周?chē)?guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430072)

一個(gè)幾何引理與拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn)*

周?chē)?guó)全

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430072)

電子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電偏轉(zhuǎn)與具有磁矩的原子在非均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)路徑的磁偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)——史特恩-蓋拉赫(Stern-Gerlach)實(shí)驗(yàn),是兩個(gè)典型的拋物型偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn).本文論述拋物型偏轉(zhuǎn)的等效不動(dòng)點(diǎn)的存在性及其意義,并推導(dǎo)其統(tǒng)一的偏轉(zhuǎn)公式.

電偏轉(zhuǎn) 磁偏轉(zhuǎn) 線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn) 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn) 偏轉(zhuǎn)公式

普通物理中的電偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)與量子、原子物理中的史特恩-蓋拉赫(Stern-Gerlach)實(shí)驗(yàn), 是物理學(xué)不同應(yīng)用領(lǐng)域的兩個(gè)性質(zhì)迥異的實(shí)驗(yàn)[1～4].前者是實(shí)現(xiàn)示波器電子掃描的理論基礎(chǔ)[1～2], 后者直接驗(yàn)證了原子(分子)的磁矩的空間量子化特性[3～7]，從而也驗(yàn)證了原子(分子)角動(dòng)量與其內(nèi)部電子軌道取向的量子化[3～7]. 然而，撇開(kāi)具體的物理背景不論, 勻強(qiáng)電場(chǎng)中電子束的偏轉(zhuǎn)與非均勻磁場(chǎng)中原子路徑的偏轉(zhuǎn)卻具有相似的幾何規(guī)律. 它們都由場(chǎng)內(nèi)的一段拋物線(xiàn)偏轉(zhuǎn)外加一段切向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成. 本文經(jīng)過(guò)對(duì)這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行具體的分析和類(lèi)比描述, 尤其闡述了拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn)的存在性, 歸納提煉出特有而共同的幾何因子, 總結(jié)出統(tǒng)一的偏轉(zhuǎn)公式.

1 一個(gè)幾何引理

為方便展開(kāi)有關(guān)拋物型偏轉(zhuǎn)的線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn)的討論, 先證明如下數(shù)學(xué)命題以作后文引理.

(1)

或 2kx0x-y-y0=0

(1′)

(2)

(3)

圖1 拋物線(xiàn)切線(xiàn)族的不動(dòng)點(diǎn)

2 拋物型電偏轉(zhuǎn)的等效不動(dòng)點(diǎn)與偏轉(zhuǎn)公式

(4)

其中入射初速率v滿(mǎn)足

(5)

由式(4)、(5)可得該電子的拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

相應(yīng)的參數(shù)k為

(7)

圖2 電偏轉(zhuǎn)的等效線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn)

(8)

或

(9)

(10)

以上偏轉(zhuǎn)公式(8)、(9)在忽略場(chǎng)的邊緣效應(yīng)的情況下嚴(yán)格成立, 不必強(qiáng)調(diào)“偏轉(zhuǎn)板到熒光屏的距離遠(yuǎn)大于偏轉(zhuǎn)板長(zhǎng)度”而置該公式于“近似”的地位. 此外, 為了實(shí)現(xiàn)電偏轉(zhuǎn)還必須滿(mǎn)足出射約束條件

(11)

3 拋物型磁偏轉(zhuǎn)的等效線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn)——史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)

如圖3所示,史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)是在非均勻橫向磁場(chǎng)中發(fā)生原子路徑的橫向偏轉(zhuǎn), 它是拋物型偏轉(zhuǎn)的又一典型實(shí)例, 歷史上被用來(lái)證實(shí)原子軌道取向及角動(dòng)量、磁矩的量子化規(guī)律.

圖3 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的等效線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn)

Fy=(μB)=μ

(12)

(13)

拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程為

(14)

其拋物線(xiàn)參數(shù)k為

(15)

(16)

注意上式也具有空間幾何因子

為保證原子在G點(diǎn)出射, G點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)距離DGy必須滿(mǎn)足約束條件

即

(17)

4 統(tǒng)一的偏轉(zhuǎn)公式

綜上所述, 無(wú)論是電子束在勻強(qiáng)電場(chǎng)的電偏轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn), 還是原子束在非均勻橫向磁場(chǎng)中的史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn), 粒子在場(chǎng)域內(nèi)做一段拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在場(chǎng)域外做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其出射線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必通過(guò)其初始入射方向的延長(zhǎng)線(xiàn)在場(chǎng)域部分的中點(diǎn), 就如同是從場(chǎng)域中點(diǎn)發(fā)出的射線(xiàn)一樣, 我們稱(chēng)之為拋物型偏轉(zhuǎn)的等效線(xiàn)性不動(dòng)點(diǎn).它的存在使問(wèn)題的處理變得相當(dāng)簡(jiǎn)便.另一方面, 由于兩類(lèi)拋物型偏轉(zhuǎn)具有相同的空間幾何因子，因此它們的偏轉(zhuǎn)公式(9)、(16)具有相似而統(tǒng)一的形式

(18)

(19)

(1)忽略場(chǎng)的邊緣效應(yīng);

式(11)與式(17),亦即

(20)

1 林抒, 龔鎮(zhèn)雄. 普通物理實(shí)驗(yàn).北京:人民教育出版社,1981.328～332

2 周殿清.普通物理實(shí)驗(yàn)教程.武漢：武漢大學(xué)出版社,2005.98～104

3 褚圣麟.原子物理學(xué).北京:高等教育出版社,1979.42～61

4 H·哈肯,H·C·沃爾夫,著.原子與量子物理學(xué).劉歧元，譯.北京：科學(xué)出版社,1993.241～243

5 郭奕玲.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn), 大學(xué)物理, 1984，3(10): 27～30

6 寧長(zhǎng)春，汪亞平，胡海冰，等.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)歷史概述.大學(xué)物理, 2016,35(3):43～49

7 吳榕生.斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中原子受力的分析.大學(xué)物理,1986(2):5～7

8 郭大鈞.大學(xué)數(shù)學(xué)手冊(cè).濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,1985.70～73

Highlights:The existence and specific properties of the equivalent linear fixed points,for the parabolic deflection about the moving path of a point charge in a uniform electric field, and an atom with magnetic moment in a non-uniform magnetic field, were thrown light on, and a unified deflection formula was also deduced.

AGeometricLemmaandtheEquivalentLinearFixedPointofParabolicDeflection

ZhouGuoquan

(SchoolofPhysicsandTechnology,WuhanUniversity,Wuhan,Hubei430072)

parabola;electric deflection;magnetic deflection,fixed point;Stern-Gerlach experiment;deflection formula

*高等學(xué)校電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)研究項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào):JZW-16-DD-15

周?chē)?guó)全(1965- )男，博士，副教授,從事大學(xué)物理與理論物理教學(xué)工作, 非線(xiàn)性可積方程與場(chǎng)論研究.

2017-02-16)