□ 平國強

本期話題

拓展性課程的內(nèi)容價值取向與教學策略

□ 平國強

拓展性課程有別于基礎性課程，是對人的和諧、自主、有差異發(fā)展目標的完善與提升。在拓展性課程的內(nèi)容選擇上，要體現(xiàn)以教材實踐活動為基礎，以數(shù)學能力發(fā)展和數(shù)學活動經(jīng)驗積累為重點，并將教學內(nèi)容與數(shù)學游戲有機整合的基本取向。在教學策略上，要突出材料設計蘊含豐富的實踐探究性和驅動力；目標設計有高彈性和大跨度；學習方式體現(xiàn)實踐活動和過程經(jīng)歷。從而以體現(xiàn)拓展性課程的興趣性、活動性、層次性和選擇性。

拓展性課程 內(nèi)容選擇 教學策略

編者按

隨著新一輪課改的啟動，拓展性課程已經(jīng)進入學校師生的視野，并逐漸進入開發(fā)實施階段，但拓展性課程有別于基礎性課程，其在具體的教學實施過程中，教師如何選擇有價值的內(nèi)容并采用合適的教學策略展開教學？等等問題都是現(xiàn)階段教師迫切需要解決的問題。近一年多來，杭州市基礎教育研究室平國強老師及其團隊對此進行了有益的研究探索，本期特刊發(fā)相關成果，以供大家討論。

當前，隨著課程改革的不斷深入，“課程拓展”“課程整合”等已經(jīng)成為完善與深化課程建設的重要理念，尤其是對落實“學科核心素養(yǎng)”的關注和實踐，使得學科教學的目標進一步指向于學生的基本素養(yǎng)與整體發(fā)展，教育行政部門也從課程建設的層面提出了相應的規(guī)定和要求。

小學數(shù)學課程，總體而言，思維要求比較高，知識結構嚴謹抽象，注重方法與能力，因而常常給人一種“堅精”和“高冷”的感覺，這種“印象”對于發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)、豐富學生對數(shù)學的積極情感體驗是不利的。筆者以為，數(shù)學學科是具有多面性與豐富性的，教學還應該展現(xiàn)它“有趣”和“柔軟”的一面，而數(shù)學拓展性課程的教學恰是提高數(shù)學興趣、關注數(shù)學經(jīng)驗和落實“核心素養(yǎng)”的有效載體與途徑。

一、拓展性課程的內(nèi)容選擇與價值取向

“拓展性課程應涉及三級課程的所有學科和學習領域。學校應依據(jù)培養(yǎng)學生思想品格、核心素養(yǎng)和各科課程標準的目標要求，把國家課程和地方課程的部分內(nèi)容開發(fā)為拓展性課程，把大部分校本課程開設為拓展性課程?！雹佟墩憬〗逃龔d辦公室關于建設義務教育拓展性課程的指導意見》，浙教辦基〔2015〕78號。因此，根據(jù)省教育廳的文件精神，開發(fā)小學數(shù)學拓展性課程是必要的。同時，在內(nèi)容的選擇上應該關注以下幾個方面。

（一）以教材實踐活動為基點，進行適度拓展

從拓展性課程的三個組塊看，小學的重點是體藝特長類和實踐活動類課程，因此，數(shù)學拓展性課程的基礎是將教材的實踐活動內(nèi)容教學好。教材中的很多實踐活動內(nèi)容，其發(fā)展興趣、提升能力和積累經(jīng)驗方面的價值，遠高于知識技能方面的價值。例如，五年級上冊第50頁的“擲一擲”，教材通過幾個情境圖引領學生經(jīng)過“初步實踐：知道兩數(shù)之和的可能與不可能（認知初構）—再次實踐：認知與結果產(chǎn)生沖突（認知塌陷）—三次實踐：統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)并用可能性解釋（認知再構）”的過程，在這個過程中，學生所有的獲得都基于自身的實踐，顯然，這樣的實踐活動有別于傳統(tǒng)的知識技能教學。

