李遇春， 劉 哲， 王立時

(同濟(jì)大學(xué) 水利工程系，上海 200092)

基于多維模態(tài)方法的流體二維非線性強(qiáng)迫晃動分析

李遇春， 劉 哲， 王立時

(同濟(jì)大學(xué) 水利工程系，上海 200092)

基于多模態(tài)方法分析了二維容器內(nèi)液體的強(qiáng)迫非線性晃動問題，采用絕對速度勢函數(shù)描述動坐標(biāo)下的流體非線性運動，根據(jù)Bateman-Luke變分原理，將非線性自由邊值問題轉(zhuǎn)化為等效的泛函極值問題，將自由液面波高函數(shù)和絕對速度勢函數(shù)展開為廣義 Fourier 級數(shù)，得到相互耦合的有限維非線性模態(tài)系統(tǒng)(一組非線性常微分方程)，采用Runge-Kutta (龍格-庫塔)法求解非線性常微分方程組,從而得到液體的強(qiáng)迫非線性晃動響應(yīng),分別模擬并討論了矩形容器內(nèi)液體在強(qiáng)地震作用下的晃動響應(yīng)、在水平諧波作用下的普通共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、在豎向諧波作用下的參數(shù)共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，預(yù)測了液體在普通共振與參數(shù)共振共同作用下的液面響應(yīng)。將多模態(tài)結(jié)果與其它數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行了對比, 計算結(jié)果表明，多模態(tài)方法在長時間非線性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析上具有其獨特的優(yōu)勢。

多維模態(tài)；二維非線性晃動；強(qiáng)震響應(yīng)；共振響應(yīng)；參數(shù)共振響應(yīng)

在土木與水利工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中常常會遇到液體的強(qiáng)迫晃動計算問題，例如：貯液罐、渡槽、水庫、反應(yīng)堆冷卻水柜等結(jié)構(gòu)物在地震作用或其它周期性荷載(例如波浪等)下，液體的強(qiáng)迫晃動計算是貯液結(jié)構(gòu)設(shè)計中必須涉及的問題，一般需要計算液體自由表面上的波高反應(yīng)以及作用在容器壁上的液動壓力等。

Ibrahim[1]詳細(xì)綜述了液體強(qiáng)迫晃動的研究歷史與現(xiàn)狀，現(xiàn)有許多研究是基于小幅晃動假設(shè)進(jìn)行的，所得到的液體運動方程及邊界條件為線性方程，然而當(dāng)外部激勵較大時，或液體的晃動幅度較大時，液體運動的非線性項不可忽略，大幅晃動時，非線性的因素支配了流體動力學(xué)特性，這些特性用線性理論無法解釋，因此需要了解液體的強(qiáng)迫非線性晃動問題，由于液體晃動控制方程是非線性的，且自由液面位置事先是未知的，因而這個問題的研究和求解是相當(dāng)困難的，盡管現(xiàn)有許多數(shù)值方法[2], 例如：邊界元法[3-4]、有限元法[5]、SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)方法[6]等都能模擬流體的非線性晃動問題，但許多數(shù)值方法都難以模擬長時間的大幅晃動行為，難以從理論上去揭示晃動的非線性特征。解析(或半解析)方法仍然是液體晃動問題研究的一個重要方法，一般采用流體勢流理論來分析液體的晃動，但通常都局限于小幅線性晃動問題[7-8]，F(xiàn)altinsen等[9]于2000年提出了液體有限幅晃動的多維模態(tài)解析方法，并用這個方法研究矩形容器內(nèi)液體的非線性晃動特征，余延生等[10]采用多維模態(tài)方法分析了圓柱形貯液容器內(nèi)液體的非線性晃動問題。對于矩形容器內(nèi)的二維晃動問題，F(xiàn)altinsen等最后推導(dǎo)結(jié)果的部分計算系數(shù)有誤，且并未討論在地震激勵、參數(shù)激勵等作用下的非線性強(qiáng)迫晃動問題。

