陳晨

【摘 要】導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算是高考的必考內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一般不單獨(dú)考查，而是滲透在其他題目中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義往往與解析幾何結(jié)合考查；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題等，往往與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相關(guān)知識(shí)綜合考查，涉及的思想主要有：函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想等。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及思想方法

一、考綱解讀

在導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算中能夠了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率與切線方程，能將平行或垂直直線間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)關(guān)系；熟記常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線斜率是高考熱點(diǎn)。

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中能夠了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件與充分條件，掌握求函數(shù)極值與最值的方法，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值及解決利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等實(shí)際生產(chǎn)、生活中的優(yōu)化問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值、結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點(diǎn)（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）。

二、解題方法與技巧

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則，掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的原則即：先化簡(jiǎn)求解析式，再求導(dǎo)。掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法：①連乘形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；②分式形式：觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；③對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；④根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；⑥復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo)。

2.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

（1）已知切點(diǎn)P（x0，f（x0）求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k=f?（x0）；

（2）已知斜率，求切點(diǎn)P（x1，f（x1），即解方程f?（x1）=k；

（3）求過(guò)某點(diǎn)Q（x1，f（x1）的切線方程，需分Q（x1，f（x1）是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解。若點(diǎn)Q（x1，f（x1）是切點(diǎn)，則切線方程為y-f（x1）=f?（x1）（x-x1）；若點(diǎn)Q（x1，f（x1）不是切點(diǎn)，則需先引入切點(diǎn)P（x0，f（x0），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程y-f（x0）=f?（x0）（x-x0），再將Q（x1，f（x1）代入切線方程得到關(guān)于x0的方程求出x0，最后將x0代入y-f（x0）=f?（x0）（x-x0）即可得到所求。

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法

法一：①求函數(shù)f（x）的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f?（x）；③在定義域內(nèi)解不等式f?（x）>0和f?（x）<0，若不等式中帶有參數(shù)，則一般需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；④利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

法二：①求函數(shù)f（x）的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f?（x）；③求f?（x）=0在定義域內(nèi)的一切實(shí)根；④用求得的根劃分定義域；⑤確定f?（x）在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

4.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍方法

（1）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)質(zhì)就是在該區(qū)間上f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）恒成立，可以直接構(gòu)造函數(shù)求最值轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題或分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而求得參數(shù)的取值范圍；

（2）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）在該區(qū)間上存在解集，把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題；

（3）若已知f（x）在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，轉(zhuǎn)化為集合間的基本關(guān)系討論，從而可求出參數(shù)的取值范圍。

5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值方法

（1）求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值步驟：求定義域→求導(dǎo)函數(shù)f?（x）→解方程f?（x）=0→檢驗(yàn)f?（x）=0的根的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)，若左正右負(fù)，則函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得極大值；若左負(fù)右正，則函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得極小值，可列表完成。

注意：上述過(guò)程中檢驗(yàn)不可缺，因?yàn)閒?（x）=0是x0為f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件，如f（x）=x3，f（0）=0，但x=0不是極值點(diǎn)。已知函數(shù)極值求參數(shù)值時(shí)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)為0和極值建立方程求出參數(shù)值后要檢驗(yàn)，如人教A版選修2-2導(dǎo)數(shù)習(xí)題“已知函數(shù)f（x）=x（x-c）2在x=2處有極大值，求的值”利用f?（2）=0可求出的值為2或6，用上述求極值的步驟檢驗(yàn)可得c=6。

求極值也可以按下列步驟解題：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)的大致圖像（注意分析函數(shù)值的變化情況）結(jié)合極值的定義下結(jié)論。

（2）已知可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上有極值，求參數(shù)取值范圍。

法一：由f?（x）在該區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行討論。

法二：由f?（x）=0分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求在該區(qū)間上的值域，數(shù)形結(jié)合分析。

法三：直接求函數(shù)在定義域內(nèi)的極值，由整體到局部分析，轉(zhuǎn)化為集合間的基本關(guān)系討論。

（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最值方法。若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f（a）與f（b）一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上有極值，先求出[a，b]上的極值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值f（a）與f（b）比較，其中最大的為函數(shù)的最大值，最小的為函數(shù)的最小值；若函數(shù)f（x）在（a，b）上有唯一的極值，則這個(gè)極值就是函數(shù)的最值，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到。endprint

（4）利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x），根據(jù)實(shí)際意義確定定義域→求函數(shù)y=f（x）的最值→還原到實(shí)際問(wèn)題中作答。

求最值含參數(shù)時(shí)解題思路是先“整體”后“局部”即：先求函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的最值，找出臨界點(diǎn)，再結(jié)合題目所給的區(qū)間數(shù)形結(jié)合分析所得圖像，利用最值定義可得。近幾年的高考題中，2011年山東卷21題在此部分有考查。

6.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題

（1）不等式的證明問(wèn)題的一般解題思路：從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性或最值得出不等關(guān)系整理得到結(jié)論。如證明f（x）1。第（1）問(wèn)考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)方程思想求出，利用分析法將命題轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)h（x）=xlnx，g（x）=xe-x-可求得h（x）在（0，）上單減，在（，+∞）上單增，從而有h（x）min=h（）=-，g（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，從而有h（x）min=g（1）=-，即可得x>0時(shí)h（x）>g（x），即證f（x）>1。

（2）不等式的恒成立問(wèn)題。“恒成立”與“存在性”問(wèn)題可看作一類問(wèn)題，一般都可通過(guò)求相關(guān)函數(shù)的最值來(lái)解決，如：

若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a恒成立，只需在給定區(qū)間中滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可；若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a成立，只需在給定區(qū)間中滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可。

7.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根

研究函數(shù)圖像的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)實(shí)質(zhì)是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面可以用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可以將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決。

三、例題分析

1.（2017全國(guó)卷II第21題，12分）已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0。（1）求a；（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

解題思路：求解第（1）問(wèn)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax-a-lnx，由g（1）=0，g（x）≥0可知g?（1）=0，可得a=1，當(dāng)a=1時(shí)，易知g（x）在（0，1）單減，在（1，+∞）上單增，從而有g(shù)（x）min=g（1）=0，故a=1；求解第（2）問(wèn)時(shí)，令h（x）=2x-2-lnx，則h?（x）=2-，易知，當(dāng)00，h（）<0，h（1）=0，由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性可得h（x）在（0，）上有唯一零點(diǎn)x0，在[，+∞）上有唯一零點(diǎn)1，然后證明f（x）有唯一的極大值點(diǎn)x0，進(jìn)而得到e-2

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，零點(diǎn)存在性定理，意在考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力、函數(shù)與方程思想以及分類討論思想。

2.（2017全國(guó)卷I第21題，12分）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x。（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解題思路：求解第（1）問(wèn)時(shí)，先求函數(shù)的定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)f?（x）=（aex-1）（2ex+1）分a≤0和a>0結(jié)合不等式的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性：a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單減，a>0，f（x）在（-∞，-lna）上單減，在（-lna，+∞）上單增；（2）結(jié)合第一問(wèn)的單調(diào)性易知a>0，求出此時(shí)f（x）min=f（-lna）=1-+lna，由f（x）min與0的大小關(guān)系可分a=1，a>1，0

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

導(dǎo)數(shù)的題綜合性較強(qiáng)，求解導(dǎo)數(shù)有關(guān)題的前提是掌握導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值和最值等，學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，靈活運(yùn)用其它知識(shí)解決問(wèn)題。