祖文明,李 華

(1.云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系,昆明 650203; 2.昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,昆明 650051)

?

三次B樣條曲線的四桿機(jī)構(gòu)形狀優(yōu)化與仿真

祖文明1,李 華2

(1.云南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系,昆明 650203; 2.昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,昆明 650051)

四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中輸出的擺動力和擺動矩較大,導(dǎo)致機(jī)構(gòu)產(chǎn)生很大的噪音,不能很好地滿足工作環(huán)境的要求.對此,針對四桿機(jī)構(gòu)形狀問題進(jìn)行了優(yōu)化,實(shí)現(xiàn)輸出的擺動力和擺動矩最小化.構(gòu)造四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖,對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動進(jìn)行受力分析,給出了輸出擺動力和擺動矩的計(jì)算公式,引入了B樣條曲線構(gòu)造四桿機(jī)構(gòu)的形狀.B樣條曲線的控制點(diǎn)作為設(shè)計(jì)變量,結(jié)合具體實(shí)例確定四桿機(jī)構(gòu)中需要優(yōu)化的目標(biāo)對象,采取遺傳算法搜索出最優(yōu)解,對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行仿真.仿真結(jié)果顯示,優(yōu)化前輸出的擺動力和擺動矩最大值大約分別為19 N和30 N·m,優(yōu)化后輸出的擺動力和擺動矩最大值大約分別為6 N和12 N·m.優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)輸出的擺動力和擺動矩相對較小,運(yùn)動比較平穩(wěn),噪音較低,效果較好.

B樣條曲線; 四桿機(jī)構(gòu); 擺動力; 擺動矩; 遺傳算法; 優(yōu)化; 仿真

當(dāng)前國內(nèi)機(jī)械自動化設(shè)備層出不窮,這些機(jī)械自動化設(shè)備通常需要運(yùn)動機(jī)構(gòu)來完成快速進(jìn)給、停歇或者后退.常見的機(jī)構(gòu)主要有凸輪機(jī)構(gòu)、連桿機(jī)構(gòu)、齒輪機(jī)構(gòu)等.連桿機(jī)構(gòu)由于構(gòu)造簡單,加工容易,成本較低,容易維護(hù)，因此,在社會發(fā)展中得到了廣泛的應(yīng)用.連桿機(jī)構(gòu)主要應(yīng)用在工程機(jī)械、折疊傘、機(jī)械手、太陽能板、農(nóng)業(yè)機(jī)械及人體假肢等.連桿機(jī)構(gòu)主要分為四桿機(jī)構(gòu)、五桿機(jī)構(gòu)、六桿機(jī)構(gòu)以及八桿機(jī)構(gòu)等.多桿機(jī)構(gòu)通常由簡單的四桿桿機(jī)組成,設(shè)計(jì)者要想設(shè)計(jì)出復(fù)雜的多桿機(jī)構(gòu),必須能夠設(shè)計(jì)出平穩(wěn)運(yùn)動的四桿機(jī)構(gòu).因此,對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動輸出擺動力和擺動矩的研究具有重要意義.

隨著國內(nèi)連桿機(jī)構(gòu)技術(shù)的快速發(fā)展以及自動化控制設(shè)備的改進(jìn),四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化方法也在不斷改進(jìn)和完善,以往研究人員從不同角度對四桿機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)性展開了研究.例如:文獻(xiàn)[1-3]研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的精度,分析了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的基本特性,選擇行程速比系數(shù)和角位移誤差為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),以Matlab 軟件優(yōu)化程序?yàn)榛A(chǔ),構(gòu)造四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,采用遺傳算法提高了四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度.文獻(xiàn)[4-6]研究了平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合的優(yōu)化方法是以速度誤差和位置誤差為雙目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化模型.采取改進(jìn)的差分進(jìn)化算法對不同速度、不同軌跡進(jìn)行計(jì)算.優(yōu)化結(jié)果顯示,改進(jìn)的差分進(jìn)化算法全局尋優(yōu)能力很好,搜索精度很高.文獻(xiàn)[7]研究了等效靜態(tài)載荷法的平面四桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.采用等效靜態(tài)載荷方法,將動態(tài)載荷轉(zhuǎn)化為等效的靜態(tài)載荷.通過邊界條件添優(yōu)化目標(biāo),對四桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

