婁軍強(qiáng), 廖江江, 李國(guó)平, 楊依領(lǐng), 魏燕定

(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院 浙江省零件軋制成形技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 浙江 寧波 315211；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 杭州 310027)

壓電柔性機(jī)械臂的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)及最優(yōu)極點(diǎn)配置抑振控制

婁軍強(qiáng)1, 廖江江1, 李國(guó)平1, 楊依領(lǐng)2, 魏燕定2

(1.寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院 浙江省零件軋制成形技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 浙江 寧波 315211；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 杭州 310027)

研究了壓電柔性臂系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)和基于極點(diǎn)配置法的振動(dòng)主動(dòng)控制問(wèn)題。針對(duì)粘貼應(yīng)變傳感器和壓電致動(dòng)器的壓電柔性臂系統(tǒng)，提出了零點(diǎn)重新分布的理論傳遞函數(shù)模型。通過(guò)掃頻實(shí)驗(yàn)采用頻域辨識(shí)方法確立了從壓電致動(dòng)器控制電壓輸入到應(yīng)變橋路電壓輸出的實(shí)驗(yàn)傳遞函數(shù)模型，辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)吻合程度達(dá)94.8%。并通過(guò)多頻激勵(lì)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)具有較高的一致性。利用辨識(shí)得到的傳遞函數(shù)模型建立了系統(tǒng)狀態(tài)方程表達(dá)式，提出了一種移動(dòng)距離最短、滿足系統(tǒng)閉環(huán)阻尼要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置確立方法。不同閉環(huán)極點(diǎn)下的數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均證明了采用的最優(yōu)極點(diǎn)配置方法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，柔性臂在特定激勵(lì)和外界干擾激勵(lì)下產(chǎn)生的彈性振動(dòng)均得到了有效抑制。所提出的模型辨識(shí)方法和極點(diǎn)配置策略是可行的。

壓電柔性臂；系統(tǒng)辨識(shí)；最優(yōu)極點(diǎn)配置；振動(dòng)主動(dòng)控制

由于具有質(zhì)量輕、發(fā)射成本低、能耗低且操作靈活方便等優(yōu)點(diǎn)，以大跨度輕質(zhì)太空臂桿、大型柔性天線以及太陽(yáng)能帆板等為代表的柔性構(gòu)件在空間機(jī)械臂、太空機(jī)器人以及航天器的設(shè)計(jì)和制造領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。但是結(jié)構(gòu)柔性及振動(dòng)對(duì)柔性結(jié)構(gòu)的定位精度和操作效率具有較大影響，在某些極端情況下甚至導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失穩(wěn)[3]。因此柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的課題，并引起了國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[4]。

以壓電陶瓷材料為代表的智能材料具有易與被控結(jié)構(gòu)集成為一體的優(yōu)勢(shì)，基于壓電材料開(kāi)展柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制研究是目前的研究熱點(diǎn)[5-6]。經(jīng)典的反饋控制方法不需要額外的參考信號(hào)，并可以通過(guò)降低系統(tǒng)靈敏度的方法削弱系統(tǒng)參數(shù)變化帶來(lái)的影響，具有一定的魯棒性，故在柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)中仍發(fā)揮著巨大作用[7]。直觀簡(jiǎn)單、物理意義明確的極點(diǎn)配置(Poles Assignment, PA)控制技術(shù)就是其中一種。設(shè)計(jì)者可以靈活方便地將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望位置從而達(dá)到預(yù)期控制效果[8]。Sethi等[9]成功地將極點(diǎn)配置法用于3.5 m長(zhǎng)的工形梁建筑結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制中。針對(duì)壓電柔性梁結(jié)構(gòu)，Sethi等[10]進(jìn)一步通過(guò)靈敏度分析重新配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)，有效抑制了柔性梁的多階模態(tài)振動(dòng)。Rahman等[11]將極點(diǎn)配置法用于壓電柔性板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)中，取得了不錯(cuò)的控制效果。Kuo等[12]結(jié)合映射理論、Kharitonov定理和Routh-Hurwitz判據(jù)提出將柔性臂系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在特定的三角區(qū)域，提高了控制系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。但是現(xiàn)有的極點(diǎn)配置法在極點(diǎn)配置位置的選取上具有一定的隨意性，沒(méi)有形成較規(guī)范的配置準(zhǔn)則。如果能夠結(jié)合實(shí)際尋找一種簡(jiǎn)單、有效的極點(diǎn)配置方法，將控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)放置在合適位置，勢(shì)必可以取得更好的控制效果。

