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        從愛(ài)因斯坦火車到洛倫茲變換*

        2017-08-30 13:05:49朱振博宋仁剛
        物理通報(bào) 2017年8期
        關(guān)鍵詞:參考系車尾洛倫茲

        徐 巖 朱振博 宋仁剛

        (山東科技大學(xué)電子學(xué)院應(yīng)用物理系 山東 青島 266590)

        從愛(ài)因斯坦火車到洛倫茲變換*

        徐 巖 朱振博 宋仁剛

        (山東科技大學(xué)電子學(xué)院應(yīng)用物理系 山東 青島 266590)

        愛(ài)因斯坦火車是狹義相對(duì)論中展示同時(shí)性的相對(duì)性的經(jīng)典模型,愛(ài)因斯坦利用該模型證明了“同時(shí)性的相對(duì)性”.在狹義相對(duì)論中,空間和時(shí)間并不相互獨(dú)立,而是一個(gè)統(tǒng)一的四維時(shí)空整體,不同慣性參考系之間的時(shí)空坐標(biāo)變換關(guān)系式與洛倫茲變換在數(shù)學(xué)表達(dá)式上是一致的,通過(guò)分析愛(ài)因斯坦火車模型中光在不同慣性參考系內(nèi)到達(dá)車壁的時(shí)間,利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換更加容易地得到了洛倫茲變換,從而驗(yàn)證了洛倫茲變換在狹義相對(duì)論的核心地位.

        狹義相對(duì)論 愛(ài)因斯坦火車模型 洛倫茲變換

        愛(ài)因斯坦為了證明相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性,設(shè)計(jì)了一列高速運(yùn)動(dòng)火車實(shí)驗(yàn):假設(shè)與火車相對(duì)靜止的參考系為∑′,與地面相對(duì)靜止的參考系為∑,如圖1所示.火車沿x軸正方向以速度v行使,其靜止長(zhǎng)度為2d.在車廂正中間放置一臺(tái)可同時(shí)向兩側(cè)發(fā)射光脈沖的激光器.在∑′參考系中t=0時(shí)刻,激光器向車頭和車尾同時(shí)發(fā)射激光.在∑′參考系光到達(dá)車頭和車尾是同時(shí)的,但在∑參考系內(nèi)光到達(dá)車頭和車尾是不同時(shí)的[1].

        圖1 建立坐標(biāo)系分析高速運(yùn)動(dòng)的火車

        在狹義相對(duì)論中光在真空中總是以橫定的速度c傳播,在分析高速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)需要把時(shí)間間隔和空間距離的量度按照所依參照系的相對(duì)速度加以修正.時(shí)間和空間是相互關(guān)聯(lián)的,物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)空屬性可以被洛倫茲變換以確切的數(shù)學(xué)形式描述出來(lái),體現(xiàn)出時(shí)間間隔與空間間隔的相對(duì)性[2].

        在愛(ài)因斯坦火車模型實(shí)驗(yàn)中,我們需要對(duì)不同參考系中的時(shí)間間隔和空間距離進(jìn)行定量計(jì)算.根據(jù)愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的光速不變?cè)砗瓦\(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度收縮效應(yīng),在∑參考系內(nèi),火車長(zhǎng)度為2kd,其中

        為運(yùn)動(dòng)方向長(zhǎng)度收縮因子,注意長(zhǎng)度收縮效應(yīng)只發(fā)生在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向上,而在垂直于運(yùn)動(dòng)方向上長(zhǎng)度是不發(fā)生變化的[3].設(shè)光向車廂左側(cè)發(fā)射到達(dá)車尾所用時(shí)間為t2,光向車廂右側(cè)發(fā)射到達(dá)車頭所用的時(shí)間為t1[4].對(duì)于∑′系有

        (1)

        對(duì)于∑系有

        kd-vt1=ct1

        (2)

        kd+vt2=ct2

        (3)

        光走的路程不僅與車廂的長(zhǎng)度有關(guān),還與火車走的路程有關(guān):向車廂左側(cè)發(fā)射,計(jì)算光程時(shí)車廂長(zhǎng)度需減去車尾走的路程vt1;向車廂右側(cè)發(fā)射,計(jì)算光程時(shí)車廂長(zhǎng)度需加上車頭走的路程vt2.由式(2)加減式(3)得

        v(t1-t2)+c(t1+t2)=2kd

        (4)

        v(t1+t2)+c(t1-t2)=0

        (5)將式(5)進(jìn)行變換后代入式(4)得

        (6)

        將式(1)代入式(6)可整理得到兩參考系下時(shí)間的關(guān)系

        (7)

        同理可得出

        (8)

        t1滿足洛倫茲變換,同理可得t2也滿足洛倫茲變換.完成從愛(ài)因斯坦火車模型到洛倫茲變換的推導(dǎo).

        在證明過(guò)程中,只有同時(shí)加入愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的光速不變?cè)砗烷L(zhǎng)度收縮效應(yīng),才可以得到兩個(gè)不同參考系下的洛倫茲變換[5].當(dāng)火車速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速時(shí),其滿足到經(jīng)典條件的過(guò)渡.我們可以用洛倫茲變換推導(dǎo)t2-t1,從而檢驗(yàn)出推導(dǎo)過(guò)程的正確性.

        洛倫茲變換在狹義相對(duì)論中占據(jù)核心的地位,它以確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言反映了相對(duì)論理論與伽利略變換以及經(jīng)典相對(duì)論原理的本質(zhì)差別.本文利用愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和對(duì)愛(ài)因斯坦火車模型中光在不同參考系到達(dá)車廂壁的時(shí)間進(jìn)行分析,通過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)變換得到愛(ài)因斯坦火車模型中的洛倫茲變換,更加說(shuō)明了洛倫茲變換在相對(duì)論力學(xué)中的普適性和必要性.

        1 嚴(yán)國(guó)清,彭振生.洛倫茲變換的一種新推導(dǎo).大學(xué)物理,2006,25(9):18~20

        2 蒲明剛,潘必凱.正確認(rèn)識(shí)“愛(ài)因斯坦”火車問(wèn)題.成都?xì)庀髮W(xué)院學(xué)報(bào),1990(1):83~87

        3 王悅,方芳.光速不變?cè)砼c一般洛倫茲變換式的推導(dǎo).黃山學(xué)院學(xué)報(bào),2015,17(3):8~10

        4 孫春峰,呂付國(guó).洛倫茲變換的地位、作用及其物理意義.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,23(1):88~92

        5 關(guān)洪.再談洛倫茲變換的推導(dǎo).大學(xué)物理,2007,26(11):11~12

        *山東科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào):JG201506;山東科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào):KDYC13026,KDYC15019;山東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目資助課題,項(xiàng)目編號(hào):01040105305

        2016-11-24)

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