再比如六年級上冊第80頁的“確定起跑線”，教材引領學生從現(xiàn)象中提出問題：為什么運動員站在不同的起跑線上？距離相差多少呢？繼而引領學生進行實踐測量和計算，得到相差的距離并發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律。

這一系列的能力拓展是必不可少的，教材并不強調(diào)結果的記憶與固化，這是非常好的，因此不必將目標定位于“得出結果，掌握一般規(guī)律”，而應重在拓展課堂的時間與空間，以及學習方式。設想：如果在教學中我們將所需數(shù)據(jù)全盤給出，讓學生在教室里看圖計算，填表觀察并得出規(guī)律，那么就與一節(jié)圓周長的練習課無甚區(qū)別了。如果這樣，那么“相關數(shù)據(jù)怎么去得到？哪里有？直徑等長度的測量應該怎么操作？測量工具怎么使用……”這些拓展性的能力一概沒有得到培養(yǎng)。因此，避免將實踐活動當作知識技能教學是第一步。

（二）以數(shù)學能力發(fā)展和數(shù)學活動經(jīng)驗積累為重點組織內(nèi)容

一般來說，對學生拓展性課程內(nèi)容的學習情況宜采用靈活多樣的考查方式進行評價，而不應成為期末學業(yè)考試的必考內(nèi)容，否則就容易使主動、積極的實踐性學習降格為被動的鞏固與訓練，不僅會降低學生學習的興趣，甚至會加重學生的負擔。這與我們實踐課程改革、構建學科拓展性課程的初衷是相悖的。因此，數(shù)學拓展性課程的內(nèi)容選擇不應增加知識，而應解決問題，應以能力發(fā)展和經(jīng)驗積累為重點。例如，四年級學生以“周長和面積”作為知識的基點，進行課程內(nèi)容的拓展，可以讓學生解決以下的問題：你能在方格紙上畫出一個和圖1周長相同但面積更大的圖形嗎？你能找到面積最大的圖形嗎？

圖1

讓學生通過畫圖實踐，轉化比較，經(jīng)歷以下的發(fā)現(xiàn)過程：

這是一個基于實踐研究的能力發(fā)展和經(jīng)驗領悟過程，其目標指向于問題解決而非知識技能。在此經(jīng)驗之上，可以進一步讓學生解決：怎樣改變圖2，使其周長不變而面積增加？

圖2

這樣的拓展研究可以使學生對數(shù)學知識之間的內(nèi)在關聯(lián)和本質屬性有一種更深的理解與領悟，毫無疑問，并會將其內(nèi)化為能力和素養(yǎng)。再比如，六年級學生以“平面圖形面積估計和隨機事件”作為知識基點進行課程內(nèi)容的跨界拓展，可以讓學生解決以下的問題：下面長方形內(nèi)有一塊不規(guī)則部分，你能估算出它的面積大約是多少嗎？（提供的研究材料：尺、硬紙板條、綠豆等）

估算不規(guī)則圖形的面積，學生并不陌生：利用尺，畫出邊長是1厘米的方格進行估計；畫出能覆蓋它的最小長方形進行估計；利用割補法進行估計等。都是學生的知識技能所能及的經(jīng)典方法（如下圖）。

但材料中提供的綠豆有何用？學生在不解、玩和思索中忽然頓悟：可以用硬紙板條做一個框子圍住長方形，再抓一小把綠豆撒在框子內(nèi)，算一算陰影部分的綠豆數(shù)占了整個長方形的綠豆數(shù)的幾分之幾，不就可以利用長方形的面積估算出陰影部分的面積了嗎？（如下圖）

一種創(chuàng)造性的面積估算方法得以產(chǎn)生，一種跨界式的思維得以訓練，這種方法的價值不在于是否“實用”，而在于思維方式的創(chuàng)新，本來“面積”與“概率”是兩個領域的內(nèi)容，在這樣的思考與實踐中實現(xiàn)了完美的融合。像這樣的拓展性內(nèi)容，豐富了經(jīng)驗，發(fā)展了能力，學會了解決問題，又不增加知識，是很好的課程選擇。

