秦 波，張魯洋，孫國(guó)棟，王建國(guó)

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

排列熵與核極限學(xué)習(xí)機(jī)在齒輪故障診斷中的應(yīng)用

秦 波，張魯洋，孫國(guó)棟，王建國(guó)

（內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010）

針對(duì)齒輪故障難提取和極限學(xué)習(xí)機(jī)（extreme learning machine，ELM）隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)需要人為設(shè)定，致使齒輪故障分類模型準(zhǔn)確度低、穩(wěn)定性差的問題，提出基于核極限學(xué)習(xí)機(jī)（kernel extreme learning machine，K-ELM）的齒輪故障診斷方法。首先，將測(cè)得信號(hào)經(jīng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）處理后得到一系列IMF本征模式分量，并提取各分量的排列熵（permutation entropy，PE）值組成高維特征向量集；然后利用高斯核函數(shù)的內(nèi)積表達(dá)ELM輸出函數(shù)，從而自適應(yīng)確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)；最后，將所得高維特征向量集作為K-ELM算法的輸入建立核函數(shù)極限學(xué)習(xí)機(jī)齒輪故障分類模型，進(jìn)行齒輪不同故障狀態(tài)的分類辨識(shí)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與SVM、ELM故障分類模型相比，核函數(shù)ELM滾動(dòng)齒輪故障診斷分類模型具有更高的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性。

齒輪；故障診斷；排列熵；核函數(shù)；極限學(xué)習(xí)機(jī)

0 引 言

齒輪是機(jī)械系統(tǒng)中最關(guān)鍵的零部件之一，其運(yùn)行狀態(tài)直接關(guān)系到設(shè)備能否正常運(yùn)轉(zhuǎn)。由于實(shí)際工況復(fù)雜，齒輪故障振動(dòng)信號(hào)常呈現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)性的特征，而傳統(tǒng)的時(shí)頻域分析方法大多針對(duì)線性、穩(wěn)態(tài)信號(hào)的分析，因此難以準(zhǔn)確、穩(wěn)定地識(shí)別齒輪的故障。

為了準(zhǔn)確、穩(wěn)定地識(shí)別齒輪的故障類型，國(guó)內(nèi)外科研工作者提出了一系列的方法。在特征提取方面：Bandt等[1]提出采用排列熵的方法檢測(cè)時(shí)間序列隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變行為，能夠定量評(píng)估信號(hào)序列中含有的隨機(jī)噪聲，從而確定需要進(jìn)行降噪的IMF分量。相比于其他的熵值，排列熵具有計(jì)算簡(jiǎn)單、抗噪能力強(qiáng)、適合在線監(jiān)測(cè)等優(yōu)點(diǎn)[2]，在腦電信號(hào)處理[3]、心率信號(hào)處理[4]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。Yan等[5]將其應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的特征提取，并將其與近似熵和Lempel-Ziv復(fù)雜度進(jìn)行了對(duì)比，能夠有效地檢測(cè)和放大振動(dòng)信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化，并且能夠表征滾動(dòng)齒輪在不同狀態(tài)下的工況特征。Cao等[6]利用自適應(yīng)差分算法（DE）優(yōu)化ELM模型的輸入權(quán)重和隱層閾值，具有較好的全局搜索能力，更強(qiáng)的泛化能力，但收斂速度慢。Han等[7]提出PSO-ELM算法，該算法利用了改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法（PSO）的良好能力優(yōu)化ELM輸入權(quán)重與隱層閾值，具有比E-ELM模型更強(qiáng)的泛化能力，但很容易陷入局部極小值而找不到全局最優(yōu)解。呂忠等[8]運(yùn)用遺傳算法對(duì)極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸入權(quán)值與隱層閾值進(jìn)行優(yōu)化，從而提高模型的預(yù)測(cè)精度；但遺傳算法屬于隨機(jī)性智能優(yōu)化算法，穩(wěn)定性差，不能處理連續(xù)優(yōu)化問題。