另一方面，控制器的設(shè)計(jì)與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的精度密切相關(guān)。在關(guān)于柔性結(jié)構(gòu)理論模型的研究中，以常微分方程表示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型是常見(jiàn)形式[13]。但是由于壓電致動(dòng)器/傳感器的加入，很多時(shí)候智能柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的微分方程是很難建立的?；谟邢拊治龇ǖ玫降臄?shù)值近似模型更加實(shí)際可行[14]。但是在數(shù)值近似模型的建立過(guò)程中也存在著很多假設(shè)：如假定壓電致動(dòng)器與柔性結(jié)構(gòu)完美粘貼，不考慮黏結(jié)層的厚度等[15]，而且實(shí)際結(jié)構(gòu)的性能參數(shù)也不可能與標(biāo)稱值完全一致?？紤]到這些不利因素，采用實(shí)驗(yàn)辨識(shí)的方法建立智能柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型顯然是一種精度更高、效果更好的建模方法。

本文針對(duì)壓電柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制問(wèn)題，首先介紹了所涉及的壓電柔性臂實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。提出了零點(diǎn)重新分布的系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，并通過(guò)掃頻實(shí)驗(yàn)建立了從壓電致動(dòng)器控制電壓輸入到柔性臂根部應(yīng)變橋路輸出的傳遞函數(shù)模型，驗(yàn)證并確立了壓電柔性臂系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)模型。利用得到的辨識(shí)模型建立了系統(tǒng)狀態(tài)方程表達(dá)式，基于極點(diǎn)配置(PA)法設(shè)計(jì)了移動(dòng)距離最短、滿足系統(tǒng)閉環(huán)阻尼要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置。最后通過(guò)仿真和實(shí)際實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了相關(guān)的建模方法和控制策略的有效性。

1 系統(tǒng)描述

本文所涉及的壓電柔性臂系統(tǒng)如圖1所示。柔性臂為懸臂形式，一端固定在夾持端、一端自由。在柔性臂的上下表面對(duì)稱地貼有兩組應(yīng)變片傳感器組成全橋電路用于檢測(cè)柔性臂結(jié)構(gòu)的振動(dòng)；在柔性臂的兩側(cè)表面對(duì)稱地粘貼壓電陶瓷片作為致動(dòng)器用于激勵(lì)或抑制柔性臂的彈性振動(dòng)。為了獲得較好的應(yīng)變檢測(cè)和振動(dòng)抑制效果，傳感器和致動(dòng)器都布局在柔性臂的根部位置。同時(shí)在柔性臂的末端安裝有激光位移傳感器用于實(shí)時(shí)檢測(cè)柔性臂末端的振動(dòng)位移。

圖1 壓電柔性臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Block diagram of the flexible manipulator system

系統(tǒng)測(cè)試中，利用應(yīng)變傳感器(阻值350 Ω，靈敏度系數(shù)2.08，橋壓 4 V)組成的全橋電路檢測(cè)柔性臂的振動(dòng)，橋路輸出電壓信號(hào)經(jīng)動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀(型號(hào)：AFT-095，放大增益5 000)調(diào)理為-10～+10 V的電壓信號(hào)，并利用巴特沃斯低通濾波器(截止頻率100 Hz)濾波，最后經(jīng)多通道數(shù)據(jù)采集卡(型號(hào)：NI PCI-6221(37pin))的A/D模塊輸送到計(jì)算機(jī)中。壓電致動(dòng)器的控制電壓信號(hào)通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡的D/A模塊輸出(-5～+5 V)，經(jīng)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源(型號(hào)：HPV-1C0150A0300D，增益15)放大為-75～+75 V的電壓信號(hào)，作用在壓電致動(dòng)器上，激勵(lì)壓電致動(dòng)器按照設(shè)定的控制律實(shí)現(xiàn)柔性臂的振動(dòng)控制。激光位移傳感器(型號(hào)：米銥 ILD 1402-50(027))輸出柔性臂末端的振動(dòng)位移經(jīng)調(diào)理電路轉(zhuǎn)換為1～5 V的電壓信號(hào)，經(jīng)數(shù)據(jù)采集卡A/D模塊輸送到計(jì)算機(jī)中。整個(gè)測(cè)控系統(tǒng)基于NI-LABVIEW平臺(tái)完成，系統(tǒng)實(shí)物裝置如圖2所示。

