張小明，唐 建，張梅軍

(中國人民解放軍理工大學 野戰(zhàn)工程學院，南京 210007)

基于奇異值分解的液壓信號時域分解方法

張小明，唐 建，張梅軍

(中國人民解放軍理工大學 野戰(zhàn)工程學院，南京 210007)

為了抑制模態(tài)混疊和降低分量中的噪聲含量，提出了一種基于奇異值分解的液壓信號時域分解方法。根據(jù)奇異值分解的兩點特性：①每個頻率成分對應兩個大小相當?shù)钠娈愔?；②各頻率對應的奇異值的大小與該頻率的振幅呈正相關，該方法先選取原信號中的某一頻率，向其中疊加頻率相同、振幅已知的周期信號，使疊加信號中該頻率的振幅最大，這樣與其對應的奇異值一定位于對角矩陣的前兩階，解決了原信號該頻率的奇異值階數(shù)無法確定的問題，繼而選取前兩階奇異值重構，再減去前步加入的周期信號，即還原出原信號中該頻率的時間序列。同樣，對于原信號中的其他頻率用相同方法處理，最終獲得一組分量。經(jīng)實驗，該方法較EMD不僅能有效消除模態(tài)混疊，而且降低了分量中的噪聲含量。

奇異值分解；構造信號；疊加信號；模態(tài)混疊；噪聲含量

液壓信號可以看成是由若干個不同頻率的頻率族分量組成，而每一個頻率族的分量所對應的幅值可以看成是調幅信號[1]，將這些成分單獨地分開是后續(xù)處理過程的關鍵步驟，在將液壓信號分解到不同的頻率通道中的研究中，主要有以下兩種方法：

(1) 小波分解及小波包分解。不同于小波分解僅對低頻部分繼續(xù)分解，小波包分解兼對低頻和高頻部分實施分解，以獲得更高的頻率分辨率。當需要獲得信號在一個頻段的時間序列的時候，可以重構該頻段的分解系數(shù)獲得。但是限于怎樣合適選取小波基函數(shù)及特定基函數(shù)對于特定信號是否適用，使得小波分解及小波包分解的應用于實測信號存在困難。

(2) EMD(Empirical Mode Decomposition)及其改進方法。EMD是由Huang等[2-3]提出的一種信號的時域分解方法，信號通過EMD被分解成一系列內稟模態(tài)函數(shù) (Intrinsic Mode Function， IMF)，這些IMF含有特定的頻率成分。在處理實測信號時，EMD主要存在兩點缺陷：

①模態(tài)混疊 (Mode Aliasing)。EMD分解的最理想的效果是每個IMF分量中僅含有一種頻率成分。而實測信號在分解時常會出現(xiàn)單個IMF分量中存在多個頻率成分，或者單個頻率成分會發(fā)散到不同的IMF分量中的現(xiàn)象，即模態(tài)混疊。為了改善模態(tài)混疊，Wu等[4]提出的EEMD (Ensemble Empirical Mode Decomposition)通過向原信號中加入多組白噪聲分解后再求平均的方法來抑制該缺陷，但該方法面臨著如何合適選取噪聲組數(shù)和方差的困難；Ryan等[5]提出掩膜信號法，通過對原信號分別加上和減去一個掩膜信號分別進行EMD分解，再對IMF分量做平均，趙玲等[6]對平均瞬時頻率進行修正來改進掩膜信號，但是針對不同的信號需要確定不同的掩膜信號，而且用希爾伯特變換估計出的瞬時頻率偏差比較大，該方法對分離振幅和頻段比較接近的信號效果并不好。

②IMF分量中噪聲含量較高。分解得到的IMF分量中有的分量的幅值譜中的波峰向兩邊發(fā)散較大，分量中參雜了不必要的噪聲成分。實際操作時，為了有效降低IMF分量中的噪聲含量，往往對實測信號先降噪，再分解。

奇異值分解 (Singular Value Decomposition， SVD)是一種通過矩陣運算對信號進行處理的方法，根據(jù)Hankel矩陣構造形式將一維信號構造成信號矩陣，該矩陣通過奇異值分解被分解成兩個酉矩陣和一個對角陣的乘積，該方法在信號處理尤其是信號降噪中有著廣泛的使用[7-12]。其中最具代表性的是趙學智等人提出的奇異值差分譜降噪方法，該方法合理地選擇了有效重構奇異值的階數(shù)，很好地從含噪信號中還原出理想信號。