針對(duì)以上問題，本文提出基于排列熵與K-ELM的齒輪故障診斷方法。為避免噪聲對(duì)特征提取的影響，先將測(cè)得信號(hào)經(jīng)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解處理后得到一系列IMF本征模式分量，并提取各分量的排列熵PE值組成高維特征向量集；其次，利用高斯核函數(shù)的內(nèi)積表達(dá)ELM輸出函數(shù)，從而自適應(yīng)確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)；最后，將所得高維特征向量集作為K-ELM算法的輸入建立核函數(shù)極限學(xué)習(xí)機(jī)齒輪故障分類模型，進(jìn)行齒輪不同故障狀態(tài)的分類辨識(shí)。

1 排列熵

排列熵是通過對(duì)比相鄰數(shù)據(jù)以度量時(shí)間序列的復(fù)雜性[9]。 給定一個(gè)時(shí)間序列信號(hào){x（i），i=1，2，…，n}進(jìn)行相空間重構(gòu)。根據(jù)延遲嵌入定理得到重構(gòu)信號(hào)：

式中y為嵌入維數(shù)。

重構(gòu)后i的值最大為

將式（1）中的元素按升序排列，得到：

其中j1，j2，…，jy表示x（i）中元素的位置。 如果x（i）中存在相等的元素，則在重新排列時(shí)按j的大小進(jìn)行排列，因此x（i）總能找到如下序列模式：

其中l(wèi)=1，2，…，m，m≤y!。y個(gè)元素的向量最多可以有y!種排列模式；K（l）表示其中一種排列模式。設(shè)一種排列模式的出現(xiàn)概率為

故信號(hào)排列模式的熵為

對(duì)HP=（y，σ）進(jìn)行歸一化處理，得排列熵為

以上可以看出，HP值的大小表示時(shí)間序列的復(fù)雜和隨機(jī)程度。HP值越大，則時(shí)間序列越接近隨機(jī)，反之時(shí)間序列越規(guī)則。

2 核函數(shù)極限學(xué)習(xí)機(jī)

2.1 ELM算法

極限學(xué)習(xí)機(jī)是由Huang等[10]提出的一種基于廣義逆矩陣?yán)碚摰男滦颓梆伾窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以一步求出輸出權(quán)值，加快學(xué)習(xí)速度、提高建模效率。其結(jié)構(gòu)如圖1所示，由輸入層、隱層和輸出層組成，層與層之間通過神經(jīng)元連接，n個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)，ωi和βi分別為連接輸入層和隱層、隱層和輸出層的權(quán)重矩陣，xi、yi分別為輸入和輸出，bi是隱層的閾值。

算法原理如下：對(duì)于給定L個(gè)不同數(shù)據(jù)樣本（xi、ti），其中xi=[xi1，xi2，…，xiL]T∈RL，ti=[ti1，ti2，…，tiL]T∈RL，具有n個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)（n＜L），且激活函數(shù)為g（x）的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出表達(dá)式：

圖1 ELM的結(jié)構(gòu)圖

如果其激活函數(shù)g（x）是無限可微的，那么就能夠零誤差地逼近輸入樣本的真實(shí)輸出值，用下式可以表達(dá)為

上式可以簡(jiǎn)化為

其中H為隱層輸出矩陣，定義如下：

輸出權(quán)值向量βi可以通過式（9）的最小二乘βi=H+T來獲得。其中H+為Moerr-Penrose廣義逆矩陣，在求解H+=HT（HHT）-1時(shí)，由于測(cè)試數(shù)據(jù)存在復(fù)共線性的問題，從而造成HHT非奇異，影響最終結(jié)果。因此，Huang在對(duì)角矩陣HHT中引入一個(gè)參數(shù)1/c，把它加到HHT的主對(duì)角線上，使HHT的特征根偏離零值，以此求出權(quán)值向量βi值，表達(dá)式如下：

2.2 K-ELM算法

通過引入核函數(shù)把低維線性不可分的輸入空間樣本數(shù)據(jù)映射到可分的高維特征空間，進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算從而將不可分轉(zhuǎn)變?yōu)榭煞謥硖幚頂?shù)據(jù)。本文采用的高斯核函數(shù)滿足Mercer核理論[11]，可以作為核函數(shù)應(yīng)用到極限學(xué)習(xí)機(jī)中，其表達(dá)式如下：

