邢務(wù)強(qiáng)

（西安郵電大學(xué)，西安 710121）

廣義逆指數(shù)分布元件的可靠性分析?

邢務(wù)強(qiáng)

（西安郵電大學(xué)，西安 710121）

在II型混合截尾樣本下，得到了廣義逆指數(shù)分布未知參數(shù)的最大似然估計(jì)。利用最大似然估計(jì)的漸近正態(tài)性構(gòu)造了參數(shù)的漸近置信區(qū)間，運(yùn)用Lindley’s逼近方法和Tierney&Kadane’s逼近方法計(jì)算出了參數(shù)的Bayes估計(jì)。最后，運(yùn)用Monte-Carlo方法對(duì)上述估計(jì)方法結(jié)果作了模擬比較。

廣義指數(shù)分布，最大似然估計(jì)，Bayes估計(jì)，II型混合截尾

0 引言

單參數(shù)指數(shù)分布是應(yīng)用最為廣泛的一個(gè)壽命分布，作為指數(shù)分布的一類推廣，Guptah和Kundu［1］提出了廣義指數(shù)分布，Lin［2］提出了逆指數(shù)分布。文獻(xiàn)［3］討論了逆指數(shù)分布的Bayes估計(jì)，Abouammoh和Alshingiti［4］對(duì)逆指數(shù)分布引入了一個(gè)形狀參數(shù)，得到了廣義逆指數(shù)分布，由于其分布結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單性，廣義逆指數(shù)分布在各方面都有了很多的應(yīng)用，文獻(xiàn)［5］討論了廣義逆指數(shù)分布在混合I型截尾下的參數(shù)估計(jì)，與前人不同，本文討論了II型混合截尾下廣義逆指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)分析，主要考慮了分布的參數(shù)估計(jì)問題。

II型混合截尾是指假設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品同時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)的壽命數(shù)據(jù)的順序統(tǒng)計(jì)量為。事先給定和，當(dāng)試驗(yàn)進(jìn)行到至少有R個(gè)產(chǎn)品失效并且試驗(yàn)至少進(jìn)行到時(shí)刻T時(shí)，試驗(yàn)結(jié)束，也即試驗(yàn)的終止時(shí)間為，這樣既保證了得到的有效樣本的個(gè)數(shù)，也會(huì)節(jié)約試驗(yàn)的時(shí)間。由II型混合截尾的定義可以看出，在II型混合截尾條件下，若不考慮無(wú)失效數(shù)據(jù)的情況下，所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)樣本有如下3種情況：

廣義指數(shù)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

1 參數(shù)的最大似然估計(jì)

綜上討論，最大似然函數(shù)為

其中

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

由式（1）可得

將式（3）代入式（2），可得

2 觀察信息陣

為了得到估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間，利用最大似然估計(jì)的觀察信息陣

其中：

從而可得協(xié)方差矩陣的估計(jì)為

3 貝葉斯估計(jì)

從而對(duì)于已知觀測(cè)數(shù)據(jù)，可得的后驗(yàn)分布為

3.1 Lindley’s逼近

上式右端用最大似然估計(jì)值代入，這里

于是，在II型混合廣義逆指數(shù)分布截尾數(shù)據(jù)下

3.2 Tierney&Kadane’s逼近

于是，在II型混合廣義逆指數(shù)分布截尾數(shù)據(jù)下

4 仿真模擬

根據(jù)上面的討論，對(duì)廣義逆指數(shù)分布的未知參數(shù)進(jìn)行采用蒙特卡羅仿真，仿真次數(shù)n=5 000，實(shí)驗(yàn)樣本的個(gè)數(shù)n=100，參數(shù)的真值為α=0.6，=1。表1為在截尾時(shí)間T=3下，未知參數(shù)在3種不同截尾數(shù)下的最大似然估計(jì)值和貝葉斯估計(jì)值，括號(hào)內(nèi)為估計(jì)值與真實(shí)值之間均方差，其中貝葉斯估計(jì)參數(shù)a1=1.2，a2=2，b1=2，b2=2。表 2 為在截尾數(shù) R=70 下，未知參數(shù)在3種不同截尾時(shí)間下的最大似然估計(jì)值和貝葉斯估計(jì)值，括號(hào)內(nèi)為估計(jì)值與真實(shí)值之間均方差，其中貝葉斯估計(jì)參數(shù)a1=1.2，a2=2，b1=2，b2=2。表3給出了截尾時(shí)間T=5下，未知參數(shù)在3種不同截尾數(shù)下未知參數(shù)真實(shí)值落入置信度為0.95的置信區(qū)間的比例。

