熊偉偉，王惠姣

(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州 310018)

基于事件觸發(fā)機(jī)制的Markov跳變系統(tǒng)的量化保性能控制

熊偉偉，王惠姣

(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州 310018)

根據(jù)事件觸發(fā)機(jī)制，針對(duì)連續(xù)Markov跳變系統(tǒng)，研究了其量化保性能控制器的設(shè)計(jì)問題。為解決網(wǎng)絡(luò)帶寬有限問題，提高網(wǎng)絡(luò)資源利用率，首先在采樣器端引入一種離散事件觸發(fā)機(jī)制，同時(shí)分別在狀態(tài)反饋通道和控制輸入通道設(shè)置對(duì)數(shù)量化器；然后運(yùn)用時(shí)滯系統(tǒng)方法，建立新的Markov跳變系統(tǒng)模型；接著通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了使閉環(huán)反饋系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足保性能指標(biāo)的充分條件，并進(jìn)一步設(shè)計(jì)了保性能控制器。該方法考慮了網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的影響，符合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)狀況，通過設(shè)置事件發(fā)生器和對(duì)數(shù)量化器，有效降低了網(wǎng)絡(luò)負(fù)載。仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

Markov跳變系統(tǒng)；事件觸發(fā)機(jī)制；量化；保性能控制

0 引 言

Markov跳變系統(tǒng)(Markov jump systems，MJSs)是一類多模態(tài)系統(tǒng)，不同模態(tài)之間的轉(zhuǎn)移通過Markov鏈的作用來實(shí)現(xiàn)，它可以描繪很多實(shí)際系統(tǒng)，如通信系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生物和醫(yī)藥系統(tǒng)等[1]，因此引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，在過去的幾十年中已出現(xiàn)了大量文獻(xiàn)，其中有對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，也有對(duì)H∞控制問題的討論[2-6]。

同時(shí)，隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems，NCSs)在現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛運(yùn)用。在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，傳感器信號(hào)和控制器信號(hào)通過公共的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)傳輸，然而實(shí)際中網(wǎng)絡(luò)帶寬是有限的。為了減少不必要的網(wǎng)絡(luò)信號(hào)傳輸，節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源，Arzen[7]提出了一種新方法，稱為事件觸發(fā)機(jī)制，其基本思想為：只有滿足觸發(fā)條件時(shí)控制任務(wù)才被執(zhí)行。跟傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制相比，采用事件觸發(fā)機(jī)制能有效減少數(shù)據(jù)傳輸。另一種解決網(wǎng)絡(luò)帶寬有限問題的方法是量化。近幾十年來，學(xué)者們針對(duì)量化情況下不同的系統(tǒng)(線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng))做了深入研究。如：Elia等[8]針對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)，在考慮狀態(tài)量化的情況下，利用Lyapunov函數(shù)研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性；Xiao等[9]針對(duì)Markov跳變系統(tǒng)，利用扇形有界法討論了量化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響。但是，有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬使得數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)交換時(shí)會(huì)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包及錯(cuò)序等現(xiàn)象。目前，針對(duì)網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)，許多學(xué)者采用不同的方法討論了考慮網(wǎng)絡(luò)時(shí)延情況下的H∞控制問題[10]和濾波問題[11]。然而這些成果大多是基于時(shí)間觸發(fā)方式，不利于節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。

此外，保性能控制是一種在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)滿足一定性能指標(biāo)的控制方法。從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，絕大多數(shù)關(guān)于保性能控制的文獻(xiàn)都采用周期觸發(fā)方式[12-14]，同時(shí)考慮事件觸發(fā)和量化的文獻(xiàn)甚少。雖然Hu等[15]在考慮量化及事件觸發(fā)機(jī)制的影響下，研究了一類不確定線性連續(xù)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，但并沒有考慮Markov跳變系統(tǒng)。

基于以上分析，本文針對(duì)Markov跳變系統(tǒng)，研究了事件觸發(fā)機(jī)制下的量化保性能控制問題。首先為減少網(wǎng)絡(luò)通道中的數(shù)據(jù)傳輸和提高有限網(wǎng)絡(luò)資源的利用率，引入了一種離散事件觸發(fā)機(jī)制；為提高數(shù)據(jù)傳輸能力，設(shè)置了對(duì)數(shù)量化器，然后通過時(shí)滯間隔分析法建立Markov跳變時(shí)滯系統(tǒng)模型，結(jié)合線性矩陣不等式分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性，并設(shè)計(jì)了保性能控制器；最后通過一個(gè)仿真驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)描述

基于事件觸發(fā)機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，其中被控對(duì)象假定為Markov跳變系統(tǒng)，方程描述如下：

(1)

其中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為系統(tǒng)的控制輸入；Rn為n維向量空間；Rm為m維向量空間；A(r(t))和B(r(t))為與系統(tǒng)相應(yīng)維數(shù)的定常矩陣；r(t)為一個(gè)取值于有限集S={0,1,2,…,s}的連續(xù)時(shí)間離散狀態(tài)齊次Markov隨機(jī)過程；記Markov概率轉(zhuǎn)移矩陣為Π=(λij)(i,j∈S)；λij表示從模態(tài)i跳變到模態(tài)j的轉(zhuǎn)移率，并且滿足如下的條件：

