■河南省洛陽市第二中學(xué) 王春旺

明確模型類型袁掌握解題策略
——動量守恒的八種模型解讀

■河南省洛陽市第二中學(xué) 王春旺

動量守恒定律是自然界中最普遍、最基本的規(guī)律之一,它不僅適用于宏觀、低速領(lǐng)域,而且適用于微觀、高速領(lǐng)域。通過對近些年高考真題和模擬試題的研究,可以歸納出動量守恒問題的八種模型。

一、碰撞模型

模型解讀:碰撞的特點是在碰撞的瞬間,相互作用力很大,作用時間很短,作用瞬間位移為零,碰撞前后系統(tǒng)的動量守恒。在無機械能損失的彈性碰撞過程中,碰撞后系統(tǒng)的動能之和等于碰撞前系統(tǒng)的動能之和。在碰撞后合為一體的完全非彈性碰撞過程中,系統(tǒng)的機械能損失最大。

如圖1所示,在足夠長的光滑水平面上,物體A、B、C位于同一直線上,物體A位于B、C之間。物體A的質(zhì)量為m,物體B、C的質(zhì)量都為M,三者均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)使物體A以某一速度向右運動,求m和M滿足什么條件時,才能使物體A只與物體B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性碰撞。

解析:物體A向右運動與物體C發(fā)生一次碰撞,在碰撞過程中,系統(tǒng)的動量守恒,動能守恒。取向右為正方向,物體A的初速度為v0,碰撞后物體C的速度為vC1,物體A的

若m>M,則第一次碰撞后物體A的速度小于物體C的速度,且向右,不可能與物體B發(fā)生碰撞;若m=M,則第一次碰撞后物體A停止,物體C以速度v0向右運動,物體A不可能與物體B發(fā)生碰撞。因此只需考慮m

當(dāng)m

點評:解答本題需要對m>M,m=M,m

二、爆炸模型

模型解讀:爆炸是在極短時間內(nèi)完成的,爆炸時物體之間的相互作用力遠遠大于系統(tǒng)所受外力,系統(tǒng)動量守恒。在爆炸過程中,因為存在其他形式的能量(炸藥的化學(xué)能)轉(zhuǎn)化為機械能,所以系統(tǒng)的動能一定增加。

如圖2所示,水平面上O、M兩點正中間有質(zhì)量分別為2m、m的兩物塊B、C(中間粘有炸藥),現(xiàn)點燃炸藥,物塊B、C被水平彈開,物塊C運動到O點時與剛好到達該點質(zhì)量為m、速度為v0的小物塊A發(fā)生迎面正碰,碰后兩者結(jié)合為一體向左滑動并剛好在M點與物塊B相碰。不計一切摩擦,三物塊均可視為質(zhì)點,取g=10m/s2,求炸藥點燃后釋放的能量E。

圖2

解析:在爆炸過程中,物塊B、C的動量守恒,設(shè)物塊C的速度為v1,物塊B的速度為v2,則mv1=2mv2。系統(tǒng)的能量守恒,則物塊C與小物塊A發(fā)生正碰,滿足動量守恒定律,設(shè)碰后結(jié)合體的速度為v,則mv0-mv1=2mv。結(jié)合體在M點與物塊B相碰,設(shè)OM的長度為2x,則聯(lián)立以上各式

點評:凡是內(nèi)力瞬時做功,使系統(tǒng)機械能瞬時增大的問題都可以歸納為爆炸模型。在“爆炸”過程中,動量守恒,內(nèi)力瞬時做的功等于系統(tǒng)增大的機械能。

三、反沖模型

模型解讀:系統(tǒng)的某部分在內(nèi)力作用下向相反方向的運動,稱為反沖。反沖的特點是系統(tǒng)的不同部分間相互作用的內(nèi)力大,在外力遠小于內(nèi)力的情況下,可以認為系統(tǒng)的動量守恒。常見的反沖現(xiàn)象有:噴氣式飛機的運動,火箭的運動,放射性元素的衰變等。

一個總質(zhì)量M=100kg的航天員(包括所攜帶裝備),在距離飛船x=45m處與飛船處于相對靜止?fàn)顟B(tài),航天員背著裝有質(zhì)量m0=0.5kg氧氣的貯氣筒,貯氣筒上裝有可以使氧氣以v=50m/s的速度噴出的噴嘴。航天員必須向著返回飛船的相反方向放出氧氣,才能回到飛船,同時又必須保留一部分氧氣供返回途中呼吸用。已知航天員的耗氧率Q=2.5×10-4kg/s,不考慮噴出氧氣對航天員總質(zhì)量的影響,則:

(1)瞬時噴出多少氧氣,航天員才能安全返回飛船?