采取HyperWorks 軟件得出四桿機(jī)構(gòu)的最大動應(yīng)力曲線圖形.四桿機(jī)構(gòu)在滿足應(yīng)力條件下,從而達(dá)到質(zhì)量最輕的目的.文獻(xiàn)[8-9]研究了軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)的誤差優(yōu)化方法.采用一個修正距離誤差函數(shù)對軌跡產(chǎn)生四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,推導(dǎo)出了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式子.將優(yōu)化變量參數(shù)值輸入到Matlab軟件中進(jìn)行仿真,并且與其他方法進(jìn)行了對比.曲線仿真結(jié)果表明,修正距離誤差函數(shù)方法在軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)所產(chǎn)生的橫向和縱向誤差都很小.以往研究的四桿機(jī)構(gòu)沒有考慮機(jī)構(gòu)的動態(tài)平衡,導(dǎo)致運(yùn)動過程中擺動力和擺動矩較大,直接影響到四桿機(jī)構(gòu)的使用壽命.對此,本文構(gòu)建了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖,對四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析,給出了擺動力和擺動矩的計(jì)算方程式.引入了三次B樣條曲線優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)連桿形狀,使用等力矩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)概念,構(gòu)建了最小化擺動力和擺動矩的優(yōu)化問題,通過遺傳算法搜索出目標(biāo)函數(shù)中最佳連桿尺寸參數(shù),對四桿機(jī)構(gòu)輸出的擺動力和擺動矩進(jìn)行仿真驗(yàn)證.結(jié)果表明,優(yōu)化后輸出的擺動力和擺動矩最大值相對優(yōu)化前有所下降,整體波動較小,運(yùn)動比較平穩(wěn).

1 擺動力和擺動矩

平面四桿機(jī)構(gòu)的受力分析及尺寸定義如圖1所示,固定連桿和可動連桿已經(jīng)分開.擺動力為所有慣性力矢量和的作用,擺動矩則為慣性矩以及慣性力對固定點(diǎn)之矩合量的作用.一旦所有的關(guān)節(jié)作用都被定義好,就可以得到關(guān)節(jié)1上的擺動力和擺動矩計(jì)算公式[10]:

式中:F1為機(jī)架對連桿1的反作用力;F3為機(jī)架對連桿3的反作用力;l0為點(diǎn)O1到點(diǎn)O4的向量.

圖1 四桿機(jī)構(gòu)分離簡圖

2 構(gòu)造連桿形狀

采用插值或逼近包含P0,P1,…,Pn等n+1個控制點(diǎn)集合[11]的參數(shù)封閉B樣條曲線合成連桿形狀,連桿形狀采用的曲線公式定義如下:

(3)

式中:K為曲率;Ni,k(u)代表B樣條混合函數(shù);u為變化參數(shù);um參數(shù)上限.

第i段上任一點(diǎn)的坐標(biāo)方程式如下:

(4)

(5)

式中:(xi-1,yi-1),(xi,yi),(xi+1,yi+1)分別為Pi-1,Pi,Pi+1的坐標(biāo);α1=-u3+3u2i-3ui2+i3,α2=3u3+u2(3-9i)+u(9i2-6i-3)-3i3+3i2+3i+1,α3=-3u3+u2(9i-6)+u(-9i2+12i)+3i3-6i2+4,α4=u3+u2(-3i+3)+u(3i2-6i+3)-i3+3i2-3i+4.

xi(u)和yi(u)分別對u進(jìn)行求導(dǎo),得到一階導(dǎo)數(shù)如下:

(9)

(10)

式中:β1=-3u2+6ui-3i2;β2=9u2+2u(3-9i)+9i2-6i-3;β3=-9u2+2u(-6+9i)-9i2+12i;β4=3u2+2u(3-9i)+3i2-6i+3.

幾何性質(zhì)由式(6)～(8)定義,形狀由封閉曲線代表的連桿,其質(zhì)量、質(zhì)量慣性矩的計(jì)算公式為

(11)

(12)

式中:t,ρ分別為連桿厚度和連桿材料密度.