當(dāng)r(t)=i∈S時(shí)，A(r(t))，B(r(t))分別記為Ai，Bi。

圖1 事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

為了簡化研究，本文進(jìn)行如下的設(shè)定：

a) 假設(shè)網(wǎng)絡(luò)通道中數(shù)據(jù)單包傳輸，無數(shù)據(jù)包丟失[16]。

b) 被控系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可測(cè)的[17]。采樣周期為h，采樣時(shí)刻記為sk，(k=0,1,2,…,∞)，即sk=kh。采樣狀態(tài)x(sk)在tk時(shí)刻由事件發(fā)生器傳送給量化器，其中tk∈N。在采樣器和控制器端引入對(duì)數(shù)量化器，分別記為fi和gi(i∈S)。為簡單起見，設(shè)定不同子模態(tài)的量化器相同，即fi=f,gi=g.

本文將用到如下記號(hào)：

a) 在分塊矩陣中，用I，0分別記單位矩陣和零矩陣，其階數(shù)由適維性決定。

b) diag{a1,…,an}表示由元素a1,…,an構(gòu)成的對(duì)角矩陣，符號(hào)*表示對(duì)稱位置的塊矩陣。

1.2 基于事件觸發(fā)機(jī)制的系統(tǒng)模型

將系統(tǒng)(1)中當(dāng)前狀態(tài)記作x(kh)，傳輸出去的狀態(tài)記為x(tkh)，那么只有滿足以下關(guān)系的數(shù)據(jù)才能被傳輸：

(2)

其中：Φi為需要設(shè)計(jì)的正定對(duì)稱加權(quán)矩陣；ε∈(0,1]為給定的常數(shù)參數(shù)。

(3)

其中：τtk為總的網(wǎng)絡(luò)時(shí)延；Ki為帶設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益。

在采樣器端，量化器f定義為f(x)=[f1(x1)f2(x2)…fn(xn)]T，其中對(duì)數(shù)量化器fs(xs)(s=1,2,…,n)定義為:

(4)

f(x)=(I+Δf)x

(5)

(6)

在本文中，為簡便，假設(shè)δfs=δf，δgr=δg，其中δf和δg是兩個(gè)常數(shù)。結(jié)合式(3)—(6)，考慮到零階保持器的作用，得到:

u(t)=(Ki+ΔKi)x(tkh),t∈[tkh+τtk,tk+1h+τtk+1)

(7)

其中ΔKi=ΔgKi+KiΔf+ΔgKiΔf。把式(7)帶入(1)，得到:

(8)

運(yùn)用與文獻(xiàn)[20]類似的方法，假設(shè)存在一個(gè)正整數(shù)q使得tk+1=tk+q+1，那么可以將區(qū)間[tkh+τtk,tk+1h+τtk+1)分割成q+1個(gè)子區(qū)間，表示如下:

(9)

其中:Ωn=[tkh+nh+τtk+n,tkh+(n+1)h+τtk+n+1),tk+1=tk+n+1。狀態(tài)x(tkh),x(tkh+nh)，n=1,2,3,…,q滿足:

[x(tkh+nh)-x(tkh)]TΦi[x(tkh+nh)-x(tkh)]≤εxT(tkh+nh)Φix(tkh+nh)

(10)

定義函數(shù):

τ(t)=t-tkh-nh,t∈Ωn

(11)

可以容易得到時(shí)變時(shí)延取值范圍：

另外，定義誤差向量:

ek(t)=x(tkh+nh)-x(tkh),t∈Ωn

(12)

結(jié)合式(10)—(12)，當(dāng)t∈[tkh+τtk,tk+1h+τtk+1)，得到:

(13)

由式(8)及(12)，得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

(14)

其中φ(t)是x(t)的初始函數(shù)。

結(jié)合系統(tǒng)(1)，定義如下性能函數(shù)：

(15)

其中W和V是正定對(duì)稱矩陣。

本文的主要任務(wù)是針對(duì)系統(tǒng)(1)，在事件觸發(fā)機(jī)制(2)和量化(5)—(6)的作用下，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋保性能控制器u*(t)，使得閉環(huán)系統(tǒng)(14)是穩(wěn)定的，并且存在J*使得保性能函數(shù)值滿足J≤J*。

2 主要結(jié)果

2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1 給定參數(shù)0≤ε<1，τm，τM和狀態(tài)反饋增益Ki，如果存在正定對(duì)稱矩陣Pi>0，Q1>0，Q2>0，R1>0，R2>0，Фi>0(i∈S)，W>0，V>0及適當(dāng)維數(shù)的矩陣M，N，滿足以下的線性矩陣不等式：

(16)

其中：

那么閉環(huán)系統(tǒng)(14)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

在定理1的推導(dǎo)過程中，本文通過引入自由加權(quán)矩陣來處理交叉項(xiàng)，減少了結(jié)果的保守性。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