圖2 壓電柔性臂測(cè)控系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.2 Experimental setup of the flexible manipulator system

2 系統(tǒng)模型辨識(shí)

2.1 理論模型

柔性臂和壓電致動(dòng)器的基本參數(shù)如表1所示。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行實(shí)驗(yàn)辨識(shí)的前提，如果將柔性臂視為簡(jiǎn)單的歐拉-伯努利梁模型，則粘貼有壓電致動(dòng)器的柔性臂結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)表達(dá)式為

(1)

式中：ki為開(kāi)環(huán)增益；ξi為第i階振動(dòng)模態(tài)阻尼；ωi為第i階振動(dòng)模態(tài)的角頻率。

表1 柔性臂和壓電致動(dòng)器的基本參數(shù)

事實(shí)上，想要精確得到柔性臂的無(wú)窮階振動(dòng)模態(tài)是不可能的。而在實(shí)際中，我們往往只需要關(guān)注柔性臂在某一特定頻帶內(nèi)的振動(dòng)特性，故可引入模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)，只保留一定頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)模態(tài)。為了抵消忽略高階模態(tài)帶來(lái)的模態(tài)截?cái)嘈?yīng)，Qrszulik等[16]提出了添加饋通環(huán)節(jié)的降階傳遞函數(shù)模型

(2)

式中：n為保留的模態(tài)階數(shù)；D為饋通環(huán)節(jié)系數(shù)。

雖然式(2)得到的降階模型中系統(tǒng)極點(diǎn)仍位于正確的位置，即保證固有頻率不變，但此做法仍然導(dǎo)致系統(tǒng)能量分布的改變，從而使得到的降階模型閉環(huán)特性與實(shí)際結(jié)構(gòu)存在一定差異，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)在閉環(huán)控制時(shí)出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。為了避免此類現(xiàn)象，可重新構(gòu)造每階模態(tài)的零點(diǎn)分布，得到降階模型為

(3)

式中，ai,bi為重新分布的第i階模態(tài)零點(diǎn)。

2.2 實(shí)驗(yàn)辨識(shí)

在實(shí)驗(yàn)辨識(shí)過(guò)程中，利用測(cè)量得到的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)(Frequency Response Function, FRF)辨識(shí)得到壓電柔性臂系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。由于柔性臂的一階振動(dòng)模態(tài)在其振動(dòng)中起主導(dǎo)作用，故此處僅截取其一階模態(tài)進(jìn)行辨識(shí)研究。實(shí)驗(yàn)辨識(shí)中采用一個(gè)幅值為5 V，頻率范圍為0～32 rad/s的正弦掃頻信號(hào)作用到壓電致動(dòng)器上，激勵(lì)起柔性臂的一階彈性振動(dòng)，并使用應(yīng)變?nèi)珮螂娐窓z測(cè)柔性臂的振動(dòng)，整個(gè)掃頻過(guò)程持續(xù)15 s，采樣頻率為100 Hz，實(shí)驗(yàn)中激勵(lì)信號(hào)和應(yīng)變電橋輸出信號(hào)如圖3所示。

(a) 掃頻激勵(lì)電壓信號(hào)

(b)應(yīng)變輸出電壓信號(hào)圖3 掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Experimental results by the chirp excitation

對(duì)輸入激勵(lì)電壓信號(hào)u(t), 應(yīng)變輸出電壓信號(hào)y(t)分別進(jìn)行Fourier變換并進(jìn)行運(yùn)算，即可得到壓電柔性臂系統(tǒng)的實(shí)測(cè)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)

(4)

式中：Suy(jω)為輸入信號(hào)u(t)與輸出信號(hào)y(t)的互功率譜密度函數(shù)；Suu(jω)為輸入信號(hào)u(t)的自功率譜密度函數(shù)。

掃頻信號(hào)激勵(lì)下壓電柔性臂系統(tǒng)的實(shí)測(cè)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)曲線如圖4所示。從圖可以看出掃頻實(shí)驗(yàn)激起了柔性臂的一階振動(dòng)模態(tài)，其一階固有頻率在9.2rad/s(1.46Hz)附近。