(2)為了使總耗氧量最低,應(yīng)一次噴出多少氧氣?返回時間是多少?

解析:(1)由題述易知所求的噴出氧氣的質(zhì)量m應(yīng)有一個范圍。若m太小,航天員獲得的速度也小,雖貯氣筒中剩余的氧氣較多,但由于返回飛船所用的時間太長,將無法滿足他返回途中呼吸所用;若m太大,航天員獲得的速度雖然大了,但由于貯氣筒中剩余的氧氣太少,也無法滿足其呼吸所用。因此m對應(yīng)的最小和最大兩個臨界值都應(yīng)是氧氣恰好用完的情況,設(shè)瞬時噴氣質(zhì)量為m時,航天員恰能安全返回,則由動量守恒定律得mv=Mv',航天員勻速返回所用的時間t=氣筒中氧氣的總質(zhì)量m0≥m+Qt,解得0.05kg≤m≤0.45kg。

(2)設(shè)航天員在安全返回過程中共消耗氧氣的質(zhì)量為Δm,則Δm=m+Qt=m+由數(shù)學(xué)知識可即m=0.15kg時,Δm有極小值。因此為了使總耗氧量最低,應(yīng)一次噴出0.15kg的氧氣。將m=解得返回時間t=600s。

點評:若向前瞬時噴出微量氣體,則根據(jù)動量定理可知,受到一個向后的瞬時作用力,具有一個瞬時加速度,獲得一個速度后退。若向前持續(xù)噴出氣體,則獲得一個向后的持續(xù)力,具有持續(xù)的加速度。

四、子彈打木塊模型

模型解讀:若木塊不固定,則在子彈打木塊的過程中,子彈與木塊的作用力遠大于木塊所受阻力,系統(tǒng)動量守恒。在子彈打木塊的過程中,子彈和木塊的位移不同,二者相互作用,導(dǎo)致系統(tǒng)的機械能減小,減小的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。對于子彈打木塊問題,若計算二者相互作用前后的速度,則可以利用動量守恒定律列方程解答;若涉及相互作用的時間,則一般需要利用動量定理列方程解答;若涉及子彈打入木塊的深度,則一般需要對子彈和木塊分別運用動能定理和動量定理列方程解答。

如圖3所示,在光滑水平地面上的木塊緊挨輕彈簧靠墻放置。子彈以速度v0沿水平方向射入木塊并在極短時間內(nèi)相對于木塊靜止下來,然后木塊壓縮勁度系數(shù)未知的彈簧至彈簧最短。已知子彈質(zhì)量為m,木塊質(zhì)量是子彈質(zhì)量的9倍,即M=9m;彈簧最短時,彈簧被壓縮了Δx;勁度系數(shù)為k、形變量為x的彈簧

圖3

(1)子彈在射入木塊到剛相對于木塊靜止的過程中損失的機械能。

(2)彈簧的勁度系數(shù)。

解析:(1)設(shè)子彈射入木塊到剛相對于木塊靜止時的速度為v,則由動量守恒定律得設(shè)子彈在射入木塊到剛相對于木塊靜止的過程中損失的機械能為ΔE,則由能量守恒定律得ΔE=

(2)設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k0,則在彈簧被壓縮Δx時,其彈性勢能可表示為Ep=。在木塊壓縮彈簧的過程中,由機械能守恒定律得=Ep,解得

點評:此題涉及兩個模型,即子彈打木塊模型和輕彈簧模型。子彈打木塊模型,一定有機械能損失,損失的機械能等于系統(tǒng)動能之差,也等于子彈所受阻力乘以子彈打入木塊的深度(若子彈從木塊中穿出,則損失的機械能等于子彈所受阻力乘以木塊的長度)。