(17)

其中：

那么閉環(huán)系統(tǒng)(14)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且狀態(tài)反饋保性能控制器為:

成本函數(shù)滿足:

(18)

(19)

其中：

3 仿 真

假設(shè)系統(tǒng)(1)由兩個(gè)模態(tài)構(gòu)成：

模態(tài)1:

模態(tài)2：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

假設(shè)采樣周期為h=0.10 s，初始條件為x0(t)=[0 0.10]T，W=diag{0.10 0.10}，V=1。為簡單起見，假設(shè)兩個(gè)對(duì)數(shù)量化器有相同的量化指標(biāo)，即δf=δg=δ，并給定τM=0.01 s。根據(jù)定理3，通過簡單的計(jì)算得到不同的觸發(fā)系數(shù)ε與最大時(shí)延上界τM，30 s內(nèi)數(shù)據(jù)傳輸?shù)拇螖?shù)n及保性能值J*的關(guān)系，見表1。從表中可以看到觸發(fā)系數(shù)ε越大，傳輸次數(shù)越小。

表1 不同的τM對(duì)應(yīng)的不同其他值

給定觸發(fā)系數(shù)ε=0.15,可以得到量化與最大時(shí)延上界τM的關(guān)系，結(jié)果如表2所示，結(jié)果顯示，量化減小了最大時(shí)延上界τM，這意味著網(wǎng)絡(luò)通訊負(fù)載減小了。

表2 不同的δ對(duì)應(yīng)的最大時(shí)延上界τM

當(dāng)ε=0.1，τM=0.5 s，δ=0.1時(shí)，根據(jù)定理3可以計(jì)算得到狀態(tài)反饋增益為：

觸發(fā)矩陣為：

如圖2是系統(tǒng)模態(tài)轉(zhuǎn)移圖，由于跳變是隨機(jī)的，這里只是給出了一種可能的模態(tài)切換情況。圖3表示的是閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線圖，從圖中可以清楚地看到兩條狀態(tài)響應(yīng)曲線最終趨于0，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖4描述了數(shù)據(jù)在仿真期間的觸發(fā)時(shí)刻，采樣時(shí)間為30 s，采樣300次，只有87個(gè)觸發(fā)點(diǎn)，只占所有采樣信號(hào)的29%，減少了數(shù)據(jù)發(fā)送率，說明本文的設(shè)計(jì)的方法效果良好。

圖2 模態(tài)轉(zhuǎn)移圖

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4 事件觸發(fā)時(shí)刻及觸發(fā)間隔變化

4 結(jié) 論

本文考慮數(shù)據(jù)量化及時(shí)變傳輸時(shí)延的影響，同時(shí)引入事件觸發(fā)機(jī)制，討論了網(wǎng)絡(luò)化Markov跳變系統(tǒng)的保性能控制問題。通過設(shè)置事件發(fā)生器和量化器，減少了數(shù)據(jù)傳輸率，減少了網(wǎng)絡(luò)負(fù)載，并利用Lyapunov-Krasovskii泛函得到閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件，該條件同時(shí)刻畫了時(shí)延、量化及事件觸發(fā)參數(shù)之間的相互制約關(guān)系，根據(jù)該條件設(shè)計(jì)了保性能控制器。本文的研究解決了網(wǎng)絡(luò)帶寬有限的問題，設(shè)計(jì)的保性能控制器在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)保證系統(tǒng)的性能指標(biāo)最優(yōu)。仿真實(shí)例表明本文設(shè)計(jì)的方法提高了網(wǎng)絡(luò)資源利用率。

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(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Quantization Guaranteed Performance Control of Markov Jump System Based on Event-Triggered Mechanism

XIONG Weiwei, WANG Huijiao

(Faculty of Mechanical Engineering and Automation, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

In this paper, the design of quantization guaranteed performance controller of continuous Markov jump system is studied according to event-triggered mechanism. To solve the problem of limited bandwidth, and improve the utilization ratio of network resources, a discrete event-triggered mechanism is adopted at the sampling apparatus, and logarithmic quantizers are set in the state feedback channel and the control input channel respectively; a new Markov jump system model is built with the time delay system approach; the sufficient conditions for gradually stabilizing the closed-loop feedback system and meeting the guaranteed performance index are obtained by establishing Lyapunov-Krasovskii functional, and a guaranteed performance controller is designed. Concerning this method, the influence of network delay is taken into account, which conforms to the actual situation of network, and network load is largely reduced by setting the event generator and logarithmic quantizers. The effectiveness of this method has been verified by means of simulation results.

Markov jump system; event-triggered mechanism; quantization; guaranteed performance control

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.09.011

2017-05-21 網(wǎng)絡(luò)出版日期： 2017-08-07

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61473264);浙江省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(LZ17F030002)

熊偉偉(1991-)，男，浙江慈溪人，碩士研究生，主要從事事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制方面的研究。

王惠姣，E-mail:hjwang@zstu.edu.cn

TP273

A

1673- 3851 (2017) 05- 0669- 07