在ELM的算法中，隱層節(jié)點(diǎn)輸出函數(shù)g（x）是不知道具體形式的函數(shù)，那么就可以把g（x）的內(nèi)積形式用核函數(shù)表示出來。所以核ELM算法中，隱層節(jié)點(diǎn)輸出函數(shù)g（x）的具體形式不用給出，只需要知道核函數(shù)K（x，xi）的具體形式就可以求出輸出函數(shù)的值，且隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)能夠自適應(yīng)確定。ELM算法中的公式用核矩陣形式表示為

故核函數(shù)極限學(xué)習(xí)機(jī)算法可概括為：給定一個(gè)含有L個(gè)樣本的訓(xùn)練樣本集（xi，yi），xi表示輸入向量，yi表示相應(yīng)的輸出，i=1，2，…，L，及核函數(shù)K（x，xi）。則輸出的方程為

核極限學(xué)習(xí)機(jī)算法的流程如圖2所示。

圖2 核極限學(xué)習(xí)機(jī)算法的流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)設(shè)備為美國(guó)Spectra Quest公司DDS動(dòng)力傳動(dòng)故障診斷綜合實(shí)驗(yàn)臺(tái)（見圖3）。該實(shí)驗(yàn)臺(tái)的動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)由1個(gè)二級(jí)行星齒輪箱，1個(gè)二級(jí)平行齒輪箱以及變速驅(qū)動(dòng)電機(jī)和電機(jī)控制器等組成。實(shí)驗(yàn)中，測(cè)點(diǎn)布置見圖3，位于垂直徑向、水平徑向與軸向所采集的振動(dòng)信號(hào)經(jīng)由LMS數(shù)據(jù)采集儀接入計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析、保存。

實(shí)驗(yàn)中，對(duì)齒輪 Z3（m=4.5；z=29）進(jìn)行正常、斷齒、齒根裂紋和齒面磨損4種故障件的更換，并采集上述4種狀態(tài)下的振動(dòng)加速度信號(hào)，采樣頻率為5120Hz，電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)為2100r/min，分別獲得每種狀態(tài)30組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)包含8192個(gè)采樣點(diǎn)。抽取每種狀態(tài)20組作為訓(xùn)練樣本，余下10組作為測(cè)試樣本。首先對(duì)齒輪的正常信號(hào)進(jìn)行EMD分解，對(duì)所得IMF分量提取排列熵。同理把其余3種狀態(tài)的樣本進(jìn)行上述處理，所得結(jié)果見表1。（由于文章篇幅所限，表中只舉出齒輪4種狀態(tài)的前4組信號(hào)特征向量PE值）

圖3 動(dòng)力傳動(dòng)故障診斷綜合實(shí)驗(yàn)臺(tái)

為驗(yàn)證上述方法的優(yōu)越性。分別將表1中的特征向量輸入到SVM、ELM與K-ELM中進(jìn)行訓(xùn)練與測(cè)試，其中SVM中懲罰參數(shù)C與核寬度系數(shù)σ設(shè)為2與0.2；3種算法的測(cè)試樣本分類結(jié)果分別如圖4～圖6所示。從圖4中看出SVM對(duì)于軸承故障分類正確率達(dá)到90%（36/40）；從圖5中看出ELM對(duì)于軸承故障分類正確率達(dá)到95%（38/40）；從圖6中看出，K-ELM對(duì)于軸承故障分類正確率達(dá)到100%（40/40）。上述3種方法的對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表1 齒輪4種狀態(tài)的特征向量

圖4 SVM的測(cè)試樣本分類結(jié)果

圖5 ELM的測(cè)試樣本分類結(jié)果

4 結(jié)束語

針對(duì)齒輪故障信號(hào)特征難提取和極限學(xué)習(xí)機(jī)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)需要人為設(shè)定，致使齒輪故障分類模型準(zhǔn)確度低、穩(wěn)定性差的問題，本文提出基于K-ELM的齒輪故障診斷方法。將提取的各IMF分量的排列熵作為本模型的輸入，進(jìn)行齒輪故障的分類和識(shí)別。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，得出如下結(jié)論：

