徐 巖 朱振博 宋仁剛

(山東科技大學(xué)電子學(xué)院應(yīng)用物理系 山東 青島 266590)

從愛(ài)因斯坦火車到洛倫茲變換*

徐 巖 朱振博 宋仁剛

(山東科技大學(xué)電子學(xué)院應(yīng)用物理系 山東 青島 266590)

愛(ài)因斯坦火車是狹義相對(duì)論中展示同時(shí)性的相對(duì)性的經(jīng)典模型，愛(ài)因斯坦利用該模型證明了“同時(shí)性的相對(duì)性”.在狹義相對(duì)論中，空間和時(shí)間并不相互獨(dú)立，而是一個(gè)統(tǒng)一的四維時(shí)空整體，不同慣性參考系之間的時(shí)空坐標(biāo)變換關(guān)系式與洛倫茲變換在數(shù)學(xué)表達(dá)式上是一致的，通過(guò)分析愛(ài)因斯坦火車模型中光在不同慣性參考系內(nèi)到達(dá)車壁的時(shí)間，利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換更加容易地得到了洛倫茲變換，從而驗(yàn)證了洛倫茲變換在狹義相對(duì)論的核心地位.

狹義相對(duì)論 愛(ài)因斯坦火車模型 洛倫茲變換

愛(ài)因斯坦為了證明相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性，設(shè)計(jì)了一列高速運(yùn)動(dòng)火車實(shí)驗(yàn)：假設(shè)與火車相對(duì)靜止的參考系為∑′，與地面相對(duì)靜止的參考系為∑,如圖1所示.火車沿x軸正方向以速度v行使，其靜止長(zhǎng)度為2d.在車廂正中間放置一臺(tái)可同時(shí)向兩側(cè)發(fā)射光脈沖的激光器.在∑′參考系中t=0時(shí)刻，激光器向車頭和車尾同時(shí)發(fā)射激光.在∑′參考系光到達(dá)車頭和車尾是同時(shí)的，但在∑參考系內(nèi)光到達(dá)車頭和車尾是不同時(shí)的[1].

圖1 建立坐標(biāo)系分析高速運(yùn)動(dòng)的火車

在狹義相對(duì)論中光在真空中總是以橫定的速度c傳播，在分析高速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)需要把時(shí)間間隔和空間距離的量度按照所依參照系的相對(duì)速度加以修正.時(shí)間和空間是相互關(guān)聯(lián)的，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)空屬性可以被洛倫茲變換以確切的數(shù)學(xué)形式描述出來(lái)，體現(xiàn)出時(shí)間間隔與空間間隔的相對(duì)性[2].

在愛(ài)因斯坦火車模型實(shí)驗(yàn)中，我們需要對(duì)不同參考系中的時(shí)間間隔和空間距離進(jìn)行定量計(jì)算.根據(jù)愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的光速不變?cè)砗瓦\(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度收縮效應(yīng)，在∑參考系內(nèi)，火車長(zhǎng)度為2kd，其中

為運(yùn)動(dòng)方向長(zhǎng)度收縮因子，注意長(zhǎng)度收縮效應(yīng)只發(fā)生在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向上，而在垂直于運(yùn)動(dòng)方向上長(zhǎng)度是不發(fā)生變化的[3].設(shè)光向車廂左側(cè)發(fā)射到達(dá)車尾所用時(shí)間為t2，光向車廂右側(cè)發(fā)射到達(dá)車頭所用的時(shí)間為t1[4].對(duì)于∑′系有

(1)

對(duì)于∑系有

kd-vt1=ct1

(2)

kd+vt2=ct2

(3)

光走的路程不僅與車廂的長(zhǎng)度有關(guān)，還與火車走的路程有關(guān)：向車廂左側(cè)發(fā)射，計(jì)算光程時(shí)車廂長(zhǎng)度需減去車尾走的路程vt1；向車廂右側(cè)發(fā)射，計(jì)算光程時(shí)車廂長(zhǎng)度需加上車頭走的路程vt2.由式(2)加減式(3)得

v(t1-t2)+c(t1+t2)=2kd

(4)

v(t1+t2)+c(t1-t2)=0

(5)將式(5)進(jìn)行變換后代入式(4)得

(6)

將式(1)代入式(6)可整理得到兩參考系下時(shí)間的關(guān)系

(7)

同理可得出

(8)

t1滿足洛倫茲變換，同理可得t2也滿足洛倫茲變換.完成從愛(ài)因斯坦火車模型到洛倫茲變換的推導(dǎo).

在證明過(guò)程中，只有同時(shí)加入愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的光速不變?cè)砗烷L(zhǎng)度收縮效應(yīng)，才可以得到兩個(gè)不同參考系下的洛倫茲變換[5].當(dāng)火車速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速時(shí)，其滿足到經(jīng)典條件的過(guò)渡.我們可以用洛倫茲變換推導(dǎo)t2-t1，從而檢驗(yàn)出推導(dǎo)過(guò)程的正確性.

洛倫茲變換在狹義相對(duì)論中占據(jù)核心的地位，它以確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言反映了相對(duì)論理論與伽利略變換以及經(jīng)典相對(duì)論原理的本質(zhì)差別.本文利用愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和對(duì)愛(ài)因斯坦火車模型中光在不同參考系到達(dá)車廂壁的時(shí)間進(jìn)行分析，通過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)變換得到愛(ài)因斯坦火車模型中的洛倫茲變換，更加說(shuō)明了洛倫茲變換在相對(duì)論力學(xué)中的普適性和必要性.

1 嚴(yán)國(guó)清，彭振生.洛倫茲變換的一種新推導(dǎo).大學(xué)物理，2006，25(9)：18～20

2 蒲明剛，潘必凱.正確認(rèn)識(shí)“愛(ài)因斯坦”火車問(wèn)題.成都?xì)庀髮W(xué)院學(xué)報(bào)，1990(1)：83～87

3 王悅，方芳.光速不變?cè)砼c一般洛倫茲變換式的推導(dǎo).黃山學(xué)院學(xué)報(bào),2015,17(3):8～10

4 孫春峰，呂付國(guó).洛倫茲變換的地位、作用及其物理意義.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,23(1):88～92

5 關(guān)洪.再談洛倫茲變換的推導(dǎo).大學(xué)物理,2007,26(11):11～12

*山東科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：JG201506；山東科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：KDYC13026，KDYC15019；山東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目資助課題，項(xiàng)目編號(hào)：01040105305

2016-11-24)