本文基于Faltinsen等的研究，詳細(xì)給出二維非線性晃動的多維模態(tài)方法的推導(dǎo)過程，采用多維模態(tài)方法模擬了矩形容器內(nèi)液體在強(qiáng)地震作用下的晃動響應(yīng)、模擬了在諧波作用下的共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，模擬了液體的參數(shù)晃動，并預(yù)測液體在普通共振與參數(shù)共振共同作用下的液面響應(yīng)。

1 二維非線性強(qiáng)迫晃動運動方程

2Φ=0 (x,z)∈Ω(t)

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：g為重力加速度；n為液體區(qū)域Ω(t)表面的外法線向量，其中

(5)

式中，i，k為單位基矢量。上述自由表面邊值問題中：式(1)為液體連續(xù)性方程，式(2)為固壁邊界條件，式(3)為自由液面運動學(xué)邊界條件，式(4)為自由液面動力學(xué)邊界條件。上述方程組的待求未知量為絕對速度勢函數(shù)Φ(x,z,t)及波高函數(shù)h(x,t)。

圖1 二維容器中液體的非線性晃動Fig.1 Nonlinear sloshing of fluid in a 2D tank

由Bernoulli方程，液體區(qū)域Ω(t)內(nèi)的液體壓力p可由式(6)確定

(6)

式中,ρ為液體的質(zhì)量密度。于是作用在二維容器(單位厚度)上的力F(t)與力矩M(t)分別為

(7)

式中,r=xi+zk為液體粒子在坐標(biāo)下的徑向矢量。

2 基于壓力積分的Bateman-Luke變分原理

利用Bateman-Luke變分原理[11-12]，描述液體晃動的非線性自由表面邊值問題式(1)～式(4)可由下列函數(shù)極值的必要條件得到

(8)

式中，L即Lagrange函數(shù)，L為下列壓力積分

L=∫∫Ω(t)pdxdz=-ρ∫∫Ω(t)×

(9)

注意到泛函J為絕對速度勢函數(shù)Φ(x,z,t)及波高函數(shù)h(x,t)的函數(shù)，泛函J取極值的必要條件為

δJ=δJ(Φ,h)=-ρδ×

(10)

其中函數(shù)Φ(x,z,t)及h(x,t)應(yīng)滿足式(11)

(11)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的變分規(guī)則，對式(10)進(jìn)行變分運算有

(12)

(13)

(14)

(15)

在濕邊界上?Sw(t)上，vr=0，所以式(14)等同于式(2)；在自由邊界上?Sf(t)上，vr·n=ht(nz·n)=ht/|F|(其中：nz=(0,1)T，n=F/|F|，F(xiàn)=(-?h/?x,1)T)，所以式(15)等同于式(3)。

由以上推導(dǎo)可以看出Bateman-Luke變分方程式(10)與液體晃動的控制方程與全部邊界條件完全等價，變分方程式(10)表達(dá)了一個極其完美的變分原理，這樣一個復(fù)雜非線性邊值問題(式(1)～式(4))可轉(zhuǎn)化為一個泛函J的極值問題，通過求解泛函J的極值問題從而得到原問題的解答。

3 基于變分原理的有限幅晃動非線性微分方程組(模態(tài)系統(tǒng))

將絕對速度勢函數(shù)按式(16)展開

Φ(x,z,t)=v0·r+φ(x,z,t)

(16)

式中：v0·r為牽連速度勢；φ(x,z,t)為相對速度勢，將式(16)代入式(1)～式(3)得

(17)

將自由液面波高函數(shù)h(x,t)和相對速度勢函數(shù)φ(x,z,t)展開為下列的Fourier 級數(shù)

(18)

(19)

式中：βn(t)、Rn(t)(n=1,2,3,…)為廣義坐標(biāo)；hn(x)(n=1,2,3,…)為自由表面模態(tài)基函數(shù)，它與自由表面的振型函數(shù)一樣，是一個完備的正交函數(shù)系；φn(x,z)(n=1,2,3,…)也為一個完備的函數(shù)系，由于這種完備性，可以保證上述的級數(shù)解能收斂到真實解答。實際應(yīng)用時，φn(x,z)及hn(x)可取為(線性)液體系統(tǒng)的特征函數(shù)，這些特征函數(shù)可由線性模態(tài)分析得到。