根據(jù)奇異值分解的相關特性，本文提出了一種液壓信號的時域分解方法。該方法根據(jù)原信號中某一頻率的構造一相同頻率、振幅已知的周期信號，與原信號疊加，使得疊加信號中該頻率對應的奇異值所在階數(shù)可以確定，繼而選取這些階數(shù)上奇異值重構出疊加信號中該頻率的時間序列，再減去加入的周期信號，最終還原出原信號中該頻率的時間序列。在與EMD進行比較后，發(fā)現(xiàn)該方法不僅有效消除了模態(tài)混疊，而且降低了分量中的噪聲含量。

1 奇異值分解及其差分譜理論

1.1 奇異值分解理論

實測信號x可以根據(jù)Hankel矩陣形式被構造成一個m×n的信號矩陣Hx，矩陣構造形式為

(1)

式中：N為x的長度；1

對Hx進行奇異值分解

Hx=USVT

(2)

式中：U為m×m的酉矩陣；S為m×n的對角矩陣；V為n×n的酉矩陣。其中S可表示為

(3)

式中：∑=diag(σ1,σ2,…,σr) (σ1>σ2>…>σr>0)。

這種變換的本質是將原始信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加，而這一系列分量可以通過單獨選取S中的對角線上的單個奇異值重構獲得，而且重構出的信號的相位和它在原信號中疊加的相位是不變的，即具有零相位偏移特性。

1.2 奇異值差分譜理論

奇異值分解被有效用于信號的降噪中，在文獻[13]中，定義差分值bi來描述σi的變化情況

bi=σi-σi+1(1

(4)

式中，min(m，n)為Hankel矩陣行數(shù)和列數(shù)中的較小值。當bi達到最大值時，此時奇異值σi所代表的分量實現(xiàn)了從有用信號分量向噪聲分量的轉變，接下來選取該點及其之前的奇異值為有效奇異值，其他奇異值置零，然后通過式(2)重構出降噪后的信號矩陣，再重排矩陣元素獲得降噪信號。

2 基于奇異值分解的信號時域分解方法

2.1 方法的提出

本文提出的方法旨在消除分量中模態(tài)混疊，這就要求待分解的原信號必須是平穩(wěn)信號，因為平穩(wěn)信號中的頻率具有可數(shù)性和時不變性的特點，這就給原信號中不同頻率能夠被單獨分開提供了可能；同時原信號的截取應滿足采樣定理和足夠的采樣長度，這樣生成的序列才能重現(xiàn)振動波形中的所有頻率成分及獲得較高的頻率分辨率。文章開始提到液壓信號可以看成由不同頻率族分量的調幅信號組成，表示液壓信號同樣是平穩(wěn)信號，適合用本文提出的方法進行分解。

通過錢征文等[14]的研究和相關實驗，總結出奇異值分解在處理平穩(wěn)信號時存在以下兩點性質：

(1) 當原信號中除噪聲外僅含有一個頻率成分，該信號的Hankel矩陣經(jīng)分解后得到的對角陣S的前兩階的奇異值較大，而其他階奇異值很?。划敵肼曂夂袃蓚€頻率成分，分解后S的前4階的奇異值較大，而其他階奇異值很小。依此類推：當原信號除噪聲外含有k個頻率成分，經(jīng)分解后S的前2k階奇異值較大，其他階奇異值較小。而對于信噪比較高的信號，仍然滿足上述規(guī)律。

(2) 成對出現(xiàn)的奇異值的大小與該頻率的振幅呈正相關，即某頻率的振幅越大，經(jīng)分解后在S中得到的奇異值越大，它們在S中所處的階數(shù)越靠前。而奇異值大小與頻率大小無明顯關系。

現(xiàn)構造y1對以上性質加以說明，y1中含有4個分量，分量1是頻率10 Hz，振幅為1的正弦分量；分量2是頻率為20 Hz，振幅為2的正弦分量；分量3是頻率為30 Hz，振幅為3的正弦分量；分量4是均值為0，方差為1的白噪聲。y1的采樣頻率為1 000 Hz，含有1 024個采樣點。圖1是y1及其各分量的時域圖。

y1=sin(20πt)+2sin(40πt)+3sin(60πt)+wn

(5)

