□ 李峰英

理清思維鏈，掌握知識(shí)本質(zhì)
——對(duì)“長(zhǎng)度、面積、體積概念”教學(xué)的思考

□ 李峰英

通過對(duì)“長(zhǎng)度、面積、體積概念”系列課的教學(xué)思考，從依附于知識(shí)上的思維經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，幫助學(xué)生找到思維點(diǎn)，建好思維鏈，在“尋思來(lái)去”中，理清知識(shí)的來(lái)龍去脈，掌握知識(shí)的本質(zhì)，尤為重要的是為數(shù)學(xué)思維方式找到它的源頭和出口，走出一條數(shù)學(xué)思維的康莊大“道”。

長(zhǎng)度 面積 體積 思維點(diǎn) 尋思來(lái)去

長(zhǎng)度、面積和體積是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，它是圖形與幾何知識(shí)中一組最為基本的度量概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教材一般將長(zhǎng)度、面積和體積分別編排在不同的年級(jí)進(jìn)行教學(xué)，這很好地分散了教學(xué)難點(diǎn)，但是教師在關(guān)注知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的同時(shí)，往往容易忽視知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。很多執(zhí)教教師在這塊內(nèi)容的教學(xué)上存在一些問題：在建立長(zhǎng)度、面積、體積表象的時(shí)候缺少累積的過程；在圖形的認(rèn)識(shí)中往往浮于表面而缺少圖形認(rèn)識(shí)的系統(tǒng)性；在圖形變式和轉(zhuǎn)化中缺少圖形之間的內(nèi)在溝通。基于這樣的思考，筆者發(fā)現(xiàn)所有的問題都是缺少“尋思來(lái)去”的整體性思維所引起的連鎖反應(yīng)。下面談一談筆者在長(zhǎng)度、面積、體積概念教學(xué)中的一些做法。

一、點(diǎn)動(dòng)成線，逐層遞進(jìn)，順應(yīng)“思維點(diǎn)”

用集合的觀點(diǎn)來(lái)看，線是點(diǎn)的集合，點(diǎn)是線的元素。小學(xué)數(shù)學(xué)中的線，有線段、射線、直線。其中線段是可以度量的。由于度量的需要，學(xué)生建立了長(zhǎng)度單位的概念。小學(xué)階段常用的長(zhǎng)度單位有毫米、厘米、分米、米、千米等，在這個(gè)點(diǎn)動(dòng)成線的過程中，其實(shí)就是長(zhǎng)度單位不斷累積的一個(gè)過程。

（一）累積，點(diǎn)聚集成線的“表象”

對(duì)于長(zhǎng)度單位的教學(xué)，教材編排是在認(rèn)識(shí)了厘米和米的基礎(chǔ)上再認(rèn)識(shí)毫米和分米的。厘米、米離生活比較近，便于學(xué)生掌握。因此在教學(xué)“毫米”的時(shí)候，有什么教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可以為我們所用的，是我們要尋找的一個(gè)教學(xué)起點(diǎn)。

【教學(xué)片段一】

在教學(xué)“毫米的認(rèn)識(shí)”的引入部分，教師在課始可以進(jìn)行這樣的復(fù)習(xí)“累積”。

師：我們已經(jīng)學(xué)過哪些長(zhǎng)度單位？

生：米和厘米，1米=100厘米。

師：你能用筆畫1米的長(zhǎng)度嗎？那1厘米有多長(zhǎng)呢？放在尺上試試。

師：8厘米有多長(zhǎng)呢？

生：8個(gè)這樣的1厘米。

師：估一估這疊一角硬幣的高度。先估一估再量一量：估計(jì)是8毫米。正確嗎？假設(shè)是正確的，8毫米是什么意思？8個(gè)1毫米。用尺子找一找8毫米在哪里。