五、人船模型

模型解讀:船靜止在水面上,人在船上行走,船后退,若人船系統(tǒng)所受的合外力為零(不考慮船運動所受水的阻力),則人船系統(tǒng)的動量守恒。由對于相互作用的整個過程,有兩個原來靜止的物體發(fā)生相互作用時,若系統(tǒng)所受的合外力為零,則都可視為人船模型。解答此類問題時,可以畫出兩個物體的位移關(guān)系圖,從而確定兩個物體的位移關(guān)系。

如圖4所示,質(zhì)量為m、半徑為r的小球,放在內(nèi)半徑為R,質(zhì)量M=3m的大空心球內(nèi)。開始時二者均靜止在光滑水平面上,當(dāng)將小球由圖示位置無初速度地釋放,直至小球沿大球內(nèi)壁滾到最低點時,大球移動的距離為( )。

圖4

解析:因為水平面光滑,所以系統(tǒng)在水平方向上動量守恒。由mv=題意畫出示意圖如圖5所示,其中小球到達最低點時,小球的水平位移為x,大球的水平位移

圖5

點評:對于人船模型問題,畫出示意圖就可以清晰地確定兩物體之間的位移關(guān)系。

六、彈簧連接體模型

模型解讀:兩個物體在相對運動過程中通過彈簧發(fā)生相互作用,系統(tǒng)的動量守恒,機械能守恒。

圖6

如圖6所示,A、B兩物體的中間用一段細繩相連并有一壓縮的彈簧,放在平板小車C上后,A、B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)。若地面光滑,則在細繩被剪斷后,物體A、B在小車C上向相反方向滑動,未從小車C上滑離的過程中( )。

A.若物體A、B與小車C間的摩擦力大小相等,則由物體A、B組成的系統(tǒng)動量守恒,由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)動量守恒

B.若物體A、B與小車C間的摩擦力大小相等,則由物體A、B組成的系統(tǒng)動量不守恒,由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)動量守恒

C.若物體A、B與小車C間的摩擦力大小不相等,則由物體A、B組成的系統(tǒng)動量不守恒,由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)動量不守恒

D.若物體A、B與小車C間的摩擦力大小不相等,則由物體A、B組成的系統(tǒng)動量不守恒,由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)動量守恒

解析:在由物體A、B組成的系統(tǒng)中,彈簧的彈力為內(nèi)力,物體A、B與小車C間的摩擦力為外力。當(dāng)物體A、B與小車C間的摩擦力大小不相等時,由物體A、B組成的系統(tǒng)所受合外力不為零,動量不守恒;當(dāng)物體A、B與小車C間的摩擦力大小相等時,由物體A、B組成的系統(tǒng)所受合外力為零,動量守恒。在由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)中,彈簧的彈力,以及物體A、B與小車C間的摩擦力均屬于內(nèi)力,無論物體A、B與小車C間的摩擦力大小是否相等,系統(tǒng)所受的合外力均為零,系統(tǒng)的動量均守恒。答案為AD。

點評:此題涉及A、B、C三個物體,解答三體問題時,需要正確選擇研究對象,明確誰是外力、誰是內(nèi)力。彈簧彈力對由物體A、B組成的系統(tǒng)和由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)都是內(nèi)力;物體A、B與小車C間的摩擦力對由物體A、B組成的系統(tǒng)是外力,對由物體A、B和小車C組成的系統(tǒng)是內(nèi)力。

七、物塊與木板疊放體模型

模型解讀:木板放在光滑水平面上,物塊在木板上運動,相互作用的是摩擦力,系統(tǒng)的動量守恒。物塊在木板上相對運動,摩擦生熱,產(chǎn)生的熱量Q=fs,式中s為二者相對運動的路程。

圖7

如圖7所示,平板車P的質(zhì)量為M,小物塊Q的質(zhì)量為m,大小不計,位于平板車的左端,二者原來靜止在光滑水平地面上。一根不可伸長的輕質(zhì)細繩長為R,一端固定于小物塊Q的正上方高為R處,另一端系一質(zhì)量也為m的小球(大小不計)?，F(xiàn)將小球拉至細繩與豎直方向成θ=60°角,由靜止釋放,小球到達最低點時與小物塊Q碰撞的時間極短,且無能量損失。已知小物塊Q離開平板車時的速度大小是平板車速度大小的兩倍,小物塊Q與平板車P間的動摩擦因數(shù)為μ,M∶m=4∶1,重力加速度為g。求:

(1)小球到達最低點與小物塊Q碰撞之前瞬間的速度是多大?