將Φ的分解表達(dá)式(16)代入式(9)得

(20)

式中，

(21)

Lagrange函數(shù)的獨立變量變?yōu)棣耼(t)及Rn(t)(n=1,2,3,…)，將(20) 式代入(10)式，有

(22)

上面的推導(dǎo)中，系數(shù)l1，l2，An，Bnk均默認(rèn)為βn(t) (n=1,2,3,…)的函數(shù)。由于δβi，δRn(t)可為任意值，要使式(22)成立，必須有

(23)

(24)

式(23)與式(24)為描述液體二維有限幅晃動的(無窮維)非線性微分方程組。式(23)將變量βn(t)及Rn(t)聯(lián)系在一起，可通過漸近近似方法將Rn(t)表示為βn(t)的函數(shù)關(guān)系，將其代入式(24)，便可得到關(guān)于βn(t)的二階非線性常微分方程組，采用數(shù)值方法可求解這個非線性常微分方程組，得到βn(t)的時程解，進(jìn)而可得到Rn(t)的時程解，最后再代入式(18)與式(19)，得到問題的解答。

基于變分原理將一個連續(xù)系統(tǒng)的非線性邊值問題轉(zhuǎn)化為一個無窮自由度離散系統(tǒng)的動力學(xué)問題，這個離散系統(tǒng)也稱之為(非線性)模態(tài)系統(tǒng)，相對于原始系統(tǒng)而言，求解這個非線性模態(tài)系統(tǒng)動力學(xué)問題要簡單得多。

4 二維矩形容器內(nèi)流體的非線性(有限幅)強(qiáng)迫晃動

4.1 有限幅晃動非線性微分方程組

考慮一個矩形容器(如圖2所示)，液體自由表面波高可由式(18)表示。根據(jù)線性模態(tài)分析的結(jié)果，對于矩形容器而言，式(18)與式(19)中的完備基函數(shù)可以取為

(25)

圖2 矩形容器內(nèi)液體的有限幅晃動Fig.2 Finite-amplitude sloshing of fluid in a rectangular tank

于是式(18)與式(19)具有下列形式

(26)

式(21)中的系數(shù)均與自由表面波高函數(shù)h(x,t)有關(guān)，僅取其表達(dá)式(26)的前三項(i=1,2,3)，將式(21)中的系數(shù)都展為βi的冪級數(shù)，經(jīng)逐項積分得

(27)

其中，

(28)

另外設(shè)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

以上方程的系數(shù)按下式計算

(34)

(35)

在進(jìn)行動力(地震)響應(yīng)的非線性晃動分析時，若僅考慮前三個(非線性)模態(tài)的影響，可采用非線性微分方程式(31)～式(33)進(jìn)行數(shù)值求解，由于液體晃動第一階模態(tài)具有主要貢獻(xiàn)，因此取前三階模態(tài)方程進(jìn)行計算，通?？色@得較好的計算精度。具體求解方程式(31)～式(33)時，首先需要將二階常微分方程組化為標(biāo)準(zhǔn)的一階常微分方程組，引入下列的變量替換

(36)

于是方程式(31)～式(33)變?yōu)橄铝械囊浑A微分方程組

(37)

(38)

其中，

(39)

初始條件為

(40)

4.2 非線性強(qiáng)迫晃動算例

(1)水平地震作用下的非線性晃動響應(yīng)

設(shè)矩形容器內(nèi)靜止水截面尺寸為2a=8.0 m，H=6.0 m，容器內(nèi)流體的一階自然晃動頻率為ω1=1.94 rad/s，采用EL-Centro(N-S)地震波(峰值加速度為3.417 m/s2)作為水平地面加速度，采用非線性微分方程組式(38)進(jìn)行數(shù)值求解，圖3為無阻尼情形下(ζ1=ζ2=ζ3=0)波高h(yuǎn)(a,t)地震響應(yīng)曲線，同時采用邊界元法及有限體積法(Fluent程序)進(jìn)行相同的計算，計算結(jié)果見圖3，從圖中可以看出三個方法得到的結(jié)果比較吻合，多模態(tài)結(jié)果與有限體積法(Fluent程序)得到的結(jié)果吻合良好，表明多模態(tài)理論與公式正確。