師：那1毫米在哪里呢？

師生一起發(fā)現(xiàn)：這樣的硬幣厚度是8毫米，看看硬幣的數(shù)量，我們就知道：1枚硬幣的厚度是1毫米。

教學(xué)是有計(jì)劃的，毫米的認(rèn)識(shí)可以運(yùn)用厘米和米的教學(xué)時(shí)所用到的“點(diǎn)累積的表象”，在不斷累積的過程中，我們理解了8毫米就是8個(gè)1毫米的累積，從而在接下來(lái)的教學(xué)中可以不斷地衍生開去。其實(shí)，無(wú)論長(zhǎng)度、面積、體積，所有的單位都是累積的過程。

（二）累積，線圍成周長(zhǎng)的“蛻變”

【教學(xué)片段二】

在教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)計(jì)算內(nèi)容時(shí)，學(xué)生大多數(shù)都能快速地背誦和直接運(yùn)用計(jì)算公式，但是在后續(xù)變式練習(xí)中學(xué)生思維中的不足才真正暴露出來(lái)。因此，我們將教學(xué)重點(diǎn)定位為“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的得出和應(yīng)用”。

長(zhǎng)方形正方形原生態(tài)的周長(zhǎng)公________________ ___________ __________ __________ ______式簡(jiǎn)化過的周長(zhǎng)公________________ _ ______式a+a+b+b a×2+b×2（a+b）×2__ ___ a+a+a+a (a+a)×2 a×4___ ___________一般四邊_____________________________________ __________ ________________________________________形a+b+c+d同上

在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，其實(shí)周長(zhǎng)公式（長(zhǎng)+寬）×2和邊長(zhǎng)×4的方法分別是在計(jì)算周長(zhǎng)的過程中對(duì)連加在計(jì)算上的一種優(yōu)化。意識(shí)到長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算公式是基于兩種圖形各自特征的簡(jiǎn)便計(jì)算方法。

二、線動(dòng)成面，溝通對(duì)比，摸準(zhǔn)“思維鏈”

（一）在說圖形要素中，找到知識(shí)生長(zhǎng)的“紐帶”

在學(xué)習(xí)平面圖形時(shí)，從長(zhǎng)方形、正方形到平行四邊形。教學(xué)這塊知識(shí)都是與長(zhǎng)方形教學(xué)相類似，教師可以引導(dǎo)學(xué)生整理思路（見下表）。

_圖___ _形長(zhǎng)方形從哪幾個(gè)要素來(lái)研究_ _____邊是4條邊，對(duì)邊相等，角是4個(gè)直角平行四邊形邊是4條邊，對(duì)邊平行且相等角是4個(gè)角，對(duì)角相等回一回思路_____邊的數(shù)量，長(zhǎng)短兩個(gè)方面角的數(shù)量，大小_______邊的數(shù)量，長(zhǎng)短，互相之間的關(guān)系角的數(shù)量，大小，互相之間的關(guān)系__________

雖然只是簡(jiǎn)單地在知道圖形組成的各個(gè)要素以后“回一回”思路，但這恰好是思維生長(zhǎng)的開始。今后研究其他圖形的時(shí)候，學(xué)生就知道圖形可以從邊和角兩個(gè)方面進(jìn)行研究，腦海里就不會(huì)是一片空白。

（二）在數(shù)格子中，發(fā)現(xiàn)圖形夾角的“陰謀”

很多人以為，數(shù)學(xué)知識(shí)是規(guī)定的，不用講道理。其實(shí)數(shù)學(xué)是最需要講道理的。長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積到底為什么會(huì)不一樣？其實(shí)這里就有夾角的“陰謀”。即四邊形面積的大小跟相鄰兩邊的夾角是有關(guān)系的。

【教學(xué)片段三】

環(huán)節(jié)一：數(shù)一數(shù)，筆者認(rèn)為在數(shù)的過程中忌諱一句話“把不足一個(gè)的按半個(gè)計(jì)算”，這樣會(huì)降低了學(xué)生的思維含量，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展沒有好處。改為如下補(bǔ)一補(bǔ)和剪拼會(huì)有益于學(xué)生思維的發(fā)展。