3 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

3.1 動態(tài)平衡

為了對平面四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行動態(tài)平衡,使用等力矩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)概念構(gòu)建了最小化擺動力和擺動矩的優(yōu)化問題.將連桿系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為包含3個等力矩質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng),并將質(zhì)點(diǎn)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量.1個質(zhì)點(diǎn)由3個參數(shù)定義.所以,對任一連桿,包含9個向量的設(shè)計(jì)變量Xi被定義為如下:

(13)

式中:mij為第i根連桿上第j個點(diǎn)的質(zhì)量;lij和θij為該點(diǎn)在固定機(jī)架上的極坐標(biāo).因此,機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)矢量X為

(14)

考慮式(1)中定義的擺動力值F和式(2)中定義的擺動矩值N的均方根值,優(yōu)化問題可以當(dāng)成是力和矩的加權(quán)和,求解Z的最小化:

(15)

式中:ω1為擺動力比例的加權(quán)因子;ω2為擺動矩比例的加權(quán)因子.

對i=1,2,3和j=1,2,3質(zhì)量與慣性矩服從下式:

(16)

3.2 連桿機(jī)構(gòu)形狀優(yōu)化

得到優(yōu)化的連桿機(jī)構(gòu)慣性參數(shù)以后,尋找對應(yīng)連桿形狀的優(yōu)化問題進(jìn)行了建模,連桿形狀的封閉三次B樣條曲線及其控制點(diǎn)如圖2所示.三次B樣條曲線控制點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)被作為設(shè)計(jì)變量.從關(guān)節(jié)起點(diǎn)Oi到點(diǎn)Oi+1之間的連桿長度被分成等長部分.為了保持對稱形狀以使慣量為零,y坐標(biāo)被當(dāng)成設(shè)計(jì)變量.在關(guān)節(jié)起點(diǎn)Oi和Oi+1之外的連桿延伸部分右端由點(diǎn)P0,P1,Pn-1控制,左端由點(diǎn)Pn/2-1,Pn/2,Pn/2+1控制.在右端,P0的x坐標(biāo)、P1和Pn-1的y坐標(biāo)被選為設(shè)計(jì)變量,在左端也是如此.最后,在本文中,設(shè)計(jì)向量被定義為

X=[x0y1…yn/2-1xn/2yn/2+1…yn-1]T

(17)

用于對所得連桿慣性值的誤差百分比進(jìn)行最小化的目標(biāo)函數(shù)被構(gòu)建為

(18)

圖2 連桿機(jī)構(gòu)形狀優(yōu)化

質(zhì)量、形心坐標(biāo)服從如下:

(19)

式中:上標(biāo)*的參數(shù)為在之前3.1節(jié)中得到的優(yōu)化參數(shù);下標(biāo)i為機(jī)構(gòu)的第i根連桿.

3.3 遺傳算法

四桿機(jī)構(gòu)形狀優(yōu)化,需要搜索出全局的最優(yōu)解,本文選擇遺傳算法作為最優(yōu)化搜索方法.遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)一般是模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過程的計(jì)算模型,是一種通過模擬自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法[13].四桿機(jī)構(gòu)形狀優(yōu)化問題的求解是從產(chǎn)生初始種群開始的,計(jì)算出每個個體的控制參數(shù)值,通過比較選擇出最優(yōu)解.四桿機(jī)構(gòu)形狀遺傳算法的優(yōu)化流程如圖3所示.

圖3 遺傳算法流程圖

采用Matlab軟件編寫四桿機(jī)構(gòu)形狀優(yōu)化程序,優(yōu)化程序流程如圖4所示.設(shè)計(jì)者根據(jù)四桿機(jī)構(gòu)動態(tài)平衡的設(shè)計(jì)要求,設(shè)置約束條件及目標(biāo)函數(shù),在Matlab 軟件的最優(yōu)化工具箱中調(diào)用遺傳算法最優(yōu)化函數(shù)(ga),對四桿機(jī)構(gòu)形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),通過程序搜索出的平面四桿機(jī)構(gòu)各桿形狀最佳尺寸.