在保留柔性臂一階振動(dòng)模態(tài)的基礎(chǔ)上，加入饋通環(huán)節(jié)，基于式(2)所示模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)辨識(shí)，利用Matlab的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱，可以得到壓電柔性臂系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為

圖4 實(shí)測(cè)開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)曲線Fig.4 Measured open-loop frequency response curve

(5)

為了比對(duì)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果，利用式(3)所示傳遞函數(shù)模型對(duì)壓電柔性臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行辨識(shí)，同樣利用Matlab的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱，可以得到零點(diǎn)重新分布模型見(jiàn)式(6)

(6)

由于辨識(shí)模型Gd(s)和G(s)分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)完全相同，故兩個(gè)模型具有相同的固有頻率和阻尼比。在圖3(a)所示的掃頻信號(hào)激勵(lì)下，圖5(a)給出了不同辨識(shí)模型的開(kāi)環(huán)頻響函數(shù)曲線，圖5(b)則進(jìn)一步給出了各模型對(duì)應(yīng)的時(shí)域輸出信號(hào)，并與實(shí)測(cè)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。無(wú)論從系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線還是時(shí)域輸出曲線的對(duì)比結(jié)果都可以清晰看出：零點(diǎn)重新分布的辨識(shí)模型G(s)與實(shí)際系統(tǒng)響應(yīng)具有較高的吻合度，其時(shí)域輸出和頻響曲線與實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)基本一致。而加上饋通環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)模型Gd(s)雖然在固有頻率處與實(shí)際結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)基本重合，但是對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)低頻響應(yīng)特性的刻畫卻存在著一定程度的失真，從圖5(b)中可以看出在掃頻信號(hào)激勵(lì)的最初階段，辨識(shí)模型Gd(s)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的時(shí)域輸出存在著明顯偏差。顯然忽略的高階模態(tài)響應(yīng)導(dǎo)致了此現(xiàn)象的發(fā)生，而G(s)模型通過(guò)零點(diǎn)重新分布調(diào)整了系統(tǒng)的能量分布，故更加精確地估計(jì)了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，得到了更好的辨識(shí)結(jié)果。

(a) 頻率響應(yīng)函數(shù)曲線

(b) 應(yīng)變輸出電壓信號(hào)

兩個(gè)辨識(shí)模型Gd(s)和G(s)的零極點(diǎn)分布情況如圖6所示?？梢钥闯鰞蓚€(gè)辨識(shí)模型的極點(diǎn)完全重合，而二者的零點(diǎn)卻完全不同，顯然由于高階模態(tài)的截?cái)嘈?yīng)導(dǎo)致降階模型的零點(diǎn)重新分布，而基于零點(diǎn)重新分布的辨識(shí)模型更好地補(bǔ)償了模態(tài)截?cái)嘈?yīng)。

圖6 辨識(shí)模型的零極點(diǎn)分布圖Fig.6 Locations of poles and zeros for the identified models

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)辨識(shí)得到的傳遞函數(shù)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的吻合程度，圖7給出了辨識(shí)得到的模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)在另一個(gè)輸入信號(hào)激勵(lì)下的輸出比對(duì)結(jié)果。在模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，給壓電柔性臂系統(tǒng)施加一多個(gè)頻率信號(hào)組成的多頻激勵(lì)信號(hào)，其具體表達(dá)式為

uva(t)=2[sin(3.14t)+sin(9.17t)+sin(12.57t)]

(7)

多頻驗(yàn)證信號(hào)激勵(lì)下的辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果對(duì)比如圖7(b)所示。為了定量比對(duì)辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的近似程度，定義模型吻合度指標(biāo)

(8)

顯然模型吻合度指標(biāo)越接近100%，代表辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)越接近，吻合度越高。表2給出了在掃頻和驗(yàn)證兩種實(shí)驗(yàn)情況下模型吻合度指標(biāo)的計(jì)算值。圖5、圖7以及表3結(jié)果均表明：采用零點(diǎn)重新分布的傳遞函數(shù)模型G(s)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)基本一致，具有很高的吻合度。故可以用此模型代表實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行后續(xù)的控制算法設(shè)計(jì)。

(a) 驗(yàn)證輸入電壓信號(hào)

(b) 應(yīng)變輸出電壓信號(hào)圖7 驗(yàn)證信號(hào)下辨識(shí)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較圖Fig.7 Comparison of experimental results by the validation signal

