為Stokes漂移速度，該速度引起了濃度除了隨波浪周期性的波動外，還存在沿波浪傳播方向上的漂移。這一現(xiàn)象也可以由本研究所進行的粒子追蹤法濃度擴散過程（對應拉格朗日描述）和數(shù)值求解垂直二維濃度擴散方程的計算結果（對應歐拉描述）得到驗證。由以上理論分析所得到Stokes漂移效應產生的離散系數(shù)也與以往研究所得到的結果一致。研究中也根據(jù)該歐拉描述方法討論與解釋了物理模型實驗中觀察到的破波帶外波浪引起的濃度漂移現(xiàn)象。

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（本文編輯：袁澤軼）

Eulerian description of wave-induced Stokes drift effect on the advective diffusion of tracer concentration

YAN Sheng,ZOU Zhi-li
（1.State KeyLaboratoryof Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China）

The Eulerian description of wave-induced Stokes drift effect on the advective diffusion of tracer concentration is studied showing that this effect can be automatically accounted for in the wave-averaged advection-diffusion equation of concentration in linear wave field,as the advection velocity of the equation is just the Stokes drift velocity.The equivalence of this Eulerian description to the Lagrangian description is verified by comparing the numerical results of vertical distribution of Stokes drift velocity by the particle tracking method with the Eulerian results,with the former one being a Lagrantian type description.The Eulerian description of Stokes drift effect is also illustrated numerically by solving the advection-diffusion equation in σ-coordinates,which shows the drift of concentration driven by Stokes drift.The observed wave-induced concentration drift in the laboratory experiments is also presented to show the drift of concentration in practical wave field.

Stokes drift velocity;concentration advective diffusion equation;linear wave;Taylor dispersion;Eulerian description

P731.22

A

1001-6932（2017）04-0416-08

10.11840/j.issn.1001-6392.2017.04.008

2015-12-17；

2016-03-31

國家自然科學基金（11272078；51221961）。

閆圣（1987-），博士研究生，主要從事海岸水動力學研究。電子郵箱：yansheng11106082@mail.dlut.edu.cn。