由表格可以看出：①最大似然估計(jì)和兩種情況下的都較為接近參數(shù)的真實(shí)值，并且貝葉斯估計(jì)的值要優(yōu)于最大似然估計(jì)，并且估計(jì)值的均方差相應(yīng)的小于最大似然估計(jì)的均方差；②在截尾數(shù)R=70下，隨著隨著截尾時(shí)間的增大，參數(shù)的估計(jì)值越來(lái)越接近真實(shí)值，并且估計(jì)值的均方差也越來(lái)越??；③由觀察信息陣構(gòu)造的置信區(qū)間較為合理，隨著截尾樣本數(shù)量的增大，置信區(qū)間的精度也越來(lái)越好。并且修正后的置信區(qū)間要優(yōu)于先前的置信區(qū)間。

表1 截尾時(shí)間T=3

表2 截尾數(shù)R=70

表3 截尾時(shí)間T=5

［1］GUPTA R D，KUNDU B.Generalized exponential distributions［J］.Australian and New Zealand Journal of Statistics，1999，41（12）：173-188.

［2］LIN C T，DURAN B S，LEWIS T O.Inverted gamma as a life distribution ［J］.Microelectronics and Reliability，1989，29（4）：619-626.

［3］DEY S.Inverted exponential distribution as a life distribution model from a bayesian viewpoint［J］.Data Science Journal，2007，6：107-113.

［4］ABOUAMMOH A M，ALSHINGITI A M.Reliability of generalized inverted exponential distribution［J］.Journal of StatisticalComputation and Simulation ，2009，79（11）：1301-1315.

［5］DEY S，PRADHAN B.Generalized inverted exponential distribution under hybrid censoring［J］.Statistical Methodology，2014（18）：101-114.

［6］MEEKER W Q，ESCOBAR L A.Statistical methods for reliability data［M］.John Wiley&Sons，NewYork，1998.

［7］LINDLEY D V.Approximate Bayesian Methods［J］.Trabajos de stadistca，1980，31（1）：223-245.

［8］TIERNEY L，KADANE J B.Accurate approximations for posterior moments and marginal densities［J］.Y.Amer.Statist.Asso，1986，81（393）：82-86.

［9］周潔，賀興時(shí)，劉俊利.雙邊定數(shù)截尾場(chǎng)合下BurrⅫ分布的 Bayes估計(jì)［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2014（20）：25-27.

［10］鄢偉安，宋保維，毛昭勇，雙邊定數(shù)截尾下廣義指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì)［J］. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2012，48（1）：234-236.

［11］邢務(wù)強(qiáng)，師義民.I型混合截尾下指數(shù)—威布爾分布的統(tǒng)計(jì)分析［J］.火力與指揮控制，2013，38（5）：55-57.

Reliability Analysis of Generalized Inverted Exponential Distribution Elements

XING Wu-qiang
（Xi’an University of Posts ＆ Telecommunications，Xi’an 710121，China）

Based on type-II hybrid censored samples，the maximum likelihood estimators of the unknown parameters is derived.The approximate confidence intervals for the parameters based on the s-normal approximation to the asymptotic distribution of MLE are constructed.Bayes estimates using Lindley’s approximation method and Tierney&Kadane’s approximation method are developed for estimating the unknown parameters.Finally，Monte-Carlo simulations are performed to observe the behavior of the proposed methods.

generalized inverted exponential distribution，maximum likelihood estimators，Bayes estimates，type-II hybrid censored

O213.2

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.07.005

1002-0640（2017）07-0021-04

2016-05-05

2016-06-07

國(guó)家自然科學(xué)基金（71401134，71171164）；西安郵電大學(xué)中青年基金資助項(xiàng)目（101-0485）

邢務(wù)強(qiáng)（1977- ），男，河南三門峽人，在讀博士。研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，可靠性分析。