河北民族師范學(xué)院 司志本 (郵編:067000)

河北省承德醫(yī)學(xué)院 張 琪 (郵編:067000)

有趣的語言數(shù)列

河北民族師范學(xué)院 司志本 (郵編:067000)

河北省承德醫(yī)學(xué)院 張 琪 (郵編:067000)

語言數(shù)列,是一種特殊而且有趣的數(shù)列.它不像等差數(shù)列和等比數(shù)列那樣,特征明顯,有章可循,而是一種比較“任性”的數(shù)列.但是,探討語言數(shù)列的性質(zhì),我們將會發(fā)現(xiàn)一些有趣的、發(fā)人深思的問題.對語言數(shù)列做出進(jìn)一步的探討,你會有所收益.

數(shù)列;語言數(shù)列;趣味性;規(guī)律性

關(guān)于語言數(shù)列的概念,我們可以這樣來描述:任意給定一個自然數(shù)作為數(shù)列的第1項(xiàng);數(shù)列的第2項(xiàng)及其后面的項(xiàng)按照下面的方法得出:對第n(n∈N＋)項(xiàng)中所含的每一個數(shù)字的個數(shù),按照從左到右的順序進(jìn)行語言表述;把語言表述中的漢字去掉,剩下的數(shù)字按照原來的順序組成一個新數(shù);把這個新數(shù)作為這個數(shù)列的第n＋1項(xiàng).這樣得到的數(shù)列,我們稱之為語言數(shù)列.例如,一個數(shù)列的第1項(xiàng)是:a1＝123.

把第1項(xiàng)“123”中所含的每一個數(shù)字的個數(shù)用語言表述出來(按照從左向右的順序進(jìn)行表述,下同),就是“1個1,1個2,1個3”.把這個語言表述中的漢字去掉(即把“1個1,1個2,1個3”中的漢字“個”去掉),剩下的數(shù)字按照原來的順序組成一個新數(shù):a2＝111213.

這就是這個語言數(shù)列的第2項(xiàng).

對這個數(shù)列的第2項(xiàng)“111213”繼續(xù)按照上面的方法進(jìn)行語言表述,就是“4個1,1個2,1個3”,這樣就得到了這個數(shù)列的第3項(xiàng):a3＝411213.依次類推,可以繼續(xù)寫出這個語言數(shù)列后面的任意項(xiàng).

從上面這個例子可以看出,語言數(shù)列的概念并不難理解.本文只是從趣味性的角度,對一些規(guī)律性比較強(qiáng)、同時(shí)又比較簡單的語言數(shù)列做一點(diǎn)探討.

1 數(shù)列的第1項(xiàng)是一位數(shù)的情況

因?yàn)檎Z言數(shù)列的各個項(xiàng)都是自然數(shù),所以數(shù)列的第1項(xiàng)是一位數(shù)的語言數(shù)列只有10個.我們先討論一下數(shù)列的第1項(xiàng)a1＝1的情況.

如果數(shù)列的第1項(xiàng)a1＝1,那么用語言表述第1項(xiàng),就是“1個1”.把這個語言表述中的漢字“個”去掉,就得到了這個數(shù)列的第2項(xiàng):a2＝11.

用語言表述數(shù)列的第2項(xiàng)“11”,就是“2個1”,把這個語言表述中的漢字“個”去掉,就得到了這個數(shù)列的第3項(xiàng):a3＝21.

按照上面的方法,可以繼續(xù)寫出這個語言數(shù)列的第4項(xiàng)至第10項(xiàng):

a4＝1211,a5＝3112,a6＝132112,a7＝311322,a8＝232122,a9＝421311,a10＝14123113.

按照同樣的方法,我們可以寫出第1項(xiàng)是2, 3,4,5,…,9和0所對應(yīng)的語言數(shù)列.我們把第1項(xiàng)是1——9和0的這10個語言數(shù)列的前10項(xiàng)分別寫出來,就是:

觀察上面這10個語言數(shù)列,我們可以得出下面幾個結(jié)論:

第一,數(shù)列(2)的第n(n≥4)項(xiàng)與數(shù)列(1)的第n＋1項(xiàng)相同;

第二,數(shù)列(3)與數(shù)列(1)從第9項(xiàng)開始,對應(yīng)項(xiàng)相同;

第三,在(5)——(10)這6數(shù)列中,每一個數(shù)列的前10項(xiàng)中的個位數(shù)字分別相同.例如,數(shù)列(5)中所有項(xiàng)的個位數(shù)字都是5;

第四,在(5)——(10)這6個數(shù)列中,前10項(xiàng)中的對應(yīng)項(xiàng)只有個位數(shù)字不同.

