劉俊榮，陳衛(wèi)衛(wèi)，李 星

（中國電子科技集團公司電子科學研究院，北京 100041）

基于Duane曲線的可靠性增長模型

劉俊榮，陳衛(wèi)衛(wèi)，李 星

（中國電子科技集團公司電子科學研究院，北京 100041）

在闡述復雜武器裝備系統(tǒng)在研制中，通常要經(jīng)過實驗——分析——改進的過程，即可靠性增長過程。由于產(chǎn)品處于改進階段，每個階段的產(chǎn)品的壽命所對應的總體就是不同的。因此估計最后階段的可靠度及其置信限就有了一定的困難，討論基于Duane曲線的指數(shù)可靠性增長模型——ERG模型。完全壽命方案下，給出了利用樞軸量構建置信限的推斷方法，并證明了構建的置信限具有最優(yōu)性。

可靠性增長；可靠度；置信限；樣本空間排序

引言

一個復雜武器裝備系統(tǒng)在研制中，通常有若干個階段，即采取對產(chǎn)品進行實驗——分析——改進的方法，每一個階段都是在前面幾個階段上基礎上在設計、材料、工藝等方面有所改進，使得系統(tǒng)的可靠性得以增長，進而改進系統(tǒng)的過程（test-analyze-and-fix，簡稱TAAF過程），這種增長過程可以用可靠性增長模型來表示。在過去的四十多年里，可靠性增長模型在高技術復雜產(chǎn)品的研制過程中得到了越來越廣泛的應用，并在應用中逐步完善。其中基于杜安曲線的模型（以下簡稱Duane模型）是比較有代表性的可靠性增長模型，本文所研究的ERG模型即為基于杜安曲線的一種模型。

1 Duane模型的發(fā)展歷程

1.1 杜安曲線

1964年，杜安（Duane）通過對一些工業(yè)系統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)的研究，得到了杜安曲線性質(zhì)（Duane Learning Curve Property）：即經(jīng)驗累積失效率與累積試驗時間分別取對數(shù)后呈近似的線性關系。

1.2 PLP模型

1974年，Crow 將杜安的理論改進為：一個新的系統(tǒng)在改進過程中的失效數(shù)服從非齊次泊松過程，且具有威布爾形式的強度函數(shù)，

由于此模型的強度函數(shù)的形式具有特殊性，我們通常稱之為Power Law Process，簡稱為PLP過程。PLP過程模型時滿足杜安學習曲線性質(zhì)的，這是因為，記

則由非其次Poisson過程的定義知：

從而有：

所以：

兩邊取對數(shù)得：

其中：

然而，PLP模型有下述的缺陷：

第一：由于系統(tǒng)的改進只發(fā)生在某些時刻，故其強度函數(shù)不可能是時間t的連續(xù)變化函數(shù)；

第二，在可靠性增長的情形下（即δ<1）,當t趨于零時，PLP模型的強度函數(shù)趨于無窮，這是不合實際的。

1.3 ERG模型

針對PLP模型的上述缺點，后來很多學者對其進行了討論并加以改進，Sen和Bhattacharyya（1993）將其進一步改進為一個逐步加強的模型（Step-Intensity Model），模型描述如下：

記0 < T1< T2< ……為所研究系統(tǒng)的相繼失效的時間，Ti - Ti-1相互獨立且服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，即：

其中i = 1，2，……，T0= 0

λi的表達式為：

通常，我們把這個模型稱為指數(shù)可靠性增長模型（Exponential Reliabity Growth Model），簡稱ERG模型。此模型將PLP模型中的強度函數(shù)化成了離散的形式，這更符合實際情況。

2 問題提出

可靠度的點估計及置信下限的尋求在可靠性理論及實際應用中是一個很重要的問題。一般來說，我們最關心的是最后階段結(jié)束時產(chǎn)品的可靠度及置信下限的大小。這里提出的與初等統(tǒng)計學不同的問題是：因為實驗設計有了變化，各個階段的樣本實際上是來自不同的母體，即變母體的樣本，而我們感興趣的只是最后階段的樣本所對應的母體。由于設備處于改進階段，每個階段的實驗數(shù)據(jù)都是非常有限的，如何綜合利用有限的數(shù)據(jù)對最后結(jié)束階段的可靠度（或者其他等價的可靠性指標）做統(tǒng)計推斷，并根據(jù)結(jié)果決定是否還要改進是一個很值得探討的問題。

μ，δ是未知的參數(shù)，μ>0，δ≥1?？梢娭恍枰页靓薾+1的點估計和置信上限。

3 對于ERG模型的統(tǒng)計推斷

3.1 點估計

極大似然估計是建立在極大似然原理基礎上的一個統(tǒng)計方法，劉禮（2000）[9]嚴格證明了（μ，δ）的極大似然估計存在且唯一。而且是方程（5）的唯一解。

由此知λn+1的極大似然估計為：

3.2 置信限的構建

Ananda Sen（1998）[1]對ERG模型進行了研究，指出：的分布與μ，δ無關，即Q是樞軸量，所以可以用Q來構造λn+1的置信上限。

給定置信水平1-r，設q(r)是Q的分布的1-r分位數(shù)，則有：

故λn+1的1-r水平的置信上限為：

3.3 置信限的最優(yōu)性定理

在3.2節(jié)中，利用樞軸量方法得到置信限或者置信區(qū)間是比較簡單的。但是由此得到的置信限有何優(yōu)良的性質(zhì)并不清楚，下文中證明了：上述的是所有關于單調(diào)遞增的置信上限中最小的。從而可靠度的1-r水平置信下限是所有的關于極大似然估計值單調(diào)增的置信下限中最大的，即這樣的置信限具有最優(yōu)性。