圖1 y1及各分量的時域圖Fig.1 y1’s components’ time-domain plots

構造y1的Hankel矩陣并對其進行奇異值分解，獲得U1、S1和V1。畫出S1對角線上奇異值隨其所在階數(shù)的變化火柴梗圖，如圖2所示。

圖2中可以發(fā)現(xiàn)，前6階奇異值(772.34、762.55、520.89、506.16、256.98、250.05)的數(shù)值比較大，為有用信號的奇異值，而之后的奇異值很小，為噪聲成分的奇異值。而且前6階奇異值可以很明顯地分成3組：772.34和762.55為一組；520.89和506.16為一組；256.98和250.05為一組。由前述的奇異值分解的性質可得：這3組奇異值由3個頻率成分分解獲得，而且這3個頻率成分的振幅依次遞減。再參照的的頻率組成可以確定：772.34和762.55是30Hz分量的奇異值，520.89和506.16時20Hz分量的奇異值，256.98和250.05為10Hz分量的奇異值。

圖2 奇異值-階數(shù)變化圖Fig. 2 Singular value-order plot

分別選取前3對奇異值重構出3個時間序列，圖3為3個序列時域圖及幅值譜。從圖3中可以明顯看出3個序列各自對應著y1中的30Hz、20Hz和10Hz的頻率成分，和前面的結論相吻合。

從上述過程可以看出，奇異值大小對振幅的分辨是敏感的，假設原信號中某個頻率成分的振幅最大，且在數(shù)值上較其他頻率的振幅占有絕對優(yōu)勢，那么該成分對應的奇異值一定位于對角陣S的前兩階，此時只要選取S的前兩階就可以重構出該頻率的時間序列。但是實測信號中也可能存在振幅相當?shù)念l率成分，這樣它們對應的奇異值大小也就難以區(qū)分。

圖3 3組奇異值重構出的時間序列的時域圖及幅值譜Fig.3 Time-domain plots and amplitude spectrums of three pairs singular values

擬定任意平穩(wěn)信號x的分解步驟

步驟1 從x的時域圖上得到它的振幅A，從幅值譜上準確得到其頻率成分f1、f2、…、fk(f1

(6)

(7)

步驟4 構造xnew的Hankel矩陣Hnew，對其進行奇異值分解，獲得兩個酉矩陣Unew和Vnew，一個對角矩陣Snew。

步驟5 選取Snew中的前兩階奇異值重構出一個信號xb1，xb1是疊加信號xnew中f1對應的時間序列。

(8)

步驟7 針對f2，重復步驟1～步驟6，最終得到原信號中fi(i=1,2,…,k)對應的時間序列xi(i=1,2,…,k)。

2.2 基于仿真信號的性能檢驗

實驗發(fā)現(xiàn)，EMD在分解含有頻率成分較接近的信號時易產(chǎn)生模態(tài)混疊，因此構造信號y2(見圖4)。

圖4 y2的時域圖Fig. 4 y2’s time-domain plots

y2中含有10Hz、12Hz和14Hz的頻率成分，且各成分振幅均為1。該信號含1 024個采樣點，采樣頻率為1 000Hz。

y2=sin(20πt)+sin(24πt)+sin(28πt)

(9)

先對y2進行EMD分解，圖5為IMF分量的時域圖和幅值譜。從圖5(b)中明顯地看出IMF1和IMF2中出現(xiàn)嚴重的模態(tài)混疊。

再對y2用提出方法進行分解，先從時域圖上得到y(tǒng)2的振幅為A2=2.93。據(jù)式(6)構造一個頻率為10Hz

(10)

圖6為xi、x2、x3的時域圖和幅值譜。從圖6(b)中可以看出每個幅值譜明顯只含有一種頻率成分，不存在模態(tài)混疊。且各頻率依次為10Hz、12Hz、14Hz，和原信號中的頻率成分吻合。且圖6(a)中xi的振幅都穩(wěn)定在1處，和原信號中的各頻率振幅一致。