2 數(shù)列的第1項(xiàng)是兩位數(shù)的情況

第1項(xiàng)是兩位數(shù)的語言數(shù)列共有92個(我們把00和01也視為兩位數(shù)).在這92個數(shù)列中,我們重點(diǎn)討論兩個內(nèi)容:第一,第1項(xiàng)是形如的語言數(shù)列有哪些性質(zhì);第二,第1項(xiàng)是與(a≠b)的這一對語言數(shù)列之間有哪些關(guān)系.

觀察數(shù)列(11)——(20),我們可以得出下面幾個結(jié)論:

第一,由數(shù)列(12)可知,以22為第1項(xiàng)的語言數(shù)列,是一個各項(xiàng)都是22的常數(shù)列.筆者猜想,這是語言數(shù)列中唯一的一個常數(shù)列;

第二,(14)——(20)這7個數(shù)列,從第9項(xiàng)開始,后面的各項(xiàng)都與第9項(xiàng)相同.也就是說,如果把這7個數(shù)列的前8項(xiàng)去掉,那么所得到的7個新數(shù)列都是常數(shù)列.我們不妨把這類數(shù)列稱之為“準(zhǔn)常數(shù)列”;

第三,(13)——(20)這8個數(shù)列,從第2項(xiàng)開始,它們的對應(yīng)項(xiàng)只有個位數(shù)字不同.例如,數(shù)列(13)的第3項(xiàng)是1213,而數(shù)列(14)的第3項(xiàng)是1214;

第四,在(14)——(20)這7個數(shù)列中,每一個數(shù)列的個位數(shù)字分別相同.例如數(shù)列(16)的各項(xiàng)的個位數(shù)字都是6;

第五,因?yàn)?11)——(20)這10個數(shù)列的第2項(xiàng)的十位數(shù)字都是2,個位數(shù)字分別是1,2,…,9和0,所以,在討論第1項(xiàng)是這類數(shù)列的同時(shí),我們順便還可以得出第1項(xiàng)是這10個語言數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).

2.2 數(shù)列的第1項(xiàng)是形如ab與ba(a≠b)的這一對語言數(shù)列之間的關(guān)系

我們先來討論一下,數(shù)列的第1項(xiàng)是形如1a與a1(a≠1)的這一對語言數(shù)列之間的關(guān)系.

因?yàn)槭粩?shù)字是1的這10個兩位數(shù),恰好是數(shù)列(1)——(10)的第2項(xiàng),所以,以1a為第1項(xiàng)的語言數(shù)列,它的第n項(xiàng)分別與數(shù)列(i)(i＝ 1,2,…,9,10)的第n＋1項(xiàng)相同,因此,以1a為第1項(xiàng)的這10個語言數(shù)列,與(1)——(10)這10個數(shù)列具有類似的性質(zhì).

為了方便,我們把01也看做是一個兩位數(shù),這樣一來,第1項(xiàng)是a1的語言數(shù)列一共有10個.我們只需要寫出這10個數(shù)列的前3項(xiàng),其結(jié)論就一目了然了.這10個數(shù)列的前3項(xiàng)分別是:

11,21,1211.

21,1211,3112.

31,1311,3113.

……

91,1911,3119.

01,1011,3110.

與數(shù)列(1)～(10)比較不難看出,以a1為第1項(xiàng)的語言數(shù)列,從第3項(xiàng)開始,它的第n(n≥3)項(xiàng)與數(shù)列(i)(i＝1,2,…,9,10)的第n＋1項(xiàng)相同.

進(jìn)一步我們可以得出這樣的結(jié)論:第1項(xiàng)是a1與第1項(xiàng)是1a的這一對語言數(shù)列,從第3項(xiàng)開始它們的對應(yīng)項(xiàng)相同.

對于數(shù)列的第1項(xiàng)是形如ab與ba(a≠b)的兩個語言數(shù)列之間的關(guān)系.仿照上面第1項(xiàng)是形如1a與a1的情況的討論,我們可以得出這樣的結(jié)論:

第1項(xiàng)是兩位數(shù)ab與ba(a≠b)的這對語言數(shù)列,從第a＋2項(xiàng)開始,它們的對應(yīng)項(xiàng)分別相同.尤其是第1項(xiàng)是4a與a4的這對語言數(shù)列,除了從第6項(xiàng)開始它們的對應(yīng)項(xiàng)相同以外,它們還都是“準(zhǔn)常數(shù)列”.

