江蘇省蘇州第十中學 (215006)
項燕英
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一道2016年高考題的別解及推廣
江蘇省蘇州第十中學 (215006)
項燕英
2016年高考(四川卷)理科20題為
(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;
(2)設O是坐標原點,直線l′平行于OT與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線l交于點P. 證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
為方便,下面均假設相關直線斜率存在,若有斜率不存在的,只要在λ中令k→∞,所有結論全都成立.
別證二要基于伸縮變換幾個簡單的性質(zhì):
根據(jù)上述方法,將情況一般化,不難得到
結論的證明與證法一、二完全相同,從略.更一般的,有
很顯然,當k+k′=0時,λ=1,于是有
結論1,2中,若令a=b,則λ=1,此時橢圓變?yōu)閳A,結論即為圓的切割線定理和相交弦定理.
在結論1,2,3中,以-b2代b2,則可得到雙曲線中對應的結論:
證明從略. 在拋物線中有:
結論9 已知拋物線E:y2=2px(p>0),過不在拋物線上的點P作斜率互為相反數(shù)的兩直線分別與拋物線交于A、B和C、D,則|PC|·|PD|=|PA|·|PB|.
下面僅給出結論8的證明:
對結論3、6、9可以歸納為下面定理
定理 點P為不在圓錐曲線的一點,過點P作斜率互為相反數(shù)的兩直線分別與圓錐曲線交于A、B和C、D,則|PC|·|PD|=|PA|·|PB|.
上述定理非常有用,2016年四川文20題就是本定理的應用,讀者不妨一試.下面再舉一例說明.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點A,C,D的動圓記為圓Q,動圓Q過不同于A的定點,請求出該定點坐標.
本題(2) 常出現(xiàn)在各地各種考題中,常規(guī)方法難度大,運算量大,而用上述定理則極其簡單.