圖5 IMF分量的時域圖和幅值譜Fig.5 IMF’s time-domain plots and amplitude spectrums

圖6 xi的時域圖和幅值譜Fig.6 xi’s time-domain plots and amplitude spectrums

2.3 基于液壓信號的性能檢驗

實驗所用的液壓綜合試驗臺上分布著泄漏控制閥、調速閥、氣穴控制閥和堵塞控制閥等。通過不同閥門的是否開合，開合大小的控制，來實現(xiàn)液壓系統(tǒng)不同工況的控制。圖7為實驗現(xiàn)場圖和傳感器布置圖。實驗采用121A100型壓電式IEPE加速度傳感器通過EMT690D信號采集儀與電腦連接。如圖7(b)中A點所示，傳感器通過磁力吸附在液壓缸的水平方向，來測取物塊提升過程中液壓缸的振動信號。

圖7 實驗相關圖片F(xiàn)ig.7 Experiment related pictures

分別測得液壓缸在堵塞，泄漏，氣穴工況的振動信號，y3，y4，y5是從3個信號中截取出的1 024個連續(xù)信號點，采樣頻率為1 000Hz，它們的時域圖如圖8所示。

(a) 堵塞信號y3

(b) 泄漏信號y4

(c) 氣穴信號y5圖8 不同狀態(tài)下信號的時域圖Fig.8 Signals of different status in time domain

2.3.1 堵塞信號y3的分解

(1) 本文提出的方法

作y3的幅值譜如圖9所示。

圖9 y3的幅值譜Fig.9 y3’s amplitude spectrum

從圖9中精確地得出幅值譜中的明顯頻率成分，分別為19.53Hz、38.09Hz、57.62Hz和173.80Hz，對應圖9中的f1、f2、f3、f4。再從圖8(a)中得到y(tǒng)3的振幅A3=2.28。

(11)

圖10中可以看出y3被單獨分解成了4個分量，不存在模態(tài)混疊。4個頻率分別是19.53 Hz、38.09 Hz、57.62 Hz和173.80 Hz。和圖9中y3的幅值譜中的主要頻率成分吻合，而且每個頻率的幅值和圖9中各頻率幅值相當，每個頻率被極大地提取出來。同時各分量的頻域譜線比較平滑，噪聲含量比較小。

(2) EMD分解

對y3先用小波閾值降噪后再進行EMD分解，得到一組IMF分量。圖11為IMF分量的時域圖和幅值譜。從圖11(b)中可以看出：①IMF1和IMF2發(fā)生了模態(tài)混疊；②IMF分量的頻域圖比較散亂，分量中噪聲含量較高。

圖10 xi的時域圖和幅值譜Fig.10 xi’s time-domain plots and amplitude spectrums

圖11 IMF分量的時域圖和幅值譜Fig.11 IMF’s time-domain plots and amplitude spectrums

2.3.2 泄漏信號y4的分解

(1) 本文提出的方法進行處理。

作y4的幅值譜如圖12所示。

圖12 y4的幅值譜Fig.12 y4’s amplitude spectrum

從圖12中精確地得出幅值譜中的明顯頻率成分，分別為19.53 Hz、39.06 Hz、57.62 Hz、77.15 Hz、154.30 Hz和173.80 Hz，對應圖12中的f1、f2、f3、f4、f5、f6。再從圖8(a)中得到y(tǒng)4的振幅A4=1.63。用提出的方法對y4進行分解，得到分量xi(i=1,2,…,6)。圖13為xi的時域圖和幅值譜。從圖中看出，經(jīng)分解后y4中的6個頻率成分被單獨分開，不存在模態(tài)混疊，且各頻率成分保持了原信號中的幅值，分量的頻域譜線仍比較光滑，噪聲含量較小。

(2) EMD分解。

對y3先用小波閾值降噪后再進行EMD分解，得到一組IMF分量。圖14為IMF分量的時域圖和幅值譜。從圖14(b)中可以看出IMF1和IMF2中存在著模態(tài)混疊，同時分量的頻域譜線仍比較雜亂，噪聲含量較高。