3 數(shù)列的第1項(xiàng)是三位數(shù)的情況

關(guān)于數(shù)列的第1項(xiàng)是三位數(shù)的情況,我們只討論第1項(xiàng)是a1＝123的這樣一個特殊的語言數(shù)列.

如果一個語言數(shù)列的第1項(xiàng)是a1＝123,那么這個數(shù)列的前10項(xiàng)分別是:

a1＝123,a2＝111213,a3＝41213,a4＝14311213,a5＝41142312,a6＝24312213,a7＝32142321,a8＝23322114,a9＝32232114,a10＝23322114.

觀察這個數(shù)列的前10項(xiàng)我們發(fā)現(xiàn):a10＝a8.也就是說,這個語言數(shù)列從第10項(xiàng)開始出現(xiàn)了重復(fù):當(dāng)n≥8時(shí),有an＋2＝an.

關(guān)于這類語言數(shù)列,我們不妨稱之為“循環(huán)數(shù)列”.常數(shù)列和準(zhǔn)常數(shù)列也可以看做是一種特殊的循環(huán)數(shù)列.除此之外,還有沒有其它循環(huán)數(shù)列?有興趣的讀者可以做出進(jìn)一步的探討.

4 數(shù)列的第1項(xiàng)是各位數(shù)字相同的n(2≤n≤9)位數(shù)的情況

一般來講,隨著數(shù)列第1項(xiàng)的位數(shù)的增加,討論的難度也會越來越大.但是,如果語言數(shù)列的第1項(xiàng)是各位數(shù)字相同的n(2≤n≤9)位數(shù),那么,這類數(shù)列問題可以轉(zhuǎn)化為第1項(xiàng)是兩位數(shù)的語言數(shù)列問題來研究.具體討論如下:

當(dāng)n＝2時(shí)的情況,在前面已經(jīng)討論;

當(dāng)n＝3時(shí),這10個數(shù)列的第1項(xiàng)分別是:

111,222,333,444,555,666,777,888, 999,000.

對應(yīng)的第2項(xiàng)分別是:

31,32,33,34,35,36,37,38,39,30.

這就把第1項(xiàng)是aaa的語言數(shù)列問題,轉(zhuǎn)化為已經(jīng)討論過的第1項(xiàng)是3a的語言數(shù)列問題.

當(dāng)n＝4時(shí),這10個數(shù)列的第1項(xiàng)分別是:

1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777, 8888,9999,0000.

對應(yīng)的第2項(xiàng)分別是:

41,42,43,44,45,46,47,48,49,40.

這就把第1項(xiàng)是aaaa的語言數(shù)列問題,轉(zhuǎn)化為已經(jīng)討論過的第1項(xiàng)是4a的語言數(shù)列問題.

依次類推,一般情況,我們可以得出這樣的結(jié)論:如果一個語言數(shù)列的第1項(xiàng)是和n都是自然數(shù),且0≤a≤9,2≤n,那么,這個數(shù)列的第2項(xiàng)是一個兩位數(shù)na.特別地,當(dāng)n＝a時(shí),這個數(shù)列的第2項(xiàng)與數(shù)列(11)——(20)中對應(yīng)數(shù)列的第1項(xiàng)相同.

這樣一來,對于第1項(xiàng)是各位數(shù)字相同的n (2≤n≤9)位數(shù)的語言數(shù)列,它們的相關(guān)性質(zhì)可以在以na為第1項(xiàng)的語言數(shù)列中找到.

等差數(shù)列和等比數(shù)列,是我們比較熟悉的數(shù)列.這兩種數(shù)列的特點(diǎn)比較明顯,規(guī)律性也比較強(qiáng),而本文所討論的語言數(shù)列,就不像等差數(shù)列和等比數(shù)列那樣“有章可循”,顯得比較“任性”.但是,從上面的討論過程不難看出,語言數(shù)列有許多性質(zhì)是非常有趣的.本文討論的只是比較簡單、而且也比較有趣的一些語言數(shù)列,但愿能夠起到拋磚引玉的作用.關(guān)于語言數(shù)列,一定還有許多有趣的、發(fā)人深思的問題,有興趣的讀者不妨做出進(jìn)一步的探討.

1 談祥柏.樂在其中的數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社.2005.8

2017-05-06)