(2)小物塊Q離開平板車P時,平板車的速度為多大?

(3)平板車P的長度為多少?

解析:(1)小球在由靜止擺動到最低點的過程中,機械能守恒,則mgR(1-cosθ)=得小球到達最低點與小物塊Q碰撞之前瞬間的速度

(2)小球與小物塊Q相撞時,碰撞時間極短,沒有能量損失,動量守恒,機械能也守Q在平板車P上滑行,滿足動量守恒定律,設(shè)小物塊Q離開平板車P時平板車的速度為v,則mvQ=Mv+m·2v,又有M∶m=

(3)小物塊Q在平板車P上滑行,部分動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得平板車P的長度

點評:此題涉及三個物體的三個過程,分別為小球由靜止擺動到最低點的機械能守恒過程,小球與小物塊的碰撞過程(動量守恒,機械能守恒),小物塊在平板車上滑行的過程(動量守恒,機械能不守恒)。對于多物體、多過程問題,要根據(jù)題述物理過程,正確選擇系統(tǒng)和過程,運用相關(guān)物理規(guī)律列方程解答。

八、多次碰撞模型

模型解讀:若放在光滑水平面上的凹槽中的物體以某一速度與凹槽碰撞,則會發(fā)生多次碰撞。對于發(fā)生多次碰撞的系統(tǒng),若只需計算二者相對靜止時的速度,則可以根據(jù)動量守恒定律列方程解答。

如圖8所示,在光滑水平地面上有一凹槽A,其正中央放一小物塊B,兩槽壁間的距離L=1m,凹槽與小物塊的質(zhì)量均為m,兩者間的動摩擦因數(shù)μ=0.05。開始時小物塊靜止,凹槽以初速度v0=5m/s向右運動,設(shè)小物塊在與槽壁碰撞的過程中沒有能量損失,且碰撞時間不計。取g=10m/s2。求:

(1)小物塊與凹槽相對靜止時的共同速度大小。

(2)從凹槽開始運動到兩者相對靜止,小物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)。

圖8

(3)從凹槽開始運動到兩者剛好相對靜止所經(jīng)歷的時間,以及在該時間內(nèi)凹槽運動的位移大小。

解析:(1)設(shè)兩者相對靜止時的速度為v,則由動量守恒定律得mv0=2mv,解得v= 2.5m/s。

(2)小物塊與凹槽間的滑動摩擦力f= μN=μmg。設(shè)兩者從開始到相對靜止前相對運動的路程為s1,則由動能定理得-fs1=L=1m,可以推知小物塊與右側(cè)槽壁共發(fā)生6次碰撞。

(3)設(shè)凹槽與小物塊碰撞前二者的速度分別為v1、v2,碰撞后二者的速度分別為v1'、v2'=v1,即每碰撞一次凹槽與小物塊發(fā)生一次速度交換。在同一坐標(biāo)系上二者的速度—時間圖像如圖9所示。根據(jù)碰撞次數(shù)可將圖像分為13段,凹槽、小物塊的v-t圖像在兩條連續(xù)的勻變速直線運動直線間轉(zhuǎn)換,因此可以用勻變速直線運動規(guī)律求時間。由勻變速直線運動規(guī)律得v=v0+at,a= -μg,解得t=5s。v-t圖像中陰影部分的面積即為凹槽的位移大小s2(等腰三角形的面積共分13份,第一份的面積為0.5L,其余每份的面積均為L),則12.75m。

圖9

點評:對于兩個物體的多次碰撞模型,一般涉及動量守恒定律、動能定理等知識,難度較大。對于限定路徑上的往返相對運動問題,若求二者相對靜止的位置或碰撞次數(shù),關(guān)鍵是利用動能定理求出相對運動的路程。

(責(zé)任編輯 張 巧)