辨識(shí)模型掃頻實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)G(s)94．85%88．95%Gd(s)89．45%81．68%

3 控制算法設(shè)計(jì)

柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制的本質(zhì)是通過(guò)引入閉環(huán)控制增大結(jié)構(gòu)的阻尼以減少結(jié)構(gòu)在激勵(lì)作用下的響應(yīng)。極點(diǎn)配置法就是通過(guò)反饋增益矩陣改變?cè)惺芸亟Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)達(dá)到預(yù)期要求[17]。

為了利用極點(diǎn)配置法進(jìn)行反饋增益設(shè)計(jì)，需先將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程形式。定義加載在壓電驅(qū)動(dòng)器上的控制電壓為系統(tǒng)輸入u(t)，應(yīng)變橋路的檢測(cè)電壓為系統(tǒng)輸出y(t)，從能觀的角度來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)方程為

y(t)=CX(t)+Du(t)

(9)

式中：A,B,C及D分別為狀態(tài)矩陣(向量)、輸入矩陣(向量)、輸出矩陣(向量)及轉(zhuǎn)移矩陣(標(biāo)量)；X(t)為狀態(tài)變量(向量)。

如果反饋控制輸入u(t)采用如下控制律

u(t)=-GX(t)

(10)

式中，G為反饋控制增益矩陣(向量)，其值由希望達(dá)到的閉環(huán)控制性能而定。

將式(10)中的控制輸入u(t)帶入狀態(tài)方程式(9)得到

y(t)=CX(t)+Du(t)

(11)

該方程的解為

X(t)=e(A-BG)tX(0)

(12)

式中，X(0)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)特性都取決于矩陣A-BG的特征值。如果反饋控制增益矩陣G取值合理，那么矩陣A-BG就是漸近穩(wěn)定的，因而矩陣A-BG的特征值也稱為調(diào)節(jié)器零點(diǎn)，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。所謂的極點(diǎn)配置，就是要尋找適當(dāng)?shù)姆答伩刂圃鲆婢仃嘒，使式(11)所示的閉環(huán)系統(tǒng)特征值，也就是閉環(huán)極點(diǎn)安排在指定位置上。

對(duì)于典型的二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的兩個(gè)共軛極點(diǎn)一般可表示為

(13)

式中：ωn為二階系統(tǒng)的固有頻率，rad/s；ξ為結(jié)構(gòu)阻尼比。

圖8 復(fù)平面內(nèi)的極點(diǎn)配置方法示意圖Fig.8 Basic idea of the PA method in s-plane

從圖6所示辨識(shí)模型的極點(diǎn)分布情況可以看到系統(tǒng)的共軛極點(diǎn)位于虛軸左側(cè)，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但是由于二者距虛軸非常近，使得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)阻尼效應(yīng)非常弱，導(dǎo)致柔性臂的彈性振動(dòng)要持續(xù)很長(zhǎng)時(shí)間。為了縮短柔性臂振動(dòng)的衰減時(shí)間，勢(shì)必要將其極點(diǎn)左移，以增大系統(tǒng)閉環(huán)阻尼。考慮到壓電致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)能力是有限的，存在著飽和電壓，并適當(dāng)抑制高頻信號(hào)的干擾，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的閉環(huán)阻尼比為0.5，采用圖8所示的極點(diǎn)配置方法，根據(jù)式(13)確定的系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)見(jiàn)表3。為了對(duì)比不同閉環(huán)阻尼比下的控制效果，表中還給出了阻尼比分別為0.3和0.7時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)分布情況。

表3 系統(tǒng)極點(diǎn)配置表

在確定系統(tǒng)期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置后，由于系統(tǒng)的閉環(huán)特征根就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，得到

(14)

根據(jù)式(14)即可求得系統(tǒng)反饋控制增益矩陣中的反饋控制系數(shù)。

4 控制效果驗(yàn)證

4.1 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證提出的控制算法的有效性，基于得到的辨識(shí)模型G(s)開(kāi)展仿真實(shí)驗(yàn)。仿真過(guò)程中首先對(duì)壓電致動(dòng)器施加激勵(lì)信號(hào)激起柔性臂的振動(dòng)，該激勵(lì)信號(hào)由頻率分別為1 Hz及1.5 Hz、幅值均為1 V的正弦信號(hào)疊加而成，激勵(lì)時(shí)間為10 s。為了限制控制電壓輸出，仿真過(guò)程中還加入了一個(gè)限幅為±5 V的飽和模塊。