（三）將教學內(nèi)容與數(shù)學游戲有機整合構建內(nèi)容

筆者以為，數(shù)學拓展性課程內(nèi)容的選擇，應建立大數(shù)學、大教育的理念，目的是埋下種子，而不必過于追求即時的收獲。數(shù)學玩具、數(shù)學游戲、數(shù)學繪本是數(shù)學拓展性課程內(nèi)容選擇的重要源泉。七巧板、魔方、魯班鎖、華容道、數(shù)獨以及很多數(shù)學繪本，都隱含著大量的數(shù)學知識和數(shù)學原理，對激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，自覺運用數(shù)學知識解決問題，促進學生數(shù)學推理能力和空間想象能力的提高，形成對數(shù)學的正確理解和積極情感，都有非常重要的意義。必須明確的是，在數(shù)學拓展性課程中，這些不應僅僅成為問題提出的情境或引子，而應該是學習的主體，解決問題的形式和途徑，以及探索發(fā)現(xiàn)的源泉。

我們認為，數(shù)學拓展性課程的價值取向應該是“興趣”“過程”和“體驗”，即立足于培養(yǎng)學生學習數(shù)學、研究數(shù)學的興趣；立足于讓學生在過程經(jīng)歷中積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展能力；立足于促進學生形成良好的數(shù)學觀和數(shù)學意識，具有積極的數(shù)學情感體驗；立足于拓寬學生的數(shù)學視野，融通數(shù)學知識間的“壁壘”，體會數(shù)學的聯(lián)系性、基礎性和普遍性。

二、拓展性課程內(nèi)容的教學策略

數(shù)學拓展性課程展現(xiàn)的是數(shù)學的“軟實力”，教學時教師務必轉變觀念。功在課前，研究組織內(nèi)容和設計學習任務；隱在課中，突出學生的實踐和活動，突出學習的自主和體驗，不輕易干預；導在學后，必要時作適度指導，并引導學生提出新問題。

（一）材料設計

教學材料設計要蘊含豐富的實踐探究性和驅動力，要有利于學生以內(nèi)容為載體去進行操作、嘗試、試誤并產(chǎn)生頓悟，而不是承載過多的知識與技能。要將課內(nèi)的知識與課外的內(nèi)容、游戲等融合起來，拓展和延伸數(shù)學學習的時間和空間，課內(nèi)重在提出問題，引發(fā)興趣，激發(fā)思維，而不是試圖解決所有的問題。例如，《神奇的漢諾塔游戲》提出了以下的問題：在印度有一個古老的游戲（見下圖），每次只能搬動一個圓餅放到別的桿子上，并且在搬動過程中大的圓餅不能放在小的圓餅之上。傳說有預言：當有人將下圖中左邊桿子上的64個圓餅利用中間的桿子全部移到右邊的桿子上，并且從小到大的順序不變時，世界末日即來臨。你認為這個預言可信嗎？你估計完成這個任務可能需要多少時間？

這個問題帶來了強烈的探究欲望、認知沖突和豐富的實踐探究空間，里面隱含了大量的數(shù)學規(guī)律和計算模型，這正是內(nèi)容本身給學生帶來的興趣與震撼。那么，我們是否要在課內(nèi)刻意把所有的規(guī)律、模型都找到呢？如果這樣，我們可能又在向知識技能教學的思路靠攏！這個內(nèi)容真正的目標價值在哪里呢？筆者以為，不是發(fā)現(xiàn)了多少規(guī)律，記住了多少計算模型，而是在研究實踐中找到正確有效的方法以及學習活動本身所帶來的樂趣，有了這樣的樂趣體驗，喜歡數(shù)學的情感種子在學生的內(nèi)心就不會泯滅。

