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        千樹萬樹梨花開——記一雙根號函數(shù)求最值的多角度思考

        2016-11-25 06:12:50江蘇省興化市第一中學225700
        中學數(shù)學研究(江西) 2016年11期
        關鍵詞:雙根千樹根號

        江蘇省興化市第一中學 (225700)

        舒結高*

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        千樹萬樹梨花開
        ——記一雙根號函數(shù)求最值的多角度思考

        江蘇省興化市第一中學 (225700)

        舒結高*

        該題型在一些雜志和試卷中也有偶見,筆者認為作為填空題的壓軸題,用來考查學生的綜合運用能力,對學生而言,肯定會有很多想法.但考后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),該題得分率較低.學生普遍認為真正入手解決這個問題卻非易事.“入口難、思路打不開”是絕大部分學生遇到的困境.

        1.導數(shù)法來探路

        求導是解決復雜函數(shù)的常用之法,考慮對原函數(shù)進行求導.

        點評:利用導數(shù)求最值思路清晰,也是學生容易想到的方法.但是有時只能“望梅止渴”,畢竟一些函數(shù)求導數(shù)還是比較復雜的,就像本題的雙根號問題,很多學生只是想用導數(shù),卻沒有膽量去嘗試算算,進而沒求出結果.

        2.三角換元試試看

        3.向量法來幫忙

        圖1

        4.雙換元是通法

        利用構造法,產生了兩個向量,如果我們直接采用雙換元,那會不會變成我們常見的問題呢?

        圖2

        這就變成了易處理的直線與圓的位置關系,再根據(jù)線性規(guī)劃,就可以直接求出最值.

        點評:歸納剛才的解法,這樣的雙根號問題,一般包含兩種類型:

        *作者現(xiàn)為青海師大2014級數(shù)學教育碩士.

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