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        一道高考模擬試題的探究

        2016-11-25 06:12:18北京市第十二中學(xué)高中部100071
        關(guān)鍵詞:結(jié)合法動(dòng)點(diǎn)最值

        北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

        劉 剛 趙 毅

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        一道高考模擬試題的探究

        北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

        劉 剛 趙 毅

        1.試題

        試題以單位圓、等腰直角三角形等基本圖形為背景考查了線段長度最值問題.為了揭示題目的本質(zhì)特點(diǎn),不給學(xué)生增加討論的煩惱,題目規(guī)定了點(diǎn)C在第一象限內(nèi),體現(xiàn)了人性化、大氣、不在細(xì)枝末葉上糾纏的命題理念.試題解法多樣,綜合性強(qiáng),可謂是內(nèi)涵豐富,精彩紛呈,是一道好題.

        2.解法

        思路一:數(shù)形結(jié)合法

        在問題解決的過程中,表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)至關(guān)重要.由于試題中涉及到了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B,C,這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)存在一定的關(guān)系,所以可以通過設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)來表示點(diǎn)C的坐標(biāo),借助點(diǎn)B的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系求線段最值.也可以設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)進(jìn)一步表示點(diǎn)B的坐標(biāo),利用點(diǎn)B在已知曲線上找出點(diǎn)C坐標(biāo)所滿足的關(guān)系從而求最值.

        圖1

        點(diǎn)評(píng):在得出點(diǎn)C坐標(biāo)后,可以結(jié)合坐標(biāo)判斷出點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)(2,2)為圓心,半徑為1的右半圓,然后再從圖形的角度求最值會(huì)更簡單.

        點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)是研究較復(fù)雜函數(shù)最值有利的工具,在應(yīng)用時(shí)注意函數(shù)的定義域以及比較導(dǎo)數(shù)為0時(shí)的函數(shù)值與端點(diǎn)函數(shù)值的大?。?/p>

        圖2

        點(diǎn)評(píng):在涉及用距離和角表示點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),可以用極坐標(biāo),這樣更加簡潔.當(dāng)然要注意極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,這樣才能取得更好的效果.

        思路二:幾何法

        本題除了用數(shù)形結(jié)合法以外,還可以結(jié)合圖形特點(diǎn)用幾何法進(jìn)行求解.通過構(gòu)造全等三角形或相似三角形判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡,從而利用圖形直接求最值.這種方法過程簡捷,深刻揭示了問題的本質(zhì).

        圖3

        點(diǎn)評(píng):由于本題是一道動(dòng)態(tài)問題,所以先判斷點(diǎn)B在特殊位置時(shí)點(diǎn)C的位置,通過分析圖形特點(diǎn),構(gòu)造全等三角形得到了點(diǎn)C的軌跡,從而求出了最值.

        圖4

        點(diǎn)評(píng):通過構(gòu)造相似三角形,把求OC長最值問題轉(zhuǎn)化為了求AD長的最值問題,借助點(diǎn)D的軌跡進(jìn)行求解.

        3 推廣

        由特殊到一般,將問題推廣,可以得到如下結(jié)論.

        圖5

        圖6

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