圖9給出了利用設(shè)計(jì)的控制器(閉環(huán)阻尼比0.5)對(duì)柔性臂的彈性振動(dòng)進(jìn)行抑制的仿真過(guò)程。從應(yīng)變橋接電路輸出電壓的仿真變化過(guò)程可以看出：施加控制3 s后，柔性臂振動(dòng)的振幅下降到0.1 V。與未施加控制的情況相比，PA控制器有效抑制了柔性臂的彈性振動(dòng)，使柔性臂殘余振動(dòng)的衰減時(shí)間大大縮短。

基于表3中不同阻尼比下的閉環(huán)極點(diǎn)，圖10給出了采用不同閉環(huán)極點(diǎn)下的仿真控制結(jié)果。與阻尼比取0.3時(shí)的極點(diǎn)位置相比，阻尼比0.5對(duì)應(yīng)著距虛軸更遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，故得到了更好的控制效果如圖10(a)所示。但是當(dāng)阻尼比取0.7時(shí)，由于閉環(huán)極點(diǎn)距離虛軸太遠(yuǎn)，受限于控制輸入，閉環(huán)控制電壓出現(xiàn)了飽和現(xiàn)象，見(jiàn)圖10(b)中的黑色點(diǎn)畫線。與阻尼比取0.5的情況相比，阻尼比取0.7時(shí)閉環(huán)控制效果并沒(méi)有明顯改善。所以阻尼比取0.5時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)位置是有限控制輸入與閉環(huán)阻尼效應(yīng)折中權(quán)衡下的最合適位置。

圖9 施加控制時(shí)應(yīng)變輸出的仿真曲線Fig.9 Simulated responses of the sensor output with PA control

(a) 應(yīng)變橋路輸出電壓

(b) 施加在致動(dòng)器上的控制電壓圖10 不同配置極點(diǎn)下的仿真控制結(jié)果比較Fig.10 Comparison of simulated results with different locations of closed-loop poles

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

同樣采用仿真過(guò)程中的激勵(lì)信號(hào)，圖11給出了在10 s激勵(lì)停止后，利用設(shè)計(jì)的控制器(閉環(huán)阻尼比0.5)對(duì)柔性臂的彈性振動(dòng)進(jìn)行抑制的實(shí)驗(yàn)過(guò)程。從應(yīng)變橋接電路輸出電壓的實(shí)測(cè)曲線可以看出：施加控制5 s后，柔性臂振動(dòng)的振幅下降到0.1 V；而如果不施加控制，其彈性振動(dòng)經(jīng)過(guò)20 s的自由衰減后振幅仍有0.4 V。不過(guò)對(duì)比仿真過(guò)程圖9與實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖11可以看出：二者變化趨勢(shì)基本相同，但是由于測(cè)試過(guò)程中噪聲的干擾，削弱了壓電致動(dòng)器的抑振效果，實(shí)驗(yàn)中柔性臂的振動(dòng)衰減時(shí)間稍微長(zhǎng)于仿真結(jié)果。

圖11 施加控制時(shí)應(yīng)變輸出電壓的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.11 Experimental results of sensor output with PA control

從激光位移傳感器采集到的柔性臂末端振動(dòng)位移圖12中可以看出：柔性臂結(jié)構(gòu)自由衰減20 s后，其末端振動(dòng)位移仍超過(guò)2 mm；而基于設(shè)計(jì)的控制器，柔性臂末端的振動(dòng)位移在施加控制9 s后已衰減到0.1 mm，可認(rèn)為其振動(dòng)已經(jīng)停止。顯然柔性臂的振動(dòng)得到了有效抑制，振動(dòng)持續(xù)時(shí)間顯著縮短。

圖12 施加控制時(shí)柔性臂末端的振動(dòng)位移Fig.12 Tip displacement of the manipulator with PA control