圖4 四桿機(jī)構(gòu)形狀尺寸程序優(yōu)化

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

對圖1所示的平面四桿機(jī)構(gòu)的數(shù)值問題進(jìn)行了求解,得出四桿機(jī)構(gòu)連桿的尺寸參數(shù)(見表1).

表1 四桿機(jī)構(gòu)仿真參數(shù)

由于擺動力和擺動矩的單位不同,需要通過將這些量添加到單目標(biāo)函數(shù)中使其變?yōu)闊o量綱量.因此,機(jī)構(gòu)參數(shù)被變?yōu)榕c驅(qū)動連桿1相關(guān)的無量綱值.為了縮小研究問題變量,從9個參數(shù)中選擇出5個參數(shù)值,即mij,lij,θij,j=1,2,3.第i根連桿尺寸參數(shù)定義如圖5所示,5個參數(shù)尺寸定義如下：θi1=0,θi2=2π/3,θi3=4π/3,li2=li3=li1.通過3次B樣條曲線優(yōu)化后得到的四桿機(jī)構(gòu)形狀如圖6所示,四桿機(jī)構(gòu)的原始形狀如圖7.將仿真參數(shù)輸入到Matlab軟件中進(jìn)行仿真,四桿機(jī)構(gòu)擺動力和擺動矩仿真結(jié)果如圖8和圖9所示.

圖5 剛性連桿到質(zhì)點(diǎn)等力矩系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化

圖6 優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu) 圖7 優(yōu)化前四桿機(jī)構(gòu)Fig.6 Optimized four bar mechanism Fig.7 Four bar mechanism before optimization

從圖8擺動力的仿真結(jié)果可知:3次B樣條曲線優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu),擺動力的最大值大約為6 N,最小值大約為1 N;優(yōu)化前四桿機(jī)構(gòu),擺動力的最大值大約為19 N,最小值大約為5 N.從圖9擺動矩的仿真結(jié)果可知:3次B樣條曲線優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu),擺動矩的最大值大約為12 N·m,最小值大約為0 N·m;優(yōu)化前四桿機(jī)構(gòu),擺動力的最大值大約為30 N·m,最小值大約為0 N·m.因此,優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)擺動力和擺動矩變化較小,運(yùn)動相對平穩(wěn),產(chǎn)生的噪音較低,從而延長了四桿機(jī)構(gòu)的使用壽命.

圖8 擺動力仿真結(jié)果

圖9 擺動矩仿真結(jié)果

5 結(jié)語

針對四桿機(jī)構(gòu)連桿形狀的多樣性與復(fù)雜性,本文采用三次B樣條曲線優(yōu)化了四桿機(jī)構(gòu)連桿形狀.給出了四桿機(jī)構(gòu)的擺動力和擺動矩的數(shù)學(xué)計(jì)算公式,構(gòu)造了連桿的形狀,分析了四桿機(jī)構(gòu)的動態(tài)平衡.優(yōu)化了目標(biāo)函數(shù),通過遺傳算法搜索出連桿最佳尺寸參數(shù),借助于Matlab軟件對優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)形狀進(jìn)行了仿真.研究結(jié)果表明,優(yōu)化后的擺動力和擺動矩最大值明顯降低,波動程度下降,運(yùn)動相對平穩(wěn),為四桿機(jī)構(gòu)動態(tài)平穩(wěn)的研究提供了參考.

[1] 崔永波.遺傳算法視域下平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].煤炭技術(shù),2012,31(9):6-8.

CUI Yongbo.Optimization design of planar four bar mechanism in the view of genetic algorithm[J].Coal Technology,2012,31(9):6-8.

[2] KHORSHIDI M,SOHEILYPOUR M,PEYRO M,et al.Optimal design of four-bar mechanisms using a hybrid multi-objective GA with adaptive local search[J].Mechanism and Machine Theory,2011,46(10):1454-1464.

[3] 張國平.食品機(jī)械平面四桿機(jī)構(gòu)的遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].包裝與機(jī)械,2010,26(3):117-119.