下面我們證明：

但是

故

為證明式（12）成立，先證明以下引理：

將方程（5）中的xi用Ui來代替，得到下面的方程：

注意，方程（14）的左端不依賴于μ。

令

由于（U1，U2，…，U_n）與（x1，x2，…，xn）同分布，所以同分布。而

于是：

引理證畢。

證明：由引理1和（11）知：

這里：

且β（r）只與置信水平1-r和樣本量n有關。故

從式（15）可知

證畢。

但是我們永遠可令：

這從定理的證明過程中適當?shù)男薷募纯傻玫健?/p>

4 應用實例

對于樞軸量的方法，Q分布的分位數(shù)可以用Monte Carlo模擬的得到，表1是Anada Sen（1998）[1]中給出的在r = 0.05，0.025，0.005時的分位數(shù)q（1-r）的值。

下面我們給出數(shù)值例子：

例1：設某產(chǎn)品在改進的過程中產(chǎn)生的樣本x1，…，xn依次為：6.571 3，3.059 2，14.337 6，9.809 5，37.826 3，8.632 4，27.212 5，4.825 9，5.696 2，20.864 5，30.802 9，5.069 6，10.216 2，24.564 1，12.055 5，26.570 9，72.966 1，89.195 0，81.723 2，50.176 9，26.768 5，103.265 8，16.205 4，54.288 6，99.313 5，36.687 9，65.241 8，90.714 4，42.278 1，57.111 0，請根據(jù)得到的樣本數(shù)據(jù)，預測下一階斷失效率的點估計及其置信水平分別為0.95，0.975，0.995的置信上限。

解：

1）求點估計。

因此可以求解δ。而

2）求置信限

由表1中的數(shù)據(jù)可以計算λn+1的置信水平為0.95，0.975，0.995的置信上限分別為：

表1 分位數(shù) q（1-r）

5 結(jié)論

本文討論了一種基于杜安學習曲線的可靠性增長模型——ERG模型，在完全壽命方案下，在極大似然估計存在且唯一的基礎上，利用樞軸量的方法給出了可靠度置信限的構建方法，然后利用樣本空間排序的方法證明了構造的置信限的優(yōu)良性,可應用于武器裝備可靠性增長過程的評價。

[1] A Sen(1998), Estimation of Current Reliability in a Duane-Based Reliability Growth Model [J]. Technometrics, 1998, 40(4): 334-344.

[2] Sen, A and bhattaharya, G.K.(1993), A Piecewise Exponentia Model for Realiability Growth and Associated Inference [J]. Advances in Reliability (ed. Asit P. Basu), 331-355.

[3] Lawless, J.F.(1982), Statistical Model and Methods for Lifetime Data [M]. New York: John Wiley and Sons, Inc, 1982.

[4] Duane, J.T.(1964). Learning Curve Approch to Reliability Monitoring [J]. IEEE Transcation on Aerospace, 1964, 2(2):563-566.

[5]徐仁佐,謝昊,鄭人杰.軟件可靠性模型及應用[M].北京:清華大學出版社, 1994.

[6]陳家鼎,張韌,呂波. JM模型的統(tǒng)計推斷[J].應用概率統(tǒng)計, 2001, 17(4):403-409.

[7]孫山澤.非參數(shù)統(tǒng)計講義[M].北京:北京大學出版社, 2000.

[8]陳家鼎,孫山澤,李東風.數(shù)理統(tǒng)計學講義[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[9]陳家鼎.生存分析與可靠性引論[M].合肥:安徽教育出版社, 1993.

[10]陳家鼎.樣本空間中的序與參數(shù)的置信限[J].數(shù)學進展, 1993, 22(6):542-552.

[11]黃敏,趙宇.一種產(chǎn)品可靠性綜合評估模型的數(shù)值分析方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術, 2002, 24(11):131-34.

Reliability Growth Model Based on Duane Curve

LIU Jun-rong, CHEN Wei-wei, LI Xing
(CAEIT, China Electronics Technology Group Corporation, Beijing 100041)

During the complex weapon equipment development, the process including experiment, analysis, and improvement is a must, that is TAAF (test, analyze, and fix). Because the product is in the advanced stage, the population is different corresponding to product life in each sage. Therefore, there’s difficult in evaluating the reliability and its confidence limits in the final stage. This paper discusses the exponential reliability growth model-ERG based on the Duane curve. In the complete life scheme, the deduced method for the confidence limits using the pivotal quantity is proposed, and the priority of the confidence limit is proven in this paper.

reliability growth; reliability; confidence limit; sample space sequence

V21

A

1004-7204（2017）03-0043-05

劉俊榮（1976-），山東招遠人，高級工程師，主要研究方向為系統(tǒng)可靠性設計及驗證技術。