（補(bǔ)一補(bǔ)）

（剪拼）

環(huán)節(jié)二：驗(yàn)一驗(yàn)，此時(shí)再用拉一拉的方法回顧感受，發(fā)現(xiàn)的確是相鄰兩邊的夾角對(duì)圖形面積的大小有如此大的影響。

學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積時(shí)用數(shù)格子的方法，因此在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)學(xué)生為了數(shù)清楚，會(huì)自主地通過多種方法數(shù)出圖形的面積單位的數(shù)量。在轉(zhuǎn)化后，學(xué)生很快知道一排有幾個(gè)是不會(huì)變化的，排數(shù)不會(huì)變化，它們的乘積是最終的面積。這樣自然而然就用到底乘高的方法了。然后在環(huán)節(jié)二比較長(zhǎng)方形與平行四邊形的異同中發(fā)現(xiàn)，原來(lái)最大的“陰謀”就是相鄰兩邊的夾角不同，長(zhǎng)方形面積之所以長(zhǎng)乘寬，那是因?yàn)樗膫€(gè)角都是直角，面積單位的排數(shù)就是它的寬度，長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形。

（三）在搭框架中，明晰圖形的異同點(diǎn)

孔凡哲教授指出：教學(xué)要暴露數(shù)學(xué)思維過程，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，把數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)變成數(shù)學(xué)活動(dòng)和思維活動(dòng)的教學(xué)，在活動(dòng)中明晰圖形的異同點(diǎn)。

【教學(xué)片段四】

師：平行四邊形、正方形、長(zhǎng)方形又有怎樣的聯(lián)系呢？接下來(lái)我們一起來(lái)梳理一下。

師出示幾組小棒：

5厘米（3根），8厘米（4根），10厘米（2根），12厘米（1根）

經(jīng)過小組活動(dòng)后，學(xué)生反饋如下表：

__________ ________ ______________ _______________長(zhǎng)方形平行四邊形小棒選擇1正方形_______________________________ 8cm 8cm 8cm __________ _______ ______________ ________________ ________8cm 10cm 10cm 8cm 8cm 10cm 10cm 8cm 8cm小棒__選擇2小棒__選擇3小棒__選_____ ________ ______________ ___擇4共幾個(gè)不同圖形無(wú)無(wú)無(wú)1個(gè)10cm 10cm 5cm_________ ___ 5cm 8cm 8cm 5cm_________ ___ 5cm無(wú)3個(gè)搭的原因4根一樣長(zhǎng)2組小棒，每組2根長(zhǎng)度相等10cm 10cm 5cm___________ _5cm 8cm 8cm 5cm__________5cm 8cm 8cm 8cm__________8cm 4個(gè)能搭長(zhǎng)方形和正方形的都可以搭平行四邊形_____

在選擇、辨別中發(fā)現(xiàn)平行四邊形與正方形和長(zhǎng)方形邊的關(guān)系，在操作和思考中，學(xué)生的數(shù)學(xué)敏感度得到了提升，可以很好地溝通圖形之間的關(guān)系，韋恩圖牢牢刻在了腦海中。

三、面動(dòng)成體，聚焦本質(zhì)，提升“思維質(zhì)”

在小學(xué)階段，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體主要分兩個(gè)階段：一是一年級(jí)初步認(rèn)識(shí)立體圖形，包括認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體；二是五年級(jí)“正式”認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體。筆者從五年級(jí)下冊(cè)的長(zhǎng)方體、正方體說起。該節(jié)課是小學(xué)高段立體圖形的起始課。

（一）拉長(zhǎng)知識(shí)長(zhǎng)度，學(xué)到更多的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、一般四邊形的周長(zhǎng)計(jì)算公式推導(dǎo)的思路，教師可以把它延伸到求立體圖形中來(lái)，發(fā)現(xiàn)其相似的地方。

