張宏英
摘 要:在數(shù)學課堂教學中通過一些適合研討和自主學習的實例、素材有意識、有目的地培養(yǎng)學生數(shù)學意識,使學生在潛移默化中養(yǎng)成運用數(shù)學思想解決問題的能力。
關鍵字:創(chuàng)新 ;探究;批判;轉(zhuǎn)換
數(shù)學家華羅庚說過,“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,日用之繁,無處不用數(shù)學。”可見數(shù)學的重要性及學習數(shù)學的必要性。培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學意識是數(shù)學教育工作者責任和義務。在數(shù)學課堂教學中就需要教師通過一些適合研討和自主學習的實例、素材有意識、有目的地培養(yǎng)學生數(shù)學意識,使學生在潛移默化中養(yǎng)成運用數(shù)學思想解決問題的能力。在日常教學中我特別注重以下數(shù)學意識的培養(yǎng):
1 創(chuàng)新意識的培養(yǎng)
在日常教學中,采取多種教學方法,結合學生的特點和知識水平,努力創(chuàng)設開放與創(chuàng)新的課堂教學模式,鼓勵學生對定義、定理進行大膽的猜測,并進行探究性證明,逐漸養(yǎng)成創(chuàng)新意識。
例如,已知球的半徑為R,求球的體積。
(1)探究球的體積公式的形式
球是中心對稱旋轉(zhuǎn)體,可先考慮半球,它有一個底面,易與已知體積的圓柱、圓錐建立聯(lián)系。引導學生聯(lián)想,考察等底等高(底半徑為R,高為R)的圓柱、圓錐和半球的關系,認真觀察動腦思考,圓柱的體積、半球的體積、圓錐的體積的大小關?學生容易判斷出:圓柱的體積>半球的體積>圓錐的體積,即>V半球>。引導學
生猜想:半球的體積等于多少?你期望半球的體積等于多少?學生猜到半球的體積等于。
(2)探尋公式V半球= 的證明方法
欲證V半球=,由祖暅原理,關鍵是構造一個與半球等底等
高且截面面積相等的幾何體。引導學生聯(lián)想:由(1)得V半球=
=。猜測:將一個底面半徑和高都為R的圓柱中心挖去
一個等底等高的圓椎。剩下的部分與一個半球用平面去割時處處面積相等。從而等出它們體積相等的結論。而那個被挖體的體積就是半球體積了。
引導學生容易證明,上述猜測的參照體滿足與半球等底等高且截面面積相等。這樣利用祖暅原理,即可證明V半球=πR3,從而得到V球=πR3。
2 探究意識的培養(yǎng)
學生只有親自參與實踐活動,做積極主動的知識探究者,經(jīng)歷知識的形成過程,才能建立自己對知識的認識結構,從而獲取新知。教師為學生的探究過程創(chuàng)設問題情境,營造氛圍,提供必要的指導和理論支持。好奇心能驅(qū)使學生主動、精細地去觀察事物和思索分析,學生在探索和爭論中發(fā)現(xiàn)問題,利用已有的數(shù)學知識通過合作交流、動手實驗、歸納整理等學習活動進一步提高數(shù)學意識。例如 ,在《指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是什么?》的課例中,首先,教師將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖像展示在大屏幕上,然后提出問題“你能求解出指數(shù)函數(shù)y=2x的反函數(shù)嗎?”“指數(shù)函數(shù)y=2x的反函數(shù)的圖像是什么樣在呢,你能在圖中做出來嗎?”由于學生已掌握了反函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的相關知識內(nèi)容,對于以上問題,學生很快能給予解答。從而建立了學生學習的自信心和探究興趣。紛紛動手去求解問題,大多數(shù)同學都能夠利用對稱性,即原函數(shù)與反函數(shù)關于y=x對稱畫出反函數(shù)的圖像。層層深入,教師緊接著提出下列問題:“所有的指數(shù)函數(shù)都有反函數(shù)嗎?解釋說明你的理由。”;“對數(shù)函數(shù)圖像的有幾種做法?”;“對數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)?”教師在課前精心設計每一個問題,課上根據(jù)學生的作答情況,教師將問題層層深入,引導學生深入研究,使學生真正做到在探索中學習,在探索中提高。
又如,已知定義域為正實數(shù)集的函數(shù)f(x)為遞減函數(shù),且滿(1)f(1/2)=1.(2)f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集。
仔細觀察和分析已知條件,就會發(fā)現(xiàn)隱含條件f(1)= 0和f(x)=-f(1/x),由隱含條件得出f(4)=-f(1/4)=-[f(1/2)+f(1/2)]=-2,再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0,且3-x>0,就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。
3 批判意識的培養(yǎng)
能夠獨立分析和判斷問題,對事物有主觀見解,是批判性思維的表現(xiàn)形式。在解決數(shù)學問題時,獨立思考,敢于質(zhì)疑,勇于創(chuàng)新,準確地把握問題的實質(zhì),不被表面現(xiàn)象和各種干擾所迷惑,是學生應有的批評性思維品質(zhì),教師要通過教學活動教會學生深入思考問題的合理性,培養(yǎng)學生思維的批判性。
例如,在四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD ,∠C=600,AB=3,AD=2,求BC、CD 的長。(圖1)
分析:在題中有∠B=∠D=900,很多同學馬上會連結A、C ,(圖2)
把四邊形ABCD分成兩個直角三角形,但此時在兩個直三角形中都只有一個已知的條件,無從計算 CB,CD。這時引導學生分析,在連結AC的過程,雖然保留了直角,卻把∠ C=600的這個已知條件進行了分割,反而變成了末知條件,很明顯這種方法不合理,要保證是直角三角形,又要保留 600的角,這時學生豁然開朗。延長CD與 BA 相交于E(圖3)(或延長DA與CB 相交于F)
則有∠ E=300 ,AD=2 則AE=4,從而BE=7,由勾股定理可得DE= ,由得,從而
,解得
從而此題得解。
4 轉(zhuǎn)換意識的培養(yǎng)
轉(zhuǎn)換就是變換命題、改變思路的心理活動過程,在問題探究和解決過程中,表現(xiàn)為多角度、多途徑的思考,是發(fā)散思維的具體形式。在教學中,應引導學生多解既有趣又有挑戰(zhàn)性,而且解法入口寬,出路多的好題,是學生認識到問題解決的成敗,其關鍵是轉(zhuǎn)換,要增強轉(zhuǎn)換意識,并從中掌握簡單化、熟悉化、具體化和和諧化等轉(zhuǎn)換的基本原則。
例如,化簡.我們一般都會想到將展開,再進行計算。求解過程繁瑣,這正是我們受思維定勢的影響,不善于將看成單角進行觀察思考所致。但如果注意到該式子的結構特征與公式(※)右邊一樣,只須用代替(※)式中的,代替,立刻得出原式等于,從而簡化了就算過程。這就要求我們在平時學習時,在加強定義,公式,法則的正向使用的同時,也要加強公式的逆向練習訓練。
總之,在數(shù)學教學中,教師既要注重學生對知識和技能的傳承,又要注重學生數(shù)學思維意識品質(zhì)的養(yǎng)成,數(shù)學是開啟科學大門的鑰匙,遞一把鑰匙給學生是教師不懈的追求。