圖3 EL-Centro(N-S)水平地震作用下的波高地震響應(yīng)Fig.3 Wave-height response to EL-Centro (N-S) seismic excitation

(2)水平諧波激勵下的非線性共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖5(a)為采用多模態(tài)方法得到的無阻尼情形下的

波高的共振反應(yīng)曲線，由圖可以看出，在共振初始階段，流體的晃動幅度呈線性逐步增大，當(dāng)達(dá)到最大值后，晃動幅度不再增大，振幅出現(xiàn)了時大時小的所謂“拍”現(xiàn)象，在某些實驗中已觀察到這一現(xiàn)象；圖5(b)為有阻尼情形下(ζ1=ζ2=ζ3=0.01)的共振反應(yīng)曲線，由圖可以看出，晃動的“拍”現(xiàn)象消失，說明阻尼將晃動響應(yīng)“抹平”了。

在線性晃動理論中，線性方程預(yù)測的共振幅值將無限增大，這是因為線性方程中未考慮非線性項的影響，當(dāng)晃動幅值較大時，非線性項將起到越來越大的作用，非線性項抑制了晃動幅度的無限增大，從而出現(xiàn)了有限幅的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。某些數(shù)值方法(如邊界元法、SPH方法等)很難模擬長時間的穩(wěn)態(tài)大幅響應(yīng)，而多模態(tài)方法在很長的時間內(nèi)具有良好的數(shù)值計算穩(wěn)定性，這正是多模態(tài)方法的突出優(yōu)點。

圖4 諧波作用下的共振響應(yīng)(無阻尼)Fig.4 Resonance response to harmonic excitation (without damping)

圖5 多模態(tài)共振響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解Fig.5 Steady-state solutions of resonant response by the multimodal method

圖6 參數(shù)共振響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解Fig.6 Steady-state solutions of parametric resonant response by the multimodal method

(3)豎向諧波激勵下的參數(shù)共振響應(yīng)

(4)普通共振與參數(shù)共振同時發(fā)生的液體晃動響應(yīng)

圖7 普通共振與參數(shù)共振同時發(fā)生時的波高響應(yīng)Fig.7 Wave-height response to the combination of the ordinary and parametric resonances

5 結(jié) 論

本文基于多模態(tài)方法分析了二維容器內(nèi)液體的強(qiáng)迫非線性晃動問題，本文分別模擬了矩形容器內(nèi)液體在強(qiáng)地震作用下的晃動響應(yīng)，模擬了在水平諧波作用下的共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，模擬了豎向諧波作用下的參數(shù)共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，兩種共振響應(yīng)結(jié)果與實驗現(xiàn)象相符；預(yù)測了液體在普通共振與參數(shù)共振共同作用下的液面響應(yīng)。本文將多模態(tài)結(jié)果與其它數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行了對比分析, 結(jié)果表明: 在液體晃動幅度不大時，多模態(tài)結(jié)果與其它方法的結(jié)果吻合良好，但液面幅度較大時，多模態(tài)方法具有其獨特的優(yōu)勢，特別適用于液體長時間的非線性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析。

由于多模態(tài)法為解析方法，依賴于表面波函數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)外加激勵幅值較大時，自由表面波可能破碎(不連續(xù))，這時多模態(tài)方法將不再適用。

[ 1 ] IBRAHIM R A. Liquid sloshing dynamics: theory and applications [M]. Cambridge: Cambridge University Press， 2005.

[ 2 ] IBRAHIM R A, PILIPCHUK V N, IKEDA T. Recent advances in liquid sloshing dynamics [J]. Applied Mechanics Reviews, 2001, 54(2):133-199.

[ 3 ] NAKAYAMA T, WASHIZU K. The boundary element methd applied to the analysis of two-dimensional nonlinear sloshing

problems [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1981,17:1631-1646.