正方體______ ____________ ____ __（最特殊）表面積公_______ ___________ __________________ ____________ _式1個(gè)面×6有2個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體_____ ____ 2個(gè)相同的面+另外4個(gè)相同的面最一般的長(zhǎng)方體____上下面+左右面+前后面

長(zhǎng)方體和正方體表面積的計(jì)算依舊是由圖形的特殊想到計(jì)算方法的特殊，由圖形的一般想到計(jì)算方法的一般。

（二）拓寬知識(shí)寬度，找到更廣的知識(shí)聯(lián)系

長(zhǎng)方體的體積教學(xué)是第一次接觸體積，教學(xué)過程會(huì)比較嚴(yán)實(shí)，用體積單位去測(cè)量，逐漸引導(dǎo)到不用測(cè)量推導(dǎo)出計(jì)算公式。在學(xué)習(xí)圓柱體中，我們發(fā)現(xiàn)圓柱體的上下兩個(gè)底是圓形?；叵氲角髨A的面積我們用剪拼的方法，那么圓柱體可不可以剪拼呢？這種化曲為直的思想方法可以得到再次應(yīng)用。

【教學(xué)片段五】

圓柱體轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體后，長(zhǎng)、寬、高分別對(duì)應(yīng)原來(lái)圓柱體的哪一部分？生觀察、討論后回答。

師追問：圓柱體轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體后，體積變了嗎？表面積呢？借助模型生找到了圓柱體底面和側(cè)面所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的部分。師追問：“為什么表面積會(huì)變大？”從而推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)>圓柱體底面周長(zhǎng)，即長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)＝圓柱體底面周長(zhǎng)＋2r；長(zhǎng)方體的表面積>圓柱體的表面積，即長(zhǎng)方體的表面積＝圓柱體的表面積＋2rh。引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷了體積轉(zhuǎn)化的過程，并理順了與表面積的關(guān)系。

本節(jié)練習(xí)課是對(duì)圓轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的進(jìn)一步教學(xué)，有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，在比較分析中，拓寬知識(shí)寬度，找到更廣的知識(shí)聯(lián)系，感受到知識(shí)在不斷地螺旋上升。

（三）提拔知識(shí)高度，摘到更大的知識(shí)果子

在學(xué)習(xí)立體圖形的體積公式時(shí)，我們不妨試著來(lái)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，提拔知識(shí)高度，摘到更大的知識(shí)果子。

【教學(xué)片段六】

你能求出右圖這個(gè)三棱柱的體積嗎？

回顧中發(fā)現(xiàn)：正方體的體積=底面積×高，長(zhǎng)方體的體積=底面積×高，圓柱體的體積=底面積×高，以此類推，V=SH，文字公式：體積＝底面積×高，用不完全歸納法得出：凡是直柱體，體積都是底面積×高。

在探究的過程中，學(xué)生在不斷地“尋思來(lái)去”找出知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，把所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，建立一個(gè)較為完整的知識(shí)系統(tǒng)，從而激活知識(shí)，激發(fā)思維，激勵(lì)情感。

綜上所述，在“尋思來(lái)去”的教學(xué)中，學(xué)生既知道了知識(shí)的出處，又了解了知識(shí)的去向。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中既獲得了知識(shí)，體會(huì)了學(xué)習(xí)的樂趣，又培養(yǎng)了主動(dòng)獲取知識(shí)的能力，感受到來(lái)自于數(shù)學(xué)本身的感動(dòng)，最重要的是學(xué)生在今后碰到新問題的時(shí)候，主動(dòng)地“尋思來(lái)去”探索一條學(xué)習(xí)之路。

[1]朱向明.小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的案例研究[J].新課程研究，2013.

[2]朱樂平.圖形與幾何系列[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.

（浙江省寧波市北侖區(qū)蔚斗小學(xué) 315000）