1）排列熵對(duì)信號(hào)的突變特別敏感，對(duì)于齒輪不同振動(dòng)信號(hào)的復(fù)雜性不同，排列熵值也不同，因此排列熵用來提取故障特征效果明顯。

2）核函數(shù)極限學(xué)習(xí)機(jī)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)能自適應(yīng)確定。齒輪故障診斷模型的分類準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性得以提高，在齒輪故障診斷領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。

圖6 K-ELM的測(cè)試樣本分類結(jié)果

表2 SVM、ELM、K-ELM 3種診斷模型性能比較

[1]BANDT C， POMPE B.Permutation entropy： a natural complexity measure for time series[J].Physical Review Letters the American Physiological Society，2002，88（17）：174102.

[2]周濤濤，朱顯明，彭偉才，等.基于CEEMD和排列熵的故障數(shù)據(jù)小波閾值降噪方法[J].振動(dòng)與沖擊，2015，34（23）：207-211.

[3]姚文坡，劉鐵兵，戴加飛.腦電信號(hào)的多尺度排列熵分析[J].物理學(xué)報(bào)，2014，63（7）：078704.

[4]馬千里，卞春華.改進(jìn)排列熵方法及其在心率變異復(fù)雜度分析中的應(yīng)用[J].中國(guó)組織工程研究與臨床康復(fù)，2010，52（140）：9781-9785.

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[6]CAO J W， LIN Z P，HUANG G B.Self-adaptive evolutionary extreme learning machine [J].Neural Processing Letters，2012，36（3）：285-305.

[7]HAN F， YAO H F， LING Q H.An improved evolutionary extreme learning machine based on particle swarm optimization[J].Neurocomputing，2013（116）：87-93.

[8]呂忠，周強(qiáng)，周棍，等.基于遺傳算法改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)的變壓器故障診斷[J].高壓電器，2015，15（8）：49-53.

[9]鄭近德，程軍圣，楊宇，等.多尺度排列熵及其在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用 [J].中國(guó)機(jī)械工程，2013，24（19）：2641-2646.

[10]苑津莎，張利偉，王瑜.基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的變壓器故障診斷方法研究[J].電測(cè)與儀表，2013，50（12）：21-26.

[11]張曉平，趙瑪，王偉，等.基于最小二乘支持向量機(jī)的焦?fàn)t煤氣柜位預(yù)測(cè)模型及應(yīng)用 [J].控制與決策，2010，25（8）：1178-1183.

（編輯：莫婕）

Application of permutation entropy and kernel extreme learning machine in fault diagnosis of gear

QIN Bo， ZHANG Luyang， SUN Guodong， WANG Jianguo
（School of Mechanical Engineering，Inner Mongolia University of Science&Technology，Baotou 014010，China）

Due to the low accuracy and poor stability of gear fault classification model because of the hard extraction of gear fault and artificial settings for the number of hidden layer nodes of extreme learning machine（ELM）， a gear fault diagnosis method based on kernel extreme learning machine（K-ELM） is proposed.First， a series of IMF intrinsic mode component can be obtained after empirical mode decomposition（EMD） for measured signal， and permutation entropy value（PE） of various components should be extracted to form a vector set with high-dimension features.Second，the inner product of Gauss kernel function should be used to express the ELM output function to adaptively determine the number of the hidden layer nodes.After that，the high dimension feature vector set is used as the input of the K-ELM algorithm to establish the kernel function extreme learning machine gear fault classification model to achieve the classification and identification under different fault states of gears.The experimental results show that the K-ELM gear fault diagnosis classification model has higher accuracy and stability by comparing with the fault classification model of SVM and ELM.

gear； fault diagnosis；permutation entropy；kernel function；extreme learning machine

A

：1674-5124（2017）07-0108-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.07.021

2016-10-10；

：2016-12-12

國(guó)家自然科學(xué)基金（51565046）；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金（2015MS0512）；內(nèi)蒙古科技大學(xué)創(chuàng)新基金（2015QDL12）

秦 波（1980-），男，河南南陽市人，講師，碩士，研究方向?yàn)閺?fù)雜工業(yè)過程建模、優(yōu)化及故障診斷。