（二）目標設計

要有高彈性和大跨度的目標設計，而不是教學要求整齊劃一。拓展性課程內(nèi)容的教學目標設計，應有別于基礎性課程，是對人和諧、自主、有差異發(fā)展目標的完善和提升，而不是增加更多的知識。應更關注目標的整體與整合，要將學生的學習過程中的興趣、投入、能力、方法等作為目標的重點，而不應過多地關注掌握了多少技巧，或是有沒有提煉出規(guī)律并能否按規(guī)律快速操作。例如，“魔方”是一種非常好的益智玩具，并且大量融合了空間想象、觀察比較、邏輯推理等高階數(shù)學思維元素于一體，作為數(shù)學拓展性課程內(nèi)容是非常好的。因此在教學目標的制定上，應關注學習的興趣，應立足于學生在玩的過程中領悟、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和方法，立足于學生相互交流和啟發(fā)，立足于學生在玩的過程中感受快樂。應允許有的孩子只是喜歡玩，有的孩子不僅喜歡玩，還能邊玩邊研究，而有的孩子在玩的過程中還能收獲豐碩的成果?？傊繕艘⒆阌跀?shù)學學習的情感和高階思維的發(fā)展，要給學生提供廣大而自由的發(fā)展空間，教師要真正轉變?yōu)橐粋€組織者和指導者，而不是教給學生多少魔方的規(guī)律，讓學生掌握多少玩魔方的“套路”。我們認為，在數(shù)學拓展性課程的教學中，興趣和積極的數(shù)學情感體驗高于一切。應該讓學生在這樣的課堂上“玩數(shù)學，瘋狂地玩數(shù)學”。

（三）學習方式

要體現(xiàn)以實踐活動和過程經(jīng)歷為主的學習方式，而不是教師把控課堂教學，學生只是坐而聽講。拓展性課程的教學效益在于領悟和默會知識的積累，在于數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，以及自己的發(fā)現(xiàn)和分享。而這一切，都不應該也不可能僅僅通過講解、提問和討論來實現(xiàn)，其前提是基于實踐，基于過程，基于發(fā)現(xiàn)。例如，《棋盤中的奧秘》：小明和小紅在棋盤上玩游戲，小明走黑棋，小紅走白棋，只可以往上、往左或沿對角線走，但一次只能走一格，從A點出發(fā)，誰先到B點獲勝。問怎樣走才能獲勝？（如圖3）

圖3

圖4

圖5

這無疑是一個富含數(shù)學策略和邏輯推理的好問題。教師在教學中提供給學生操作的棋盤和材料，要求學生同桌兩人對弈，邊玩邊思考：怎樣才能獲勝？一定時間嘗試以后，要求學生：你認為只要走到哪幾個位置就一定能獲勝了？把那幾個位置在透明棋盤上圈出來。交流時，教師把學生的透明棋盤重疊起來呈現(xiàn)，結果大家的發(fā)現(xiàn)是相同的（如圖4）。在這個過程中，學生經(jīng)歷了“盲目實踐—試誤調(diào)整—相互啟發(fā)—領悟要點”的過程，這是一個學生摸索的過程，而不是教師暗示引導的過程。接下來的問題是：要到達這幾個點，關鍵點又在哪里呢？在問題的驅動下，學生再次探索，遂找到所有的獲勝關鍵點（如圖5）。我們認為，如果教學中教師過多地引導學生觀察討論，概括出這些制勝關鍵點，從表面上看，似乎大家都掌握了，但從本質上來說，犧牲了學生的自主探究和反思頓悟，違背了拓展性課程的基本教法和學法，變成了形式化的“找規(guī)律”教學，這是得不償失的。

數(shù)學拓展性課程是為了讓學生更好地學習、理解和感受數(shù)學而設計的，要“突出拓展性課程的興趣性、活動性、層次性和選擇性，滿足學生的個性化學習需求”，這是數(shù)學拓展性課程內(nèi)容構建和教學實施必須要堅守的。

（浙江省杭州市基礎教育研究室 310000）