江蘇省儀征市月塘中學(xué) 錢元科

打破慣性思維 把握問題本質(zhì)

江蘇省儀征市月塘中學(xué) 錢元科

一位學(xué)生拿著考卷來問我一道題目錯在哪里了：

如圖所示，兩個(gè)村子A、B在一條河CD的同側(cè)，A、B兩村到河邊的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米。現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請你在CD上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出最省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用W。

學(xué)生的解答是這樣的：

解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，連接AB。

∴四邊形ACDE是矩形，∴AC=DE=1。

在Rt△ABE中，

答：鋪設(shè)水管的最省費(fèi)用約為69150元。

這是期中考試卷中的一道題，源于古希臘著名的“將軍飲馬問題”，是利用軸對稱找出最近距離的實(shí)際應(yīng)用。試題的參考答案是這樣的：

解：作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于O點(diǎn)，則點(diǎn)O就是水廠的位置，此時(shí)水管道最短，最短長度=AO+BO=A′O+BO=A′B；

過點(diǎn)A′作A′E⊥BD延長線于點(diǎn)E，∵AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，∴A′E=CD=3千米，BE=1+3=4(千米)，由勾股定理得，A′B=（千米）,∴W=15000×5=75000（元）。

答：鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用75000元。

試卷剛剛評講不久，問問題的學(xué)生數(shù)學(xué)成績也還算不錯，難道不少學(xué)生對這一類問題還不理解？心里一邊思忖著，一邊對比著兩個(gè)不同的解答……咦，學(xué)生答案中的總費(fèi)用怎么比標(biāo)準(zhǔn)答案中的還少呢？

經(jīng)過耐心地詢問與交流，原來學(xué)生對題意的理解與參考答案的理解有不同。參考答案的理解是：水廠應(yīng)建在到A、B兩村距離之和最短的地方，問題即轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬問題”這一基本數(shù)學(xué)模型，通過軸對稱構(gòu)建出三點(diǎn)共線，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”得出從A到O再到B的距離是最近的，故只要按此路線鋪設(shè)管道所需費(fèi)用就是最省的了。而學(xué)生則認(rèn)為：題中“要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水”，可以將水廠建在C處，水管鋪設(shè)可以經(jīng)過A村再到達(dá)B村，這樣的路線比之答案中的路線還要近些（是CA+AB=1+≈1+3.61≈4.61＜AO+BO= A′B=5），也是符合題意的，為什么還要選答案中的路線呢？

是啊，如果真的還有更近的路線，為什么不選擇呢？我又認(rèn)真地查驗(yàn)了學(xué)生的解題過程及計(jì)算結(jié)果，一切無誤。問題出在哪了呢？經(jīng)過認(rèn)真比較、分析與思考，原來適用“將軍飲馬問題”這一數(shù)學(xué)模型的要求是“從定直線中找一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小”，如果要運(yùn)用此模型來解答，水廠應(yīng)分別向兩村鋪設(shè)管道送水。而此題的要求是“要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水”，按題意的理解，水廠并不一定要分別向兩村送水，可以經(jīng)過A村再到達(dá)B村，也可以經(jīng)過B村再到達(dá)A村，都是符合題意的。如是這樣，應(yīng)該是我們的思維定式導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤了。

為了驗(yàn)證我的觀點(diǎn)是否正確，我又請教了網(wǎng)絡(luò)。發(fā)現(xiàn)此類與實(shí)際結(jié)合的問題網(wǎng)上也有很多，而題中幾乎都沒有“分別”的字樣，但是人教版八年級數(shù)學(xué)上冊P42中有一道探究題說的卻很是清楚：“如圖1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？（圖略）”這里很明確地說明了泵站要“分別”向兩鎮(zhèn)供氣，毫無疑義，問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬問題”來解決，然而上述那些更多的此類問題中并無“分別”字樣，其解法幾乎都是化歸為“將軍飲馬問題”這一基本數(shù)學(xué)模型來解的，都沒有比較兩種路線的長短再擇其短而選之。僅僅兩個(gè)字的差異，我們都讓表面的現(xiàn)象迷惑了問題的本質(zhì)。導(dǎo)致錯誤的原因究竟在哪兒呢？筆者以為：都是慣性思維惹的禍。

慣性思維也稱思維定式，是由先前的活動而造成的一種對活動的心理準(zhǔn)備狀態(tài)或活動的傾向性。先前形成的知識、經(jīng)驗(yàn)或習(xí)慣，都會使人們形成認(rèn)知的固定傾向，從而影響后來的分析與判斷，形成“慣性思維”。在不變的條件下，慣性思維能使人應(yīng)用已掌握的方法迅速地解決問題，而在情境發(fā)生變化時(shí)，深入到潛意識中的慣性思維也會反過來支配自己的言行，使我們忽視對問題本質(zhì)的把握，擺脫不了已有“框框”的束縛，表現(xiàn)出消極的思維定式。

本質(zhì)往往會被一些表面現(xiàn)象掩蓋著，使你容易混淆、識別不清，如果我們不深入挖掘，常常會誤入“歧途”，離問題的本質(zhì)越走越遠(yuǎn)。思維最大的敵人，是習(xí)慣性思維，生活環(huán)境和知識背景都會影響到人們的思維方式，不過最重要的影響因素是過去的經(jīng)驗(yàn)。所以，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們不能墨守成規(guī)，一定要回到問題的原點(diǎn)，仔細(xì)閱讀每一個(gè)字句，準(zhǔn)確把握題目的意思，打破慣性思維，要積極進(jìn)行思維發(fā)散，抓住問題本質(zhì)，千萬不要讓表面的現(xiàn)象蒙蔽了我們的雙眼、影響正確的判斷。