ZHANG Guoping.Optimization design of planar four bar linkage mechanism in food machinery[J].Packaging and Mechanical Engineering,2010,26(3):117-119.

[4] 趙彥微.平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合方法及可視化表達(dá)[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2014.

ZHAO Yanwei.Trajectory synthesis method and visual expression of planar four bar linkage[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2014.

[5] SANCIBRIAN R,VIADERO F,GARCIA P,et al.Gradient-based optimization of path synthesis problems in planar mechanisms[J].Mechanism and Machine Theory,2013,39(6):842-853.

[6] 汪從哲,方躍法.基于差分進(jìn)化算法的平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡和速度雙目標(biāo)優(yōu)化綜合[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào),2011,35(6):73-77.

WANG Congzhe,FANG Yuefa.Double objective optimization of comprehensive[J].Journal of Beijing Jiaotong University,2011,35(6):73-77.

[7] 肖登紅,王俊元,杜文華.基于等效靜態(tài)載荷法的平面四桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2011(4):54-56.

XIAO Denghong,WANG Junyuan,DU Wenhua.Structural dynamic optimal design of planar four bar linkage based on equivalent static load method[J].Mechanical Design and Manufacture,2011(4):54-56.

[8] 魏靜.采用Matlab和誤差函數(shù)法對軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化及仿真[J].機(jī)械與電子,2016,34(1):11-14.

WEI Jing.Optimization and simulation of trajectory generation four bar mechanism by Matlab and error function method[J].Mechanical and Electronic,2016,34(1):11-14.

[9] LIN W.A GA-DE hybrid evolutionary algorithm for path synthesis of four-bar linkage[J].Mechanism and Machine Theory,2010,45(5):1098-1106.

[10] CHAUDHARY H,SAHA S K.Balancing of shaking forces and shaking moments for planar mechanisms using the equimomental systems[J].Mechanism and Machine Theory,2008,43(8):312-330.

[11] BULATOVIC R R,DORDEVIC S R.Control of the optimum synthesis process of a four-bar linkage whose point on the working member generates the given path[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(8):9767-9777.

[12] OTTO R.Overconstrained mechanisms based on planar four-bar-mechanisms[J].Computer Aided Geometric Design,2014,31(10):595-601.

[13] 鄭美茹.遺傳算法在求解函數(shù)優(yōu)化問題中的應(yīng)用研究[J].裝備制造技術(shù),2011(6):20-21.

ZHENG Meiru.Research on application of genetic algorithm in solving function optimization[J].Equipment Manufacturing Technology,2011(6):20-21.

The study of shape optimization and simulation of four-bar mechanism based on three B-spline curve

ZU Wenming1,LI Hua2

(1.Department of Mechanical Engineering,Yunan Vocational College of Mechanical and Electrical Technology,Kunming 650203,China;2.Faculty of Mechanical and Electrical Engineering,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650051,China)

At present,the output of four-bar mechanism shaking power and shaking torque is relatively large in the process of movement,leading institutions have a lot of noise,can not meet the requirements of the work environment.In this regard,the shape of the four-bar mechanism was optimized,minimizing the output placed shaking power and shaking torque.Structure four-bar mechanism kinematic sketch,of four bar mechanism for force analysis and gives the output shaking power and shaking torque calculation formula.The B spline curves are introduced to construct the shape of the four bar mechanism,and the control points of the B-spline curves are used as the design variables.Combined with specific examples to determine the need to optimize the target object in the four bar,the genetic algorithm to search for the optimal solution,the relevant parameters of the simulation.Simulation results show that the optimization before the output shaking power and shaking torque of maximum values were approximately 19 N and 30 N·m,the optimized output shaking power and shaking torque of maximum value is around 6 N and 12 N·m respectively.After the optimization of four bar mechanism output shaking power and shaking torque is relatively small,stable motion,low noise,the effect is better.

B-spline curve; four bodies; shaking force; swing moment; genetic algorithms; optimization; simulation

云南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012ZC030)

祖文明(1966—)，男，副教授.E-mail:zuwm201605@sina.com

TH 112

A

1672-5581(2017)02-0125-05