圖13進(jìn)一步給出了采用不同閉環(huán)極點(diǎn)下的實(shí)際控制效果。可以看出不同閉環(huán)極點(diǎn)位置下的實(shí)驗(yàn)控制效果與仿真結(jié)果基本一致。當(dāng)阻尼比取值較小時(shí)(ξ=0.3)，控制器的控制效果較弱，柔性臂振動(dòng)的衰減時(shí)間較長(zhǎng)。而當(dāng)阻尼比取值過(guò)大時(shí)(ξ=0.7)，由于致動(dòng)器控制電壓有限，導(dǎo)致控制器的計(jì)算輸出超過(guò)了致動(dòng)器的控制電壓限制，出現(xiàn)了控制飽和現(xiàn)象。其控制效果并沒(méi)有明顯改善。實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了阻尼比取0.5是最合適的。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的極點(diǎn)配置控制方法的有效性，利用電磁激振器的激勵(lì)作為外擾激起柔性臂的彈性振動(dòng)，柔性臂在控制器作用下的振動(dòng)響應(yīng)如圖14所示。顯然外界干擾激起了柔性臂強(qiáng)烈的彈性振動(dòng)，其末端初始振幅達(dá)5 mm左右，如果僅靠柔性臂結(jié)構(gòu)自身的阻尼衰減，其末端振動(dòng)在自由衰減50 s才能停止。而在加入壓電致動(dòng)器的主動(dòng)控制作用后，柔性臂振動(dòng)的衰減速度明顯加快，振動(dòng)衰減時(shí)間縮短為16 s。故所提出的基于極點(diǎn)配置法的抑振控制策略是有效的，提高了柔性臂末端的定位精度和操作效率。

(a) 應(yīng)變橋路輸出電壓

(b) 壓電致動(dòng)器的控制電壓曲線圖13 不同配置極點(diǎn)下的實(shí)際控制效果比較Fig.13 Comparison of experimental results with different locations of closed-loop poles

(a) 應(yīng)變橋路輸出電壓

(b) 柔性臂的末端振動(dòng)位移圖14 外界干擾下柔性臂振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.14 Experimental results of vibration response of the manipulator with external disturbance

5 結(jié) 論

研究了壓電柔性臂系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)問(wèn)題，提出了零點(diǎn)重新分布的降階傳遞函數(shù)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明辨識(shí)得到的系統(tǒng)模型更好地補(bǔ)償了模態(tài)截?cái)嘈?yīng)，與實(shí)際系統(tǒng)輸出具有較高的吻合度，提高了壓電柔性臂系統(tǒng)的建模精度。為了抑制壓電柔性臂的彈性振動(dòng)，提出了一種移動(dòng)距離最短、滿足系統(tǒng)閉環(huán)阻尼要求的最優(yōu)極點(diǎn)配置方法。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出的控制方法的有效性，縮短了柔性臂的振動(dòng)衰減時(shí)間。本文提出的方法可為智能柔性結(jié)構(gòu)模型建立和振動(dòng)主動(dòng)控制策略設(shè)計(jì)提供參考。

[ 1 ] 婁軍強(qiáng),魏燕定,楊依領(lǐng), 等. 智能柔性構(gòu)件振動(dòng)改進(jìn)多模態(tài)正位置反饋控制[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(10): 115-120. LOU Junqiang, WEI Yanding, YANG Yiling, et al. Modified multi-mode positive position feedback controller for active vibration control of a smart flexible structure[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(10): 115-120.

[ 2 ] 李生權(quán), 季宏麗, 裘進(jìn)浩, 等. 基于加速度反饋和自抗擾的加筋壁板結(jié)構(gòu)復(fù)合振動(dòng)控制[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2012, 25(5): 532-539. LI Shengquan, JI Hongli, QIU Jinhao, et al. Composite vibration control for a stiffened panel structure using acceleration feedback and active disturbance rejection[J]. Journal of Vibration Engineering, 2012, 25(5): 532-539.

[ 3 ] 邱志成,許燕飛. 基于自適應(yīng)RBF模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的旋轉(zhuǎn)柔性鉸接梁的振動(dòng)控制[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2016, 35(7): 89-95. QIU Zhicheng, XU Yanfei. Vibration control of a rotating two-connected flexible beam using RBF-based self-adaptivefuzzy neural network[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(7): 89-95.

[ 4 ] RAHIMI H N, NAZEMIZADEH M. Dynamic analysis and intelligent control techniques for flexible manipulators: a review[J]. Advanced Robotics, 2014, 28(2): 63-76.

[ 5 ] 王斌, 邱志成, 張憲民, 等. 氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)柔性臂自適應(yīng)模糊振動(dòng)控制[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2013, 49(11): 50-60. WANG Bin, QIU Zhicheng, ZHANG Xianmin, et al. Adaptive fuzzy vibration control for flexible manipulator based on pneumatic driving[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(11): 50-60.