圖13 xi的時域圖和幅值譜Fig.13 xi’s time-domain plots and amplitude spectrums

圖14 IMF分量的時域圖和幅值譜Fig.14 IMF’s time-domain plots and amplitude spectrums

2.3.3 氣穴信號的分解

(1) 本文提出的方法進行處理。

作y5的幅值譜如圖15所示。

圖15 y5的幅值譜Fig.15 y5’s amplitude spectrum

從圖15中精確地得出幅值譜中的明顯頻率成分，分別為3.91 Hz、15.93 Hz、57.62 Hz、77.15 Hz和99.68 Hz，

對應圖15中的f1、f2、f3、f4、f5。再從圖8(a)中得到y(tǒng)5的振幅A4=1.94。用提出的方法對y5進行分解，得到分量xi(i=1,2,…,5)。圖16為xi的時域圖和幅值譜。經(jīng)分解，y5中的5個頻率成分被單獨分開，不存在模態(tài)混疊，且各頻率成分保持了原信號中的振動幅值，同樣各分量中噪聲含量較小。

(2) EMD分解。

對y5先用小波閾值降噪后再進行EMD分解，得到一組IMF分量。圖17為IMF分量的時域圖和幅值譜。從圖17(b)中可以看出IMF1和IMF2中存在著模態(tài)混疊，同時分量的頻域譜線仍比較雜亂，噪聲含量較高。

圖16 xi的時域圖和幅值譜Fig.16 xi’s time-domain plots and amplitude spectrums

圖17 IMF分量的時域圖和幅值譜Fig.17 IMF’s time-domain plots and amplitude spectrums

綜合液壓系統(tǒng)的三種工況的分解結果，將各工況下的原信號和分量中頻率及其幅值匯總至表1。

從表1中可以看出：

(1) 原信號經(jīng)分解后，分量中的頻率幅值都略有減小(用下降箭頭標出)，這是因為分解時每次僅選取前兩個較大的奇異值重構，而代表噪聲的小奇異值沒有參與重構，噪聲一直被壓制在剩余信號中，從而減小了噪聲在幅值譜中的疊加。

(2) 對比不同工況下的頻率組成，堵塞、泄漏信號含有四個相同的頻率(38.09Hz和39.06Hz被視為同一頻率)，但是泄漏信號多出了77.15Hz的中高頻分量和154.3Hz、173.8Hz的高頻分量，這就導致泄漏狀態(tài)下的執(zhí)行裝置的提升聲音更加尖銳。而氣穴信號相比其他兩種工況出現(xiàn)了幅值較大的3.91的低頻分量，導致氣穴狀態(tài)的工作聲音比較低沉。

表1 不同狀態(tài)下原信號和分量中頻率及其幅值

3 結 論

本文利用奇異值分解中奇異值對不同頻率振幅大小的分辨能力，提出了一種基于奇異值分解的液壓信號的時域分解方法，方法根據(jù)原信號的頻率組成，依次向其中疊加頻率相同、振幅已知的周期信號，再選取特定的奇異值重構，最終還原出每個頻率的時間序列。

分別通過仿真信號和液壓信號對該方法性能進行驗證，并與EMD的分解結果就模態(tài)混疊和噪聲含量做了比較。本文提出的方法不僅消除了分量中模態(tài)混疊，而且抑制了分量中的噪聲含量。

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A hydraulic signal decomposition method based on singular value decomposition

ZHANG Xiaoming， TANG Jian， ZHANG Meijun

(Engineering Institute of Engineering Corps， PLA University of Science and Technology， Nanjing 210007， China)

In order to suppress the mode aliasing phenomenon and reduce noise composition， a signal decomposition method in time domain based on singular value decomposition (SVD) was proposed. Based on two features of SVD， firstly each frequency corresponds to two sizeable singular values. Secondly singular values are positively related to the amplitude of its corresponded frequency. The method was conducted by adding a known simulation sine signal with appropriate amplitude to make the location of singular values easier to be identified. Then， time series were reconstructed by choosing related singular values. Finally， the time series of a certain frequency could be achieved by subtracting added simulation signal. By comparing with the EMD， it is effectively confirmed that the method can both eliminate mode aliasing and reduce noise composition.

singular value decomposition； construct signals； superposition of signals； mode aliasing； noise composition

國家自然科學基金 (51175511；61472392)；省青年基金(BK20150724)

2016-03-21 修改稿收到日期： 2016-06-28

張小明 男，碩士生，1991年12月生

唐建 女， 碩士生導師， 1977年1月生

TH137

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.015