[ 4 ] 李遇春，樓夢麟. 渡槽中流體非線性晃動的邊界元模擬[J].地震工程與工程振動,2000,20(2):51-56. LI Yuchun, LOU Menglin. BEM simulation of nonlinear sloshing for aqueduct fluid [J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2000,20(2):51-56.

[ 5 ] RAMASWAMY B, KAWAHARA M. Arbitray Lagrangian-Eulerian finite element method for unsteady, convective, incompressible viscous free surface fluid flow [J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1987, 7(10):1053-1075.

[ 6 ] WANG L, WANG Z, LI Y. A SPH simulation on large-amplitude sloshing for fluids in a two-dimensional tank [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2013, 12(1):135-142.

[ 7 ] 房忠潔, 周叮, 王佳棟,等.帶隔板的矩形截面渡槽內(nèi)液體的晃動特性[J].振動與沖擊,2016,35(3):169-175. FANG Zhongjie,ZHOU Ding,WANG Jiadong,et al.Sloshing characteristics of liquid in a rectangular aqueduct with baffle[J].Journal of Vibration and Shock,2016,35(3):169-175.

[ 8 ] LI Y, WANG J. A supplementary， exact solution of an equivalent mechanical model for a sloshing fluid in a rectangular tank[J]. Journal of Fluids and Structures， 2012，31(5):147-151.

[ 9 ] FALTINSEN O M, ROGNEBAKKE O, LUKOVSKY I A, et al. Multidimensional modal analysis of nonlinear slsohing in rectangular tank with finite water depth [J]. Journal of Fluid Mechanics, 2000,407:201-234.

[10] 余延生, 馬興瑞, 王本利. 利用多維模態(tài)理論分析圓柱貯箱液體非線性晃動[J].力學(xué)學(xué)報,2008,40(2): 261-266. YU Yansheng, MA Xingrui, WANG Benli. Analyzing liquid nonlinear sloshing in circular cylindrical tank by multidimensional modal theory [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008, 40(2): 261-266.

[11] LUKE J C. A variational principle for a fluid with a free surface [J]. Journal of Fluid Mechanics,1967, 27:395-397.

[12] FALTINSEN O M，TIMOKHA A N. Sloshing [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2009.

[13] 徐士良. FORTRAN常用算法程序集 [M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 1992.

[14] LI Y, WANG Z. Unstable characteristics of two-dimensional parametric sloshing in various shape tanks: theoretical and experimental analyses [J]. Journal of Vibration and Control, 2015, 6(2):349-359.

A multimodal-based analysis for two-dimensional fluid nonlinear forced sloshing

LI Yuchun, LIU Zhe, WANG Lishi

(Department of Hydraulic Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

The problem of fluid nonlinear forced sloshing in a two-dimensional tank was analyzed by using the multimodal method. The absolute velocity potential was introduced to describe the nonlinear motion of fluid in a moving frame. Based on the Bateman-Luke variational formulation, the nonlinear (free) boundary value problem was transformed into an equivalent functional extreme value problem. A finite-dimensional nonlinear coupled modal system (a set of nonlinear ordinary differential equations) was obtained by expanding the functions of free surface wave-height and the absolute velocity potential into the generalized Fourier series. By using the Runge-Kutta algorithm, the nonlinar ordinary differential equations could be solved, and the nonlinear forced sloshing responses were further acquired. The time-history response to strong seismic excitation, the stead-state common resonance response to the horizontal harmonic excitation, and the stead-state parametric resonance response to the vertical harmonic excitation were respectively simulated and discussed for the fluid in a rectangular tank. The combined resonance responses of the free surface to the horizontal and vertical harmonic excitations were further predicted. The solutions by the multimodal method were compared with those by other numerical formulations. The results show that the multimodal approach has its unique advantage in the long-time nonlinear analyses of stead-state responses.

multimodal; two-dimensional nonlinear sloshing; strong earthquake response; resonance response; parametric resonance response

國家自然科學(xué)基金資助項目(51279133)

2016-01-27 修改稿收到日期： 2016-06-16

李遇春 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年2月生

TV 312； O 353.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.025