[ 6 ] KIANG C T, SPOWAGE A, YOONG C K. Review of control and sensor system of flexible manipulator[J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2014, 77(1): 187-213.

[ 7 ] SETHI V, FRANCHEK M A, SONG G. Active multimodal vibration suppression of a flexible structure with piezoceramic sensor and actuator by using loop shaping[J]. Journal of Vibration and Control, 2011, 17(13): 1994-2006.

[ 8 ] DRIELS M. 線性控制系統(tǒng)工程[M]. 金愛(ài)娟，李少龍，李航天，譯. 北京：清華大學(xué)出版社, 2005.

[ 9 ] SETHI V, SONG G. Pole-placement vibration control of a flexible composite I-beam using piezoceramic sensors and actuators[J]. Journal of Thermoplastic Composite Materials, 2006, 19(3): 293-307.

[10] SETHI V, SONG G. Multimodal vibration control of a flexible structure using piezoceramic sensor and actuator[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2008, 19(5): 573-582.

[11] RAHMAN T, DARUS I Z M. Active vibration control using pole placement method of a flexible plate structure optimised by genetic algorithm[C]∥ IEEE Conference on Control, Systems and Industrial Informatics.[S.l.]: IEEE, 2012: 92-97.

[12] KUO T C, HUANG Y J, CHEN C Y, et al. Robust pole placement in a specified trapezoid region for flexible manipulators[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2013, 159(2): 507-517.

[13] PREUMONT A. Vibration control of active structures: an introduction [M]. 3rd ed. Berlin: Springer, 2011.

[14] NOBAHARI H, KORDKHEILI S A H, AFSHARI S S. Hardware-in-the-loop optimization of an active vibration controller in a flexible beam structure using evolutionary algorithms[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2014, 25(10): 1211-1223.

[15] BU Xiongzhu, YE Lin, SU Zhongqing, et al. Active control of a flexible smart beam using a system identification technique based on ARMAX[J]. Smart Materials and Structures, 2003, 12(5): 845-850.

[16] ORSZULIK R R, SHAN J. Experimental study on active vibration control using genetic algorithm-based system identification and optimized positive position feedback[J]. Smart Materials and Structures, 2012, 21(12): 125014.

[17] 龐中華, 崔紅. 系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制MATLAB仿真[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2012.

Experimental identification and vibration suppression of a piezoelectricflexible manipulator using an optimal poles-assignment method

LOU Junqiang1, LIAO Jiangjiang1, LI Guoping1, YANG Yiling2, WEI Yanding2

(1. Zhejiang Provincial Key Lab of Part Rolling Technology, College of Mechanical Engineering and Mechanics, Ningbo University, Ningbo 315211, China; 2. China Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province, School of Mechanical Engineering,Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Experimental identification and active vibration suppression of a piezoelectric flexible manipulator system using poles-assignment control were presented in this paper. A transfer function model with relocated zeros was developed for the flexible manipulator bonded with strain sensors and a piezoelectric actuator. A mathematical model between the input voltage of the piezoelectric actuator and the output voltage of the strain sensors was established through sweep excitation. The fitness could achieve up to 94.8%. Furthermore, the close coincidence between the identified model and the experimental system was verified through a multi-frequency signal excitation. Then, the state equations of the flexible manipulator system were derived. A poles-assignment method with the characteristics of the shortest displacement distance and desired close-loop damping ratio was proposed. The effectiveness of the proposed control method was validated by simulation and experiments with different locations of closed-loop poles. Experimental results show that elastic vibrations of the link caused by the sweep and external disturbance excitation are effectively suppressed using the poles-assignment controller. Consequently, the proposed method of experimental identification and poles assignment control is feasible and effective.

piezoelectric flexible manipulator; system identification; optimal poles assignment; active vibration control

國(guó)家自然科學(xué)基金(51505238&51375433); 浙江省自然科學(xué)基金(LQ15E050002);寧波市自然科學(xué)基金(2015A610145); 浙江省公益項(xiàng)目(2013C31017)

2016-04-26 修改稿收到日期： 2016-06-22

婁軍強(qiáng) 男，博士，講師，1986年7月生

魏燕定 